6 - Faculdade São Luís

ESTATÍSTICA
II
Prof.: Viviane Carla Fortulan
Agosto/2003
I. PROBABILIDADES
1.1 INTRODUÇÃO: Elementos do estudo das probabilidades
O problema fundamental da estatística consiste em lidar com o acaso e a incerteza.Os
eventos que dependem do acaso sempre foram considerados misteriosos. As conquistas
científicas dos séculos que seguiram a Renascença, enfatizando a observação e a
experimentação, deram origem à teoria da probabilidade, para estudar as leis da natureza e
os problemas da vida cotidiana.
Neste curso veremos como a incerteza pode realmente ser medida, como podemos
associar-lhes números e como interpretar esses números.
No curso anterior (de Estatística I) vimos como caracterizar uma massa de dados, a
fim de organizar e resumir informações. Em Estatística II, veremos um pouco da Estatística
Inferencial, que está fundamentada em modelos matemáticos probabilísticos, assim é
conveniente dispormos de uma medida que exprima a incerteza presente em afirmações tais
como “É possível que chova amanhã”, ou “Não há chance de vitória”, em termos de uma
escala numérica. Essa medida é probabilidade.
A teoria das Probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa
modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
Devemos esclarecer que esta técnica é bastante intuitiva e não existe “fórmulas”
específicas para todos os problemas. Cada caso é um caso e deve ser estudado com muito
cuidado.
Motivação:
Considere os seguintes problemas:



Fazendo a aposta mínima na Mega Sena, qual é a chance de acertar as seis dezenas?
Se um aluno “chutar” cinco testes (cada um com quatro alternativas) em um exame de
vestibular, qual é a probabilidade de acertar pelo menos dois?
Lançando dois dados simultaneamente, qual é a probabilidade de saírem números
iguais?
A teoria das probabilidades nos ajuda a resolver problemas como estes e muitos outros.
1.1.1 Experimento determinístico e Experimento aleatório
Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura o leite ferve. Este tipo
de experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico.
No entanto, ao lançarmos um dado uma ou mais vezes, sob as mesmas condições, não
podemos saber com antecedência o número obtido; sabemos apenas que os possíveis
resultados são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Este tipo de experimento, cujo resultado não pode ser
previsto, é chamado aleatório.
1
Exemplo de experimentos aleatórios:
-
O sorteio da quina da Loto;
Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o seu naipe;
O sorteio do primeiro prêmio da Loteria Federal;
O lançamento de uma moeda honesta;
Lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima;
Lançamento de um dado honesto;
De uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 vermelhas, retirar 1 bola e observar sua cor.
1.1.2 Experimentos aleatórios equiprováveis
São experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance.
Exemplo: No lançamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é a mesma.
1.2 ESPAÇO AMOSTRAL OU CONJUNTO UNIVERSO
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório
(equiprovável) que será indicado por  (ômega). Indicaremos o número de elementos de um
espaço amostral por n(  ).
Exemplos:
1) Quando se lançam duas moedas e se observam as faces voltadas para cima, sendo as faces
da moeda cara(c) e coroa(k), o espaço amostral do experimento é:
 ={(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)} e n(  )=4
2) Lançam-se dois dados, (um azul e um branco), e observam-se os números das faces
voltadas para cima. Sejam:
Dado azul
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
Dado branco
1
2
3
4
5
6
Experimento aleatório: Lançar dois dados
 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
(Todos os resultados possíveis
do experimento aleatório)
2
n(  )=36 (nº de elementos de  )
3) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 brancas. Duas bolas são extraídas, ao acaso,
sucessivamente e sem reposição. Observamos a seqüência de cores das bolas sorteadas.
Para determinar  , vamos construir o diagrama da árvore.
Seja: vermelha=V e branca=B
1ª extração
2ª extração
V
V
B
B
V
B
Experimento aleatório: Extrair duas bolas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição
 ={(V,V), (V,B), (B,V), (B,B)}
n(  )= 4
Ponto amostral: É cada elemento do espaço amostral (  ).
1.3 EVENTO
Evento (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral  . Muitas vezes um evento
pode ser caracterizado por um fato.
Exemplos:
1) No lançamento de duas moedas, temos:
Considerando c = cara e k = coroa, definimos:
Experimento: Lançar duas moedas
 ={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)}
Sejam os eventos:
E1 : aparecerem faces iguais
E1 ={(c,c),(k,k)} onde n( E1 )=2
E 2 : aparecer cara em pelo menos uma moeda
E 2 = {(c,c),(c,k),(k,c)} onde n( E 2 )=3
2) No lançamento de dois dados, temos:
Experimento: Lançar dois dados
3
 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(  )=36
E1 : aparecerem números iguais
E1 ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} ; n( E1 )=6
E 2 : o primeiro número é menor ou igual a 2
E 2 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ; n( E 2 )=12
E 3 : a soma dos resultados é menor ou igual a 4
E 3 ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} ; n( E 3 )=6
E 4 : o número do primeiro dado é o dobro do número do segundo dado
E 4 ={(2,1),(4,2),(6,3)} ; n( E 4 )=3
1.3.1 Evento Certo: evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral, (E=  )
E 5 : a soma dos resultados dos dois dados é menor ou igual a 12
E 5 =  ; n( E 5 )=36
1.3.2 Evento Impossível: evento igual ao conjunto vazio (E =. O
)
E 6 : o número do primeiro dado é igual a sete
E6 = O
 ; n( E 6 )=0
1.3.3 Evento Simples: evento que possui um único elemento
E 7 : a soma dos resultados nos dois dados é igual a 12.
E 7 ={(6,6)} ; n( E 7 )=1
1.3.4 Evento Complementar: Se E é um evento de um espaço amostral  , o evento
complementar de E, indicado por Ec (ou A ), é tal que Ec =  - E (ou seja, é tudo o que não
está em E mas está no espaço amostral  ).
 e E  Ec  
Notemos que E  E c  O

Ec
E
4
Ex: Considerando ainda o experimento: lançar dois dados, temos que:
 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Seja o evento A definido por:
A: o primeiro número no lançamento dos dados é menor ou igual a 2.
A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ; n(A)=12
Logo,
Ac: o primeiro número no lançamento dos dados é maior que 2 ( ou seja, Ac =  - A)
Ac ={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
n(Ac)=24
1.3.5 Eventos Mutuamente Exclusivos (ou disjuntos): dois ou mais eventos são
ditos mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles implica a não
ocorrência do outro. Deste modo, se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então
A  B  o (ou seja, não existe interseção entre eles).
Ex: Sejam os eventos:
A: quando se lança um dado, o número na face voltada para cima é ímpar. 
A={1,3,5}
B: quando se lança um dado, o número na face voltada para cima é divisível por 4 
B={4}
Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois A  B  o .
Exercício: Considerar o experimento aleatório: uma moeda é lançada 3 vezes. Determinar:
a) espaço amostral 
b) evento E1 : sair 2 caras e 1 coroa
c) evento E 2 : sair 3 caras
d) evento E 3 : sair pelo menos 1 cara
5
e) evento E 4 : sair no máximo 2 coroas
f) evento E 5 : nenhuma cara
1.3.6 Operações com eventos
Existe uma correspondência entre os conceitos da linguagem dos eventos e dos
conjuntos.
Suponha  um espaço amostral finito e A e B três eventos de  .
1.) A  B: significa que pelo menos um evento ocorre
2.) A  B: os dois eventos ocorrem
3.) A-B: somente o evento A ocorre
4.) Ac = A : o evento A não ocorre
5.) A B : somente um dos eventos ocorre
Seja Ai; i= 1, 2, 3, ..., n uma coleção finita de eventos de  , então:
n
6.)
A
i
: pelo menos um dos Ai’s ocorre
i
: todos Ai’s ocorrem
i 1
n
7.)
A
i 1
6
Propriedades das operações
Sejam A, B e C eventos associados a um espaço amostral  . As seguintes
propriedades são válidas:
a) IDEMPOTENTES
A A = A
A  A =A
b) COMUTATIVAS
A B = B A
A B = B A
c) ASSOCIATIVAS
A  (B  C) = (A  B)  C
A  (B  C) = (A  B)  C
d) DISTRIBUTIVAS
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
e) ABSORÇÕES
A  (A  B) = A
A  (A  B) = A
f) IDENTIDADES
A
A
A
A


O

O

=A
=
=O

=A
g) COMPLEMENTARES
O

O
 
A A = O

AA  
h) LEIS DE MORGAN (ou Leis das Dualidades)
________
(A  B)  A  B
________
(A  B)  A  B
7
1.3.7 Partição de um Espaço Amostral
Os eventos A1, A2, ..., An formam uma partição do espaço amostral se:
1.) Ai  O
 para i = 1, 2, ..., n
 para i  j
2.) A i  A j  O
Ex:
n
3.)
A
i
A1

A2
A3
i 1

A1, A2 e A3 formam uma partição do espaço
amostral  e, portanto, satisfazem 1.), 2.) e 3.).
Resolva a 1ª Lista de Exercícios
8
1.4 PROBABILIDADE
No estudo da probabilidade, há três tipos de questões:
1. O que queremos dizer quando afirmamos que a probabilidade de um evento é, por
exemplo, 0,50, 0,78 ou 0,44?
2. Como determinar ou avaliar, na prática, os números que chamamos
probabilidades?
3. Quais ao as regras matemáticas que as probabilidades devem obedecer?
Existem basicamente três definições para a probabilidade
Definição subjetiva da probabilidade: afirma que a probabilidade é uma estimativa do
que um indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento. Neste caso
dois indivíduos podem estimar diferentemente uma probabilidade.
Definição frequentista da probabilidade: a probabilidade de um evento (acontecimento
ou resultado) é definida como sendo a proporção do número de vezes que eventos do
mesmo tipo ocorrem a longo prazo. Em outras palavras, é quando precisamos realizar
o experimento um número muito grande de vezes para observarmos que fração
proporção) das vezes tal evento ocorre.
Definição clássica de probabilidade: é quando estamos interessados em probabilidades
iguais, ou seja, estamos lidando com experimentos equiprováveis.
Considerando um espaço amostral  , não vazio, e um evento E, sendo E   , a
probabilidade de ocorrer o evento E é o número real P(E), tal que:
P( E ) 
n (E)
,
n ( )
onde: n(E): “tamanho” do evento E (ou número de casos favoráveis ao evento E).
n(  ): “tamanho” do espaço amostral  (ou número total de casos).
OBS.: Esta é a definição clássica de probabilidade quando  é finito e baseia-se no
conceito de resultados equiprováveis (têm a mesma chance de ocorrer).
Propriedades: Seja  um espaço amostral qualquer e sejam A e B eventos de .
i) 0  P(A)  1 (observe que P(A)  0)
ii) P() = 1
iii) P() = 0
iv) P( A ) = 1-P(A)
v) P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). Se AB = , P(AB) = P(A) + P(B)
vi) P( A B) = P(B) – P(AB).
9
Exemplos:
1) Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um nº ímpar na face voltada para cima é
obtida da seguinte forma:
 ={1,2,3,4,5,6} ; n(  )=6
E: sair um número ímpar  E={1,3,5} ; n(E)=3
P( E ) 
n (E) 3 1
=  = 0,5
n ( ) 6 2
Portanto, podemos concluir que a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada
para cima é igual a 0,5. (Ou, poderíamos dizer que existe 50% de chance de sair um número
ímpar na face voltada para cima).
2) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30, determinar a
probabilidade de que ele seja primo.
 ={1,2,3,5,6,10,15,30} ; n(  )=6
E: o número ser primo  E={2,3,5} ; n(E)=3
P( E ) 
n (E) 3
=  0,375
n ( ) 8
A probabilidade de que um número, escolhido ao acaso, do conj. dos divisores de 30 seja
um número primo é de 0,375.
OBS.: Nem sempre é possível descrever os elementos de um evento ou espaço amostral.
Nesse caso, devemos utilizar outras técnicas tais como as distribuições de probabilidades.
3) Considere uma urna com três bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair casualmente duas bolas,
sendo uma após a outra. Obter a distribuição da variável X={número de bolas brancas}.
10
Diagrama da Árvore:
a-) Repondo a primeira bola
Primeira
Extração
B
3
5
Eventos
A= BB  {X=2}
Segundo
Extração
3 B
B= BP  {X=1}
C= PB  {X=1}
5
D= PP  {X=0}
2
5
P
Distribuição de X
B
3
5
P
2
5
2
5
P
2
P(X=2)=
3 3 9
 
5 5 25
1
P(X=1)=
3 2 2 3 12
   
5 5 5 5 25
0
P(X=0)=
2 2 4
 
5 5 25
b-) Sem repor a primeira bola
Primeira
Extração
B
3
5
P
2
5
Probabilidade de X
Eventos
A= BB  {X=2}
Segundo
Extração
2 B
B= BP  {X=1}
C= PB  {X=1}
4
D= PP  {X=0}
2
4
P
3
4
Distribuição de X
B
2
1
1
4
P
0
Probabilidade de X
3 2
6
 
5 4 20
3 2 2 3 12
P(X=1)=    
5 4 5 4 20
2 1
2
P(X=0)=  
5 4 20
P(X=2)=
11
1.5 UNIÃO DE DOIS EVENTOS
Considerando A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral  , o
número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A
somado ao número de elementos de evento B, subtraído do número de elementos da
intersecção de A com B.
n (A  B)  n (A)  n (B)  n (A  B)
Sendo n(  ) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois
membros da equação por n(  ) a fim de obter a probabilidade P (A  B) . Assim, temos:
n (A  B) n (A) n (B) n (A  B)



n ()
n () n ()
n ( )
Logo,
P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)
Para ficar bem claro esta definição vamos utilizar Diagramas de Venn em algumas situações
para visualizar melhor operações com eventos.
Por exemplo: Sejam A, B, A  B eventos quaisquer com probabilidades, respectivamente,
iguais a 0.6, 0.3, 0.2. Encontre as probabilidades abaixo:
a) P( A  B ) =
b) P(A-B) =
c) P(B-A) =
OBS: Para eventos mutuamente exclusivos, ( A  B  O
 ), a equação obtida fica:
P(A  B)  P(A)  P(B)
Exemplos:
1) De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Para
calcular a probabilidade de essa bolinha ter um número divisível por 2 ou 3,
consideramos:
 ={1, 2, 3, ..., 20}
A: conjunto dos números divisíveis por 2
A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
B: conjunto dos números divisíveis por 3
B={3, 6, 9, 12, 15, 18}
12
A  B : conjunto dos números divisíveis por 2 e por 3
A  B ={6, 12, 18}
6
3
, P( A  B )=
20
20
10 6
3
13
P(A  B) 


 P(A  B) 
 0,65
20 20 20
20
P(A)=
10
,
20
P(B)=
2) A chance de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A
chance de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões.
Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A)=0.95
Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B)=0.08
P( A  B )= a probabilidade de ser 110 milhões: P( A  B )= ?
P( A  B )= 1
Aplicando a regra da união de dois eventos, temos:
P( A  B )=P(A) + P(B) – P( A  B )
1 = 0,95 + 0,08 - P( A  B )
P( A  B ) = 0,95 + 0,08 – 1
P( A  B ) = 0,03
3) Três cavalos, A, B e C, estão em uma corrida; A tem duas vezes mais probabilidade de
ganhar que B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. Quais são as
probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C)? Qual a Probabilidade de B ou
C ganhar?
Solução: Vamos supor P(C)= p; desta forma P(B) = 2p e assim, P(A) = 2P(B) = 4p. Como a
soma das probabilidades é 1, então:
P(A) + P(B) + P(C) = p + 2p + 4p = 1  7p = 1 ou p =
1
.
7
Logo, temos:
1 4
P(A) = 4p = 4   ;
7 7
1 2
P(B) = 2p = 2   ;
7 7
P(C) = p =
1
;
7
A probabilidade de B ou C ganhar é dada por:
P(B  C)  P(B)  P(C)  P(A  B) 
2 1
3
 0
(OBS.: P(B  C)  0 pois dois cavalos
7 7
7
não ganham ao mesmo tempo.)
Resolva a 2ª Lista de Exercícios
13
1.6
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Introduziremos o conceito de probabilidade condicional através do sguinte exemplo:
Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos
100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 140 cursam química
(Q). A distribuição dos alunos é a seguinte:
Disciplina
Sexo
F
Q
Total
H
M
Total
40
70
110
60
80
140
100
150
250
Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado
que é mulher?
Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de
PQ | M  
80
e representamos:
150
80
(probabilidade de que o aluno curse química, condicionado ao fato de ser
150
mulher)
Observamos, porém, que PM  Q  
80
150
e P( M ) 
. Para obtermos o resultado do
250
250
problema basta considerar que:
80
80
PQ | M   250 
150 150
250
Logo:
P(M  Q)
P( M)
Sejam A   e B  . Definimos Probabilidade Condicional de A dado que B ocorre
(A|B) como segue:
P (Q | M ) 
P(A | B) 
P(A  B)
, se P(B)  0
P(B)
P( B | A) 
P(A  B)
, se P(A)  0
P( A )
ou, de forma análoga
Exemplo 1: Considere o lançamento de um dado.
 ={1, 2, 3, 4, 5, 6) (6 resultados possíveis)
Seja o evento A: sair face 4,
14
P(A)=
1
= 0,167.
6
Para entender o problema de probabilidade condicional, suponha que embora não
possamos ver o dado, alguém diga que o resultado é um número par. Neste caso, qual é a
probabilidade de A ocorrer? Isto é, sabendo que saiu um número par, qual a probabilidade de
A ocorrer?
1
P(A) = = 0,3333
3
Assim, a informação de que o valor ocorrido é um número par afeta a probabilidade de
ocorrer o evento A, e o valor 0,3333 é chamado de probabilidade condicional, uma vez que
ela é calculada sob a condição de que o valor na face do dado é um número par.
Notação: P(A|B) (lê-se, probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo-se (dado) que o evento
B já ocorreu.
Exemplo 2: No lançamento de dois dados, observando as faces de cima, para calcular a
probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos dois números é
maior que 7, fazemos:
 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
Evento A: número 5 no primeiro dado
A={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
Evento B: a soma dos dois números é maior que 7
B={(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
A  B : o primeiro número é 5 e a soma dos dois números é maior que 7.
A  B ={(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}
P( A  B )=
4
36
e
P(B)=
15
36
Logo,
P(A | B) 
P(A  B)
P(B)
4
4
 P(A | B)  36 
15 15
36
Exemplo 3: Sendo P(A) =
1
3
11
, P(B) =
e P(A  B)  , calcular P(A|B).
3
4
12
15
Resolução:
P(A  B)
, devemos calcular P(A  B).
P(B)
Como P( A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B) , temos:
Como P(A | B) 
11 1 3
2 1
   P(A  B)  P(A  B) 

12 3 4
12 6
Logo,
1
2
P(A | B)  6 
3
9
4
1.7 MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Tiramos da definição de probabilidade condicional o chamado TEOREMA DO
PRODUTO: Sejam A   e B  . Então, a probabilidade de ocorrer P( A  B ) é igual ao
produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relação ao primeiro, ou
seja:
Sendo: P(A | B) 
P(A  B)
P(B)
ou
P( B | A) 
P(A  B)
,
P( A)
então
P(A  B)  P(B)  P(A | B)
ou
P(A  B)  P(A)  P(B | A)
Exemplos:
1-) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes.
Qual a probabilidade de que ambas
a) sejam verdes?
b) Sejam da mesma cor?
Resolução:
Temos que: P(B) =
2
3
4
, P(P) = e P(V) =
9
9
5
a) P(V  V)  P(V)  P(V | V) 
4 3 1
 
9 8 6
b) P(Mesma Cor)  P(B  B)  P(P  P)  P(V  V)
2 1 3 2 4 3
P(Mesma Cor)      
9 8 9 8 9 8
16
P(Mesma Cor) 
20 5

72 18
A generalização do teorema do produto é:
 n

P  A i   P(A i )  PA 2 | A1   PA 3 | A1  A 2  PA n | A1  A 2    A n 1 
 i 1 
Exemplo: Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra. Qual a
probabilidade de sair a palavra ARARAS?
P(A  R  A  R  A  S)  P(A)  P(R | A)  P(A | A  R )  P(R | A  R  A) 
 P(A | A  R  A  R )  P(S | A  R  A  R  A) 

3 2 2 1 1
1
    1 
6 5 4 3 2
60
1.8 EVENTOS INDEPENDENTES (OU INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA)
Dois eventos A   e B   são estatisticamente independentes se a ocorrência (ou
não ocorrência) de um dos eventos não afetar a probabilidade de ocorrência do outro evento.
Em outras palavras, dizemos que um evento B é estatisticamente independente de um evento
A se a ocorrência de A não afeta a probabilidade de ocorrer o evento B. Em símbolos:
P(A | B)  P(A) ou P(B | A)  P(B)
Temos também que se dois eventos A e B são ditos independentes, então a
probabilidade deles ocorrerem conjuntamente pode ser dada por:
P(A  B)  P(B)  P(A | B)
e
P(A | B)  P(A)
(I)
(II)
Substituindo II em I, obtemos:
P(A  B)  P(A)  P(B)
Exemplo 1:
Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se
obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.
 ={(1,c),(1,k),(2,c),(2,k),(3,c),(3,k),(4,c),(4,k),(5,c),(5,k),(6,c)(6,k)}
Evento A: 3 ou 5 no dado
P(A)=
4 1

12 3
A={(3,c),(3,k),(5,c),(5,k)}
17
6 1

12 2
B={(1,k),(2,k),(3,k),(4,k),(5,k),(6,k)}
Evento B: cara na moeda
P(B)=
Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer A não modifica a probabilidade
de ocorrer B. Assim, temos:
P(A  B)  P(A)  P(B)
Portanto, P(A  B) 
1 1 1
 
3 2 6
Note que A  B ={(3,k),(5,k)} e P( A  B ) poderia ser calculado por:
P(A  B) 
n (A  B) 2 1

 . No entanto, nem sempre a obtenção de n( A  B ) é simples.
n ()
12 6
Exemplo 2: Uma roleta contém 38 números dos quais 18 são vermelhos, 18 são pretos, e dois
são verdes. Quando a roleta é girada e a bola é solta, é igualmente provável que a bola caia em
qualquer um dos 38 números. Em duas jogadas da roleta, qual é a probabilidade de que:
a) a bola caia no vermelho duas vezes?
b) A bola caia no verde na primeira vez e no preto na segunda vez?
Solução:
È razoável supor que as jogadas sucessivas da roleta são independentes, ou seja, o
resultado da 1ª rodada não interfere no resultado da 2ª rodada.
a) Seja os eventos:
V1 : “a bola cai no vermelho na primeira rodada” e V2 : “a bola cai no vermelho na
segunda rodada”.
Queremos a probabilidade de que em duas rodadas sucessivas dê dois resultados
vermelhos, ou seja, a bola caia no vermelho nas duas rodadas. Então queremos P(V1  V2 ) .
Como a ocorrência de V1 não interfere na ocorrência de V2 , isto é , como V1 e V2 são
eventos independentes, fazemos:
P(V1  V2 )  P(V1 )P(V2 ) =(18/38) x (18/38) =0,224
Existe uma chance de 22,5% de que a bola caia duas vezes no vermelho.
b) Seja os eventos:
Vd1 : “a bola cai no verde na primeira rodada” e P2 : “a bola cai no preto na segunda
rodada.
P(Vd1  P2 )  P(Vd1 )P(P2 )  (2/38) x (18/38) =0,025
18
Existe uma chance de 2,5% de que a bola caia a primeira vez no verde e a segunda vez
no preto.
IMPORTANTE: É comum confundir os conceitos de eventos mutuamente exclusivos e
eventos independentes. Estes termos não significam a mesma coisa. O conceito de
“mutuamente exclusivo” envolve se ou não dois eventos podem ocorrer simultaneamente. Por
outro lado, o conceito de independência envolve se ou não a ocorrência de um evento afeta a
probabilidade de ocorrência do outro.
Exemplo 3: Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2, P(B) = P, P(A  B) = 0,6.
Calcular P considerando A e B:
a) mutuamente exclusivos;
b) independentes.
Resolução:
a-) A e B mutuamente exclusivos  P(A  B)  0 como
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) vem 0,6 = 0,2 + P – 0  P = 0,4
b-) A e B independentes  P(A  B)  P(A)  P(B)  0,2  P como
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) vem 0,6 = 0,2 + P – 0,2P  0,4 = 0,8P  P = 0,5
OBS.: Se os eventos A1, A2, ..., An são independentes então:
 n
 n
P  A i    P(A i )
 i 1  i 1
n
onde
 P( A )  P( A )  P( A
i
1
2
)    P( A n ) .
i 1
Resolva a 3ª Lista de Exercícios
19
Resolva a 4ª Lista de Exercícios
1.9 TABELAS DE PROBABILIDADE CONJUNTA (OU TABELAS DE DUPLA
ENTRADA OU TABELAS DE CONTINGÊNCIA)
Em uma tabela de probabilidade conjunta todos os possíveis eventos para uma variável
(ou observação) são listados como cabeçalhos de colunas, todos os possíveis eventos para
uma Segunda variável são listados como cabeçalhos de linhas, e o valor incluído em cada
casela resultante é a probabilidade de cada ocorrência conjunta. Muitas vezes as
probabilidades em uma destas tabelas estão baseadas em freqüências observadas da
ocorrência dos vários eventos conjuntos, em lugar de serem a priori por natureza. A tabela das
freqüências de ocorrências conjuntas que pode servir de base para a construção de uma tabela
de probabilidade conjunta é chamada de tabela de contingência.
Definição 16: Tabelas de contingência
São tabelas que permitem classificar membros de uma população ou de uma amostra
segundo duas características:
Por exemplo: - nível educacional vs renda anual;
- idade vs sexo;
Exemplo: (Tabela de contingência)
Classificação de professores de uma universidade segundo idade e posição na carreira.
Posição na carreira
Professor
Titular
( R1 )
Professor
Associado
( R2 )
Professor
Assistente
(R3)
Instrutor
( R4 )
2
3
57
6
Total
( Ai )
i=1,2,3,4 e 5
68
52
170
163
17
402
40 – 49
( A3)
156
125
61
6
348
50 – 59
( A4 )
145
68
36
4
253
 60
( A5)
75
15
3
0
93
Total
( Ri )
i=1,2,3 e 4
430
381
320
33
1164
< 30
( A1 )
30 – 39
( A2 )
idade
Experimento: Selecionar um professor ao acaso.
Evento A1 : O professor selecionado tem menos de 30 anos.
20
Evento A 2 : O professor selecionado tem entre 30 e 39 anos.
Evento A 3 : O professor selecionado tem entre 40 e 49 anos.
Evento A 4 : O professor selecionado tem entre 50 e 59 anos.
Evento A 5 : O professor selecionado tem mais de 60 anos.
Evento R1 : O professor selecionado é um professor titular.
Evento R 2 : O professor selecionado é um professor associado.
Evento R 3 : O professor selecionado é um professor assistente.
Evento R 4 : O professor selecionado é um instrutor.
Notas:
Os eventos A1 à A 5 são mutuamente exclusivos (entre si)
Os eventos R1 à R 4 são mutuamente exclusivos (entre si)
Os eventos A i ’s com R i ’s não são mutuamente exclusivos (entre si)
Podemos considerar os eventos A i ’s conjuntamente aos eventos R i ’s.
Por Exemplo: - o professor selecionado tem menos de 30 anos ( A1 ) e é também um
professor associado ( R 2 ), isto pode ser expresso por ( A1 e R 2 ) ou ( A1  R 2 ).
( A1 e R 2 ) = ( A1  R 2 ) = o professor selecionado é um professor associado com idade
inferior a 30 anos.
Usando probabilidade temos:
P( A1 ) =
68
= 0,058;
1164
P( R 2 )=
381
= 0,327
1164
ou seja, 5,8% dos professores têm menos que 30 anos e 32,7% dos professores são
associados. Além de podermos determinar a probabilidade de cada evento A i e R i , podemos
também determinar a probabilidade para eventos conjuntos, denominada probabilidade
conjunta. Exemplo:
3
P( A1 e R 2 ) = P( A1  R 2 ) =
= 0,003
1164
ou seja, 0,3% dos professores têm menos de 30 anos e são associados.
OBS: Esta probabilidade conjunta pode ser calculada para quaisquer A i ’s conjuntamente aos
R i ’s.
A tabela de distribuições de probabilidades conjunta fica:
Professor
Titular
P( R 1 )
Posição na carreira
Professor
Professor
Associado
Assistente
P( R 2 )
P( R 3 )
Instrutor
P( R 4 )
Total
P( A i )
i=1,2,3,4 e 5
21
Idade
< 30
P( A1 )
P( A1  R 1 )=
0,002
P( A1  R 2 ) P( A1  R 3 )= P( A1  R 4 )
=0,003
0,005
0,049
P( A1 )
=0,058
30 – 39
P( A 2 )
P( A 2  R 1 )
=0,045
P( A 2  R 2 )
=0,146
P( A 2 )
=0,345
40 – 49
P( A 3 )
P( A 3 
0,134
=0,107
50 – 59
P( A 4 )
P( A 4  R 1 )
=0,125
P( A 4  R 2 )
=0,058
 60
P( A 5 )
Total
P( R i )
i=1,2,3 e 4
P( A 5 
P( A 2 
R 3 ) P( A 2  R 4 )
=0,140
0,015
R1 )= P( A 3  R 2 ) P( A 3  R 3 ) P( A 3  R 4 )
=0,052
P( A 4 
0,005
R 3 ) P( A 4  R 4 )
=0,031
0,003
R1 )= P( A 5  R 2 ) P( A 5  R 3 ) P( A 5  R 4 )
P( A 3 )
=0,299
P( A 4 )
=0,217
P( A 5 )
0,064
=0,013
=0,003
0,000
=0,080
P( R 1 )
=0,369
P( R 2 )
=0,327
P( R 3 )
P( R 4 )
=0,028
1
=0,275
Notas:
1. As probabilidades “dentro” da tabela são chamadas de probabilidades conjuntas dos
eventos A i ’s e R i ’s.
2. As probabilidades da última coluna representam as probabilidades marginais dos eventos
A i ’s.
3. As probabilidades da última linha representam as probabilidades marginais dos eventos
R i ’s.
4. A soma das probabilidades conjuntas de uma linha ou de uma coluna é igual a
probabilidade marginal daquela linha ou coluna.
5. A soma de todas as probabilidades conjuntas ou das marginais referente a cada variável
tem que dar 1.
Variável A i = idade ;
variável R i = posição na carreira.
Exemplos de Probabilidade condicional usando tabela de contingência: Suponha que A e B
sejam 2 eventos. Então a probabilidade de ocorrer o evento A sabendo-se que o evento B
ocorreu é denominada probabilidade condicional. Ela é indicada pelo símbolo P(A|B).
Exercícios: Considerando o exemplo acima responda:
a) Qual a probabilidade de que o professor selecionado esteja na casa dos 50 anos.
253
 0,217
P( A 4 )=
1164
b) Encontre a probabilidade de que o professor selecionado esteja na casa dos 50 anos,
sabendo-se que um professor assistente foi selecionado.
36
 0,113 )
P( A 4 | R 3 ) 
320
c) Interprete as probabilidades encontradas em termos de porcentagem.
P( A 4 )=0,217 indica que 21,7% dos professores da universidade estão na casa dos 50 anos.
P( A 4 | R 3 )  0,113 indica que 11,3% dos professores assistentes estão na casa dos 50 anos.
22
A partir dos exemplos acima, podemos sugerir a seguinte fórmula para probabilidade
condicional.
P(A | B) 
P(A  B) n (A  B)

P(B)
n (B)
P( B | A) 
P(A  B) n (A  B)

P( A)
n ( A)
ou, analogamente,
Isto implica que:
P(A  B)  P(A)P(A | B)
e
P(A  B)  P(B)P(B | A)
Listas de Exercícios
23
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1) No lançamento simultâneo de dois dados considere as faces voltadas para cima e
determine:
a) espaço amostral 
b) evento E1 : números cuja soma é igual a 5
c) evento E 2 : números iguais
d) evento E 3 : números cuja soma é um número par
e) evento E 4 : números ímpares nos 2 dados
f) evento E 5 : número dois em pelo menos um dos dados
g) evento E 6 : números cuja soma é menor que 12
h) evento E 7 : números cuja soma é maior que 12
i) evento E 8 : números divisores de 7 nos 2 dados
2) Lançam-se duas moedas..Sejam A: saída de faces iguais e B: saída de cara na primeira
moeda. Determinar os eventos:
a) A  B
g) A  B
b) A  B
h) A  B
c) A
i) B – A
j) A – B
d) B
________
k) A  B
e) (A  B)
l) B  A
________
f) (A  B)
3) Lançam-se 3 moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos:
a) faces iguais;
b) cara na 1ª moeda;
c) coroa na 2ª e 3ª moedas.
4) Um lote contém peças de 5, 10, 15, ..., 30 mm de diâmetro. Suponha que 2 peças sejam
selecionadas no lote (com reposição). Se x e y indicam respectivamente os diâmetros da 1ª
e 2ª peças selecionadas, o par (x, y) representa um ponto amostral. Usando o plano
cartesiano, indicar os seguintes eventos:
a) A={x = y}
b) B={y < x}
c) C={x = y-10}
x  y

 10
d) D  
 2

5) Um casal planeja ter 3 filhos. Determine os eventos:
a) os 3 são do sexo feminino
b) pelo menos 1 é do sexo masculino
c) os 3 do mesmo sexo
6) Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se ao acaso uma bolinha e
observa-se o seu número. Determine os seguintes eventos:
a) o número escolhido é ímpar.
24
b)
c)
d)
e)
f)
g)
o número escolhido é maior que 15.
o número escolhido é múltiplo de 5.
o número escolhido é múltiplo de 2 e de 3.
o número escolhido é primo.
o número escolhido é par e múltiplo de 3.
o número escolhido é ímpar e múltiplo de 7.
7) Sejam A, B e C, três eventos aleatórios de  . Exprimir os eventos abaixo usando as
operações reunião, intersecção e complementação:
a) Somente A ocorre;
b) A e C ocorrem, mas B não;
c) A, B e C ocorrem;
d) Pelo menos um ocorre;
e) Exatamente um ocorre;
f) Nenhum ocorre;
g) Exatamente dois ocorrem;
h) Pelo menos dois ocorrem;
i) No máximo dois ocorrem.
2ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado?
2) Qual a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado?
3) Um disco tem uma face branca e a outra azul. Se o disco for lançado 3 vezes, qual a
probabilidade de a face azul ser sorteada pelo menos uma vez?
4) Um casal planeja Ter três filhos. Qual a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo?
5) (Unesp-SP) João lança um dado sem que Antônio veja. João diz que o número mostrado
pelo dado é par. A probabilidade de Antônio descobrir esse número é:
a) 1/2
b) 1/6
c) 4/6
d) 1/3
d) 3/36
25
6) (Vunesp) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se 2 cartas, uma após a outra.
Determine a probabilidade de a segunda ser um ás, sabendo que a primeira é um ás.
7) (UFSCar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma
bola da urna, a probabilidade de não obtermos a bola número 7 é igual a:
a) 2/9
b) 1/10
c) 1/5
d) 9/10
e) 9/11
8) Determine a probabilidade de se obterem os eventos a seguir, no lançamento simultâneo
de dois dados, observadas as faces voltadas para cima:
a) números iguais
b) números cuja soma é igual a 5
c) números cuja soma é ímpar
d) números cujo produto é par
e) números cuja soma é menor que 12
f) números cuja soma é maior que 12
g) números primos nos dois dados
9) Uma urna contém 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Retirando-se 2 bolas ao acaso e
sem reposição, calcule a probabilidade de:
a) as bolas serem de cores diferentes
b) as 2 bolas serem vermelhas
10) (Mauá-SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao
acaso, observa-se que ela tem um número ímpar. Determine a probabilidade de esse
número ser menor que 5.
11) Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade
de ter sido retirada uma bola vermelha é 5/17. Calcule a probabilidade de ter sido retirada
uma bola que não seja vermelha.
12) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha da
urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3?
13) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?
14) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem, obteve-se
o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70
assistem a outros canais, distintos de A e B. Escolhida uma pessoa ao acaso, determine a
probabilidade de que ela assista:
a) ao canal A
b) ao canal B
c) ao canal A ou ao canal B
15) (PUCCAMP-SP) Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 pertencem a um
clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos
26
clubes B e C e 10 pertencem aos 3 clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes,
a probabilidade de ela:
a) pertencer aos 3 clubes é 3/5
b) pertencer somente ao clube C é zero
c) pertencer a pelo menos dois clubes é 60%
d) não pertencer ao clube B é 40%
16) De uma reunião participam 200 profissionais, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32
enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual é
a probabilidade de ela ser médico ou dentista?
17) Na tabela abaixo temos dados de alunos matriculados em quatro cursos de uma
universidade em dado ano.
Sexo Homens Mulheres Total
Curso
(H)
(F)
70
40
110
Matemática Pura (M)
15
15
30
Matemática Aplicada (A)
10
20
30
Estatística (E)
20
10
30
Computação (C)
115
85
200
Total
Encontrar as probabilidades de:
a)
b)
c)
d)
e)
P(H)
P(F)
P(M)
P(A)
P(E)
f)
g)
h)
i)
j)
P(C)
P(AH)
P(AH)
P(AC)
P(AC)
18) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcule:
a) A probabilidade de ambas serem defeituosas
b) A probabilidade de ambas não serem defeituosas
c) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa
27
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS
1-) Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retirando-se ao acaso uma
bola dessa urna, observa-se que o número é menor do que 8. Qual é a probabilidade de que
esse número seja par?
1) (UFSCar-SP) Dois dados usuais e não-viciados são lançados. Sabe-se que os números
observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:
a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18
2) Lançando-se simultaneamente dois dados, qual a probabilidade de se obter o número 1 no
primeiro dado e o número 3 no segundo dado?
3) Uma urna A contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes. Uma urna B contém 5 bolas
brancas, 2 pretas e 1 verde. Uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma
bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira,
segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
1
, a de que outro
5
1
1
aluno B o resolva é P(B) 
e a de que um aluno C o resolva é P(C)  . Calcule a
2
6
probabilidade de que os três resolvam o problema.
4) A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P(A ) 
5) (Cesgranrio-RJ) Dois dados são lançados sobre uma mesa. A probabilidade de ambos os
dados mostrarem na face superior números ímpares é:
a) 1/3
b) 1/2
c) ¼
d) 2/ 
e) 3/ 
6) (Unesp) Num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão afetadas por uma parasitose
intestinal A e 11 por uma parasitose intestinal B, não se verificando nenhum caso de
incidência conjunta de A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente,
após a outra. Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja
afetada por A e a segunda por B.
7) (Unesp) Numa gaiola estão nove camundongos rotulados 1, 2, 3, ..., 9. Selecionando-se
conjuntamente dois camundongos ao acaso (todos têm igual probabilidade de escolha), a
probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é:
a) 0,3777...
d) 0,2777...
b) 0,47
e) 0,13333...
c) 0,17
8) No lançamento de dois dados, sabe-se que se obteve nas faces voltadas para cima a soma
dos pontos igual a 6. Qual é a probabilidade de que essas faces apresentem o mesmo
número de pontos?
28
9) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é
2
; a de sua mulher é de
5
2
. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
3
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo;
e) pelo menos um esteja vivo.
10) Verifique se são válidas as afirmações:
1
3
a) Se P(A) = e P(B|A) = , então A e B não podem ser disjuntos.
3
5
1
1
b) Se P(A) = , P(B|A) = 1 e P(A|B) = , então A pode estar contido em B.
2
2
12) Uma classe de estatística teve a seguinte distribuição das notas finais: 4 do sexo
masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram
aprovados. Para um aluno sorteado dessa classe, denote por M se o aluno escolhido for do
sexo masculino e por A se o aluno foi aprovado. Calcule:
a) P(A M c ).
b) P( A c  Mc ).
c) P(A|M).
d) P( M c |A).
e) P(M|A).
13) As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti
2 4 7
são , e
, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de
3 5 10
que pelo menos um marque um gol?
14) Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m.), 20 que
ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria são
selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m.
15) A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam
empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de:
a) A ganhar todas as três;
b) duas partidas terminarem empatadas;
c) A e B ganharem alternadamente.
16) Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável
pelo setor seleciona 5 peças. O lote será aceito se forem observadas 0 ou 1 defeituosa. Há 20
defeituosas no lote. a) Qual a probabilidade de o lote ser aceito? b) admitindo-se que o lote
seja aceito, qual a probabilidade de ter sido observado só um defeito?
29
17) Num período de um mês, 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram internados
em um hospital. Informações sobre o método de tratamento aplicado em cada paciente e o
resultado final obtido estão no quadrado abaixo.
Tratamento
A
B
Soma
24
24
12
60
16
16
8
40
40
40
20
100
Resultado
Cura total
Cura Parcial
Morte
Soma
a) Sorteando aleatoriamente um desses pacientes, determinar a probabilidade de o
paciente escolhido:
a1) ter sido submetido ao tratamento A;
a2) ter sido totalmente curado;
a3) ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado;
a4) ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado.
b) os eventos “morte” e “ tratamento A” são independentes? Justificar.
c) sorteando dois dos pacientes, qual a probabilidade de:
c1) tenham recebido tratamentos diferentes?
c2) pelo menos um deles tenha sido curado totalmente?
18) A probabilidade de que um atleta A ultrapasse 17,30 m num único salto triplo é de 0,7. O
atleta dá 4 saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos num dos saltos ultrapasse
17,30m?
19) Um aluno responde a um teste de múltipla escolha com 4 alternativas com uma só correta.
A probabilidade de que ele saiba a resposta certa de uma questão é de 30%. Se ele não sabe a
resposta existe a possibilidade de acertar “no chute”. Não existe a possibilidade de ele obter a
resposta certa por “cola”.
Se ele acertou a questão, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta?
20) Faça A e B serem eventos com P(A) =
1
1
1
; P(B) = , P(AB) = , calcular:
2
3
4
a) P(AB)
b) P(A|B);
c) P(B|A);
d) P[(AB)|B];
e) P A | B  e PB | A  .
3ª LISTA DE EXERCÍCIOS
30
11) Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retirando-se ao acaso uma
bola dessa urna, observa-se que o número é menor do que 8. Qual é a probabilidade de
que esse número seja par?
12) (UFSCar-SP) Dois dados usuais e não-viciados são lançados. Sabe-se que os números
observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:
a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18
13) Lançando-se simultaneamente dois dados, qual a probabilidade de se obter o número 1 no
primeiro dado e o número 3 no segundo dado?
14) Uma urna A contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes. Uma urna B contém 5 bolas
brancas, 2 pretas e 1 verde. Uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma
bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira,
segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
1
, a de que outro
5
1
1
aluno B o resolva é P(B) 
e a de que um aluno C o resolva é P(C)  . Calcule a
2
6
probabilidade de que os três resolvam o problema.
15) A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é P(A ) 
16) (Cesgranrio-RJ) Dois dados são lançados sobre uma mesa. A probabilidade de ambos os
dados mostrarem na face superior números ímpares é:
a) 1/3
b) 1/2
c) ¼
d) 2/ 
e) 3/ 
17) (Unesp) Num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão afetadas por uma parasitose
intestinal A e 11 por uma parasitose intestinal B, não se verificando nenhum caso de
incidência conjunta de A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente,
após a outra. Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja
afetada por A e a segunda por B.
18) (Unesp) Numa gaiola estão nove camundongos rotulados 1, 2, 3, ..., 9. Selecionando-se
conjuntamente dois camundongos ao acaso (todos têm igual probabilidade de escolha), a
probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é:
d) 0,3777...
d) 0,2777...
e) 0,47
e) 0,13333...
f) 0,17
19) No lançamento de dois dados, sabe-se que se obteve nas faces voltadas para cima a soma
dos pontos igual a 6. Qual é a probabilidade de que essas faces apresentem o mesmo
número de pontos?
20) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é
2
; a de sua mulher é de
5
2
. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
3
f) ambos estejam vivos;
g) somente o homem esteja vivo;
31
h) somente a mulher esteja viva;
i) nenhum esteja vivo;
j) pelo menos um esteja vivo.
21)
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DAS LISTAS 6, 7, 8 e 9
LISTA 6:
LISTA 7
1) a)  ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
b) E1 ={(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)}
c) E 2 ={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)}
d) E 3 ={(1,1);(1,3);(1,5);(2,2);(2,4);(2,6)
(3,1);(3,3);(3,5);(4,2);(4,4);(4,6)
(5,1);(5,3);(5,5);(6,2);(6,4);(6,6)}
e) E 4 ={(1,1);(1,3);(1,5);(3,1);(3,3);(3,5);
(5,1);(5,3);(5,5)}
f) E 5 ={(1,2);(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);
(2,6); (3,2);(4,2);(5,2);(6,2)}
g) E 6 =  -(6,6), ou seja:
E 6 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
h) E 7 = O

i) E 8 ={(1,1)}
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
1/6
1/2
7/8
1/4
letra d)
3/11
letra d)
a) 1/6
b) 1/9
c) 1/2
d) 3/4
e) 35/36
f) 0
g) 1/4
9) a) 10/21
b) 10/21
10) 1/3
11) 12/17
LISTA 8
1) 1/2
2) 1/2
3) a) 14/25
b) 1/2
c) 43/50
4) letra b)
5) 11/20
2) a) E1 ={(F,F,F)}
b) E 2 ={(M,M,M);(M,M,F);(M,F,M);
(M,F,F);(F,M,M);(F,M,F);(F,F,M)}
LISTA 9
c) E 3 ={(M,M,M);(F,F,F)}
32
3) a) E1 ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
b) E 2 ={16,17,18,19,20}
c) E 3 ={5,10,15,20}
d) E 4 ={6,12,18}
e) E 5 ={2,3,5,7,11,13,17,19}
f) E 6 ={6,12,18}
g) E 7 ={7}
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
3/7
letra c)
1/36
1/27
P= 1/60
Letra c)
P( A  B )=1/36
Letra d)
1/5
LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS
1)
33
LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS
1)
34
12