Exemplo 5.1. Campo Eléctrico de um dipolo (A resolução será feita

5.Força Eléctrica e Campo Eléctrico
Tópicos do Capítulo
5.1. Propriedades das Cargas Eléctricas
5.2. Isolantes e Condutores
5.3. Lei de Coulomb
5.4. Campo Eléctrico
5.5. Linhas do Campo Eléctrico
5.6. Movimento de Partículas Carregadas num Campo Eléctrico Uniforme
Todos nós estamos familiarizados com efeitos eléctricos: faísca que salta do dedo ao
tocar numa maçaneta, após ter andado sobre um tapete, choque na porta do carro etc.
Muitas das nossas experiências diárias baseiam-se em aparelhos que funcionam com
energia transferida através da electricidade, que é fornecida pela companhia de energia
eléctrica.
Este capítulo inicia com o estudo das propriedades básicas de força
electrostática, bem como de algumas propriedades do campo eléctrico associado com
partículas carregadas estacionárias. Nosso estudo da electrostática continua, então, com
o conceito de um campo eléctrico que está associado a uma distribuição contínua de
carga e o efeito desse campo sobre outras partículas carregadas. Aplicaremos os
modelos de uma partícula num campo e de uma partícula sob a acção de uma força
resultante.
Revisão histórica
As leis da electricidade e do magnetismo desempenham um papel central na operação
de aparelhos, tais como rádios, televisões, motores eléctricos, computadores,
aceleradores de partículas de alta energia e em uma série de dispositivos electrónicos
usados na medicina. Mais fundamental, entretanto, é o fato de que as forças
interatômicas e intermoleculares responsáveis pela formação dos sólidos e dos líquidos
têm origem eléctrica. Além disso, forças como as que empurram ou puxam os corpos
em contacto e a força elástica em uma mola surgem das forças eléctricas ao nível
atómico.
Documentos chineses sugerem que o magnetismo já era conhecido por volta de
2000a.C. Os gregos antigos observaram fenómenos eléctricos e magnéticos
possivelmente por volta de 700 a.c. Eles descobriram que um pedaço de âmbar, quando
friccionado, atraía pedaços de palha ou penas. A existência de forças magnéticas foi
conhecida a partir das observações de que as partes de uma pedra natural chamada
magnetita (Fe304) eram atraídas pelo ferro. (O termo eléctrico vem da palavra grega
para o âmbar, elektron. O termo magnético vem de Magnésia, na costa da Turquia, onde
a magnetita foi encontrada.)
Em 1600, o inglês William Gilbert descobriu que a electrificação não estava
limitada ao âmbar, mas era um fenómeno geral. Os cientistas continuaram electrificando
vários corpos, incluindo galinhas e pessoas! As experiências realizadas por Charles
Coulomb em 1785 confirmaram a lei do inverso do quadrado para a força electrostática.
Apenas na primeira parte do século XIX os cientistas estabeleceram que a electricidade
e o magnetismo são fenómenos relacionados. Em 1820, Hans Oersted descobriu que
uma agulha de bússola, que é magnética, é desviada quando colocada perto de uma
corrente eléctrica. Em 1831, Michael Faraday na Inglaterra e, quase simultaneamente,
80
Joseph Henry nos Estados Unidos mostraram que, quando se move um fio condutor
perto de um ímã (ou, de maneira equivalente, quando um ímã é movido perto de um fio
condutor), uma corrente eléctrica é observada no fio. Em 1873, James Clerk Maxwell
baseou-se nessas observações e em outros fatos experimentais para formular as leis do
electromagnetismo como as conhecemos hoje. Logo depois disso (por volta de 1888),
Heinrich Hertz verificou as previsões de Maxwell produzindo ondas electromagnéticas
no laboratório. Essa descoberta foi seguida por desdobramentos práticos como o rádio e
a televisão.
As contribuições de Maxwell para a ciência electromagnético foram
especialmente significativas porque as leis formuladas são básicas para todas as formas
de fenómenos electromagnéticos. Seu trabalho é comparável em importância à
descoberta por Newton das leis do movimento e da teoria da gravitação.
5.1. Propriedades das Cargas Eléctricas
São muitas as experiências simples que demonstram a existência das forças
electrostáticas. Por exemplo passar o pente pelo cabelo, e verificar que o pente atrai
pequenos pedaços de papel. Quando os materiais se comportam dessa maneira, diz-se
que estão carregados electricamente.
Damos ao nosso corpo uma carga eléctrica ao passar sobre um tapete de lã.
Pode-se remover essa carga eléctrica tocando levemente outra pessoa. Num dia mais
seco, pode-se ver a faísca transmitida pelo toque e as duas pessoas sentem um pequeno
choque.
Experiências demonstram que há dois tipos de carga eléctrica, que Benjamin
Franklin (1706-1790) denominou de positiva e negativa.
A Figura 5.1 mostra as interacções entre duas cargas eléctricas
Figura 5.1 (a) Uma haste de borracha carregada negativamente, suspensa por um fio, é
atraída por uma haste de vidro carregada positivamente. (b) Uma haste de borracha
carregada negativamente é repelida por outra haste de borracha carregada
negativamente.
81
A Figura 5.1 ilustra as interacções entre as duas cargas. Uma haste de borracha dura (ou
de plástico) que seja friccionada com um material acrílico é suspensa por um fio.
Quando uma haste de vidro que tenha sido friccionada com seda é aproximada da haste
de borracha, esta é atraída para a haste de vidro (Figura 5.1a). Se forem aproximadas
duas hastes de borracha carregadas (ou duas hastes de vidro carregadas), como na
Figura 5.1b, a força entre elas é de repulsão. Essa observação demonstra que a borracha
e o vidro têm tipos diferentes da carga. Usamos a convenção sugerida por Franklin; a
carga eléctrica na haste de vidro é chamada de positiva e a da haste de borracha, de
negativa. Com base nessas observações, concluímos que cargas iguais se repelem e
cargas diferentes se atraem.
Sabemos que somente dois tipos de carga eléctrica existem porque toda a carga
desconhecida que se observa experimentalmente ser atraída por uma carga positiva, é
repelida também pela carga negativa. Nunca foi observado um corpo carregado que
fosse repelido ou atraído tanto por uma carga positiva como por uma carga negativa.
Outra característica importante da carga eléctrica é que a carga resultante num sistema
isolado sempre é conservada; é o princípio da conservação da carga eléctrica para um
sistema isolado. Quando dois corpos inicialmente neutros são carregados ao ser
friccionados um contra o outro, não é criada carga no processo. Os corpos tornam-se
carregados porque electrões são transferidos de um corpo para o outro. Um corpo ganha
uma quantidade de carga negativa dos electrões que foram transferidos para ele,
enquanto o outro perde uma quantidade igual de carga negativa e, consequentemente,
fica com uma carga positiva. Por exemplo, quando uma haste de vidro é friccionada
contra a seda, esta ganha uma carga negativa cuja magnitude é igual à da carga positiva
na haste de vidro porque electrões negativamente carregados são transferidos do vidro
para a seda. Do mesmo modo, quando a borracha é friccionada com um material de
acrílico, electrões são transferidos do acrílico para a borracha. Um corpo que não está
carregado contém um número enorme de electrões (da ordem de 1023). Entretanto, para
cada electrão negativo também está presente um protão positivamente carregado; logo,
um corpo não carregado é neutro pois não tem nenhuma carga resultante de um ou de
outro sinal.
5.2. Isolantes e Condutores
Já discutimos a transferência de carga de um corpo para outro. É também possível as
cargas eléctricas se deslocarem de uma posição para outra dentro de um corpo – tal
movimento da carga é chamado de condução eléctrica. É conveniente classificar as
substâncias de acordo com a habilidade das cargas de mover-se dentro da substância:
Condutores são materiais nos quais as cargas eléctricas se deslocam de maneira
relativamente livre e os isolantes são materiais nos quais as cargas eléctricas não se
deslocam livremente.
Materiais como o vidro e a borracha são isolantes. Quando tais materiais são
carregados por atrito, apenas a área friccionada torna-se carregada, e a carga não tende a
deslocar-se para outras regiões do material. Ao contrário, materiais como o cobre, o
alumínio e a prata são bons condutores. Quando tais materiais são carregados em
alguma região pequena, a carga distribui-se prontamente sobre toda a superfície do
material. Se seguramos uma haste de cobre na mão e friccionamos a haste com lã, ela
não atrairá um pedaço pequeno de papel. Isso poderia sugerir que um metal não pode
ser carregado. Contudo, se você segurar a haste de cobre por um cabo isolante e então
82
friccioná-la, a haste permanece carregada e atrai o pedaço de papel. No primeiro caso,
as cargas eléctricas produzidas pelo atrito se movem rapidamente do cobre por
intermédio de seu corpo, que é um condutor, indo finalmente para a Terra. No segundo
caso, o cabo isolante impede o fluxo de carga para a sua mão.
Semicondutores são uma terceira classe de materiais e suas propriedades
eléctricas estão entre as dos isolantes e as dos condutores. Cargas podem deslocar-se um
tanto livremente num semicondutor, mas há bem menos cargas deslocando-se por um
semicondutor do que por um condutor. O silício e o germânio são exemplos bem
conhecidos de semicondutores que são amplamente utilizados na fabricação de vários
dispositivos electrónicos. As propriedades eléctricas dos semicondutores podem ser
alteradas por várias ordens de grandeza pela adição de quantidades controladas de
determinados átomos estranhos aos materiais.
Carga por indução
Quando um condutor é conectado à Terra por meio de um fio condutor, ou por um tubo
metálico, diz-se que o condutor está aterrado. Para nossos objectivos, a Terra pode ser
considerada como um reservatório infinito de electrões, o que significa que pode aceitar
ou fornecer um número ilimitado de electrões. Neste caso a Terra tem uma finalidade
semelhante à de nossos reservatórios de calor da termodinâmica. Tendo isso em mente,
podemos compreender como carregar um condutor por um processo conhecido como
carga por indução.
Considere uma esfera condutora neutra (não carregada) que esteja isolada de
modo que não haja nenhuma via de condução para o solo (Figura 5.2a). Aproxima-se
uma haste de borracha negativamente carregada da esfera. A força de repulsão entre os
electrões na haste e na esfera causa uma redistribuição de carga sobre a esfera, de modo
que alguns electrões se desloquem para o lado da esfera mais distante da haste (Figura
5.2b). A região da esfera mais próxima da haste tem um excesso de carga positiva por
causa da migração dos electrões para fora desse local. Se agora um fio condutor
aterrado for conectado à esfera perto da região onde estão os electrões, como na Figura
5.2c, alguns dos electrões deixarão a esfera e irão para a Terra. Se o fio ligado ao solo
for removido (Figura 5.2d), a esfera condutora ficará com um excesso de carga positiva
induzida. Finalmente, quando a haste de borracha é retirada de perto da esfera (Figura
5.2e), a carga positiva induzida permanece na esfera não aterrada. Essa carga positiva
adicional distribui-se de maneira uniforme sobre a superfície da esfera não aterrada por
causa das forças de repulsão entre as cargas e da alta mobilidade dos portadores de
carga num metal.
No processo de induzir uma carga na esfera, a haste de borracha carregada não
perde nada de sua carga negativa, porque não entra em contacto com a esfera. Podemos
concluir que carregar um corpo por indução não requer nenhum contacto com o corpo
que induz a carga. Isso é diferente de carregar um corpo por meio do atrito, que requer o
contacto entre os dois corpos.
83
Figura 5.2. Carga de um corpo metálico por indução. (a) Uma esfera metálica neutra,
com números iguais de cargas positivas e negativas. (b) A carga na esfera neutra é
redistribuída quando uma haste de borracha carregada é colocada próxima da esfera. (c)
Quando a esfera é aterrada, alguns de seus electrões saem através do fio aterrado. (d)
Quando a conexão com o solo é removida, a esfera tem excesso de carga positiva que
está distribuída de maneira não uniforme. (e) Quando a haste de borracha é removida, o
excesso de carga positiva torna-se uniformemente distribuído sobre a superfície da
esfera.
Figura 5.3. (a) Um balão carregado induz cargas sobre a superfície de uma parede. (b)
Um pente carregado atrai pequenos pedaços de papel porque as cargas são deslocadas
no papel. O papel é neutro mas está polarizado.
84
Um processo semelhante à primeira etapa da carga por indução em condutores
ocorre nos isolantes. Na maioria dos átomos e das moléculas neutras, a posição média
da carga positiva coincide com a posição média de carga negativa. Contudo, na
presença de um corpo carregado, essas posições podem mudar ligeiramente devido às
forças de atracção e repulsão do corpo carregado, tendo por resultado uma carga mais
positiva num lado da molécula do que no outro.
Esse efeito é conhecido como polarização. A polarização de moléculas
individuais produz uma camada de carga na superfície do isolante, como mostrado na
Figura 5.3a, na qual um balão carregado que está do lado esquerdo é colocado contra
uma parede à direita. Na Figura 5.3a, a camada da carga negativa na parede está mais
próxima do balão positivamente carregado do que as cargas positivas nas outras
extremidades das moléculas. Assim, a força de atracão entre as cargas positivas e
negativas é maior do que a força de repulsão entre as cargas positivas. A consequência é
uma força de atracção resultante entre o balão carregado e o isolante neutro. É esse
efeito de polarização que explica por que um pente friccionado no cabelo atrai pequenos
pedaços de papel neutro (Figura 5.3b).
5.3. Lei de Coulomb
As forças eléctricas entre corpos carregados foram medidas quantitativamente por
Charles Coulomb usando a balança de torção, que ele inventou (Figura 5.4). Coulomb
confirmou que a força eléctrica entre duas pequenas esferas carregadas é proporcional
ao inverso do quadrado da distância r de separação entre elas, isto é, F  1 / r 2 . A força
eléctrica entre as esferas carregadas A e B, na Figura 5.4, faz com que haja atracção ou
repulsão entre as esferas, e o movimento resultante causa a torção da fibra suspensa.
Como o torque restaurador da fibra torcida é proporcional ao ângulo de giro, uma
medida desse ângulo fornece uma medida quantitativa da força eléctrica de atracção ou
repulsão. Uma vez que a esferas são carregadas por fricção, a força eléctrica entre elas é
muito grande, comparada com a atracção gravitacional, de maneira que a força
gravitacional pode ser desprezada
Figura 5.4. A balança de torção de Coulomb, que foi utilizada para estabelecer a lei do
inverso do quadrado para a força electrostática entre duas cargas.
85
A força electrostática entre duas partículas carregadas com cargas ql e q2 e separadas por
uma distância r é
(5.1)
onde ke (= 8,99  109 C2/ N  m 2 ) é a constante de Coulomb e a força é medida em
newtons se as cargas estão em coulombs e a distância de separação está em metros. A
constante ke também é escrita como
onde a constante  0 , conhecida como a permitividade do vácuo, vale
É importante observar que a equação 5.1 fornece somente o módulo da força. A
direcção da força numa partícula dada tem de ser encontrada considerando-se o lugar
onde as partículas estão localizadas umas em relação às outras e o sinal de cada carga.
Assim, uma representação pictórica de um problema de electrostática é muito
importante para a compreensão do problema.
A menor quantidade de carga isolada encontrada na natureza (até o momento) é
a carga de um protão ou do electrão. A carga de um eléctron é q = - e = -1.60  10-19 C,
e o protão tem uma carga de q = + e = 1.60 10- 19 C; consequentemente, 1 C da carga é
igual ao módulo da carga de (1,60  10-19)-1 = 6,25  1018 electrões. Observe que 1 C é
uma grande quantidade de carga. Nos experimentos electrostáticos típicos, em que uma
haste de borracha ou de vidro é carregada por meio do atrito, obtém-se uma carga
resultante da ordem de 10-6 C (= 1 C). Em outras palavras, somente um número muito
pequeno do total de electrões disponíveis (da ordem de 1023 em uma amostra de 1 cm3)
é transferido entre a haste e o material com o qual ela está sendo friccionada. Os valores
medidos experimentalmente das cargas e das massas do electrão, do protão e do neutrão
são dados na Tabela 5.1.
Deve-se lembrar, ao lidar com a lei de Coulomb, que a força é uma quantidade
vectorial e deve ser tratada como tal. Além disso, a lei do Coulomb aplica-se
exactamente somente a partículas1. A força electrostática exercida por q1 e q2 escrita2

como F12 , pode ser expressa na forma vectorial como
1
A lei de Coulomb também pode ser usada para corpos maiores aos quais o modelo da partícula pode ser
aplicado.
2
Observe que usamos "q2"como uma abreviação para "partícula com carga q2". Esse é um uso comum
quando se discutem partículas carregadas, semelhante ao uso em mecânica do "m2" para "partícula com
massa m2". O contexto da frase lhe dirá se o símbolo representa uma quantidade de carga ou uma
partícula com aquela carga.
86

qq 
F12  k e 1 2 2 r̂12
r
(5.2)

onde r12 é um vector unitário orientado de q1 para q2 como na Figura 19.8a. A equação
5.2 pode ser usada para se descobrir a direcção real da força no espaço, embora seja
necessária uma representação pictórica desenhada com cuidado a fim de identificar

claramente a direcção de r12 . A partir da terceira lei de Newton verificamos que a força
eléctrica exercida por q2 sobre q1 tem módulo igual à força exercida por q1 em q2 e


aponta na direcção oposta; isto é, F21   F12 . A partir da equação 5.2 vemos que, se q1
e q2 têm o mesmo sinal, o produto q1q2 é positivo e a força é de repulsão, como na

Figura 5.5a. A força em q2 está no mesmo sentido que r12 , e se afasta de q2, Se q1 e q2
tiverem sinais opostos como na Figura 5.5b, o produto q1q2 é negativo e a força é de

atracção. Neste caso, a força em q2 está no sentido oposto a r12 , direccionada para q1.
Tabela 5.1. Valores experimentais da carga e massa do: electrão, protão e neutrão.
Figura 5.5. Duas cargas pontuais separadas por uma distância r exerce uma força entre

si dada pela lei de Coulomb. Observe que a força F21 exercida por q2 sobre ql é igual em

magnitude e oposta em sentido à força F12 exercida por q1 sobre q2. (a) Quando as
cargas são de mesmo sinal, a força é de repulsão. (b) Quando as cargas são de sinais
opostos, a força é de atracção.
87
Quando estão presentes mais de duas partículas carregadas, a força entre
qualquer par é dada pela equação 5.2. Consequentemente, a força resultante sobre
qualquer partícula é igual à soma vectorial das forças individuais devidas a todas as
outras partículas. Esse princípio de sobreposição do modo como é aplicado para as
forças electrostáticas é um facto observado experimentalmente e representa
simplesmente a soma vectorial. Por exemplo, se quatro partículas carregadas estiverem
presentes, a força resultante na partícula 1 devida às partículas 2, 3 e 4 é dada pela soma
vectorial




F1  F21  F31  F41
5.4. Campo Eléctrico

Na mecânica vimos que o campo gravitacional g num ponto no espaço é igual à força

gravitacional Fg que age sobre uma partícula de prova de massa m0 dividida pela massa
da partícula de prova:

 Fg
g
m0
Essa é a versão gravitacional do modelo de uma partícula em um campo. De maneira
similar, um campo eléctrico num ponto do espaço pode ser definido em termos da força
eléctrica que age em uma partícula de prova com carga q0 colocada nesse ponto. Como
existem duas variedades de cargas, (positivas e negativas) temos de escolher uma
convenção para a nossa partícula de prova (positiva ou negativa). Escolhemos a
convenção de que uma partícula de prova tem sempre uma carga eléctrica positiva. Com
essa convenção, podemos introduzir a versão eléctrica do modelo da partícula num
campo:


O campo eléctrico E num ponto do espaço é definido como a força eléctrica Fe
que age sobre uma partícula de prova, colocada neste ponto, dividida pela carga q0 da
partícula de prova. Assim:

 Fe
E
q0
(5.3)
Assim, um campo eléctrico existe num ponto se uma partícula de prova carregada
colocada em repouso nesse ponto experimentar uma força eléctrica. Uma vez que força

é um vector, o campo eléctrico também é um vector. Observe que E é o campo
produzido por alguma(s) partícula(s) carregada(s) separada(s) da partícula de prova que
não é o campo produzido pela partícula de prova. Chamamos a(s) partícula(s) que
cria(m) o campo eléctrico de partícula(s)-fonte. Isso é análogo ao campo gravitacional
criado por algum corpo como a Terra. Esse campo gravitacional existe
independentemente de uma partícula de prova de massa m0 estar presente ou não. Da
mesma maneira, o campo eléctrico das partículas-fonte está presente se introduzimos ou
88
não uma partícula de prova no campo. A partícula de prova é usada apenas para medir a
força e detectar, assim, a existência do campo e avaliar sua intensidade.
Ao utilizar a equação 5.3, temos de considerar que a carga de prova q0 é pequena
o bastante para não perturbar a distribuição de carga responsável pelo campo eléctrico.
Se uma carga de prova infinitesimalmente pequena q0 for colocada perto de uma esfera
metálica uniformemente carregada como na Figura 5.6a, a carga sobre a esfera metálica
permanecerá distribuída uniformemente. Se a carga de prova for grande o bastante
( q0' »q0 ), como na Figura 5.6b, a carga sobre a esfera metálica será redistribuída e a
razão da força para a carga de prova será diferente: Fe' / q 0'  Fe / q 0 . Isto é, por causa
dessa redistribuição de carga sobre a esfera metálica, o campo eléctrico criado por ela é

diferente do campo criado na presença da carga q0 que é muito menor. O vector E tem
as unidades SI de newtons por coulomb (N/C), análogas às unidades N/kg para o campo


gravitacional. A direcção de E é a mesma que a direcção de Fe , porque usamos a
convenção de uma carga positiva na partícula de prova.
Uma vez que o campo eléctrico é conhecido em algum ponto, a força sobre
qualquer partícula com carga q colocada nesse ponto pode ser calculada a partir da
equação 5.3, na forma:


Fe  qE
(5.4)
Uma vez que a força eléctrica é calculada, a situação pode ser descrita com o modelo de
partícula sob a acção de uma força resultante (a força eléctrica pode precisar ser
combinada com outras forças agindo sobre a partícula), e as técnicas desenvolvidas
anteriormente na mecânica podem ser utilizadas para encontrar o movimento da
partícula.
Figura 5.6 (a) Para uma carga de prova q0 pequena o bastante, a distribuição de carga
sobre a esfera não é perturbada. (b) Quando a carga de prova q 0' é bem maior, a
distribuição de carga sobre a esfera é perturbada devido à proximidade de q 0' .
Considere uma carga pontual3 q localizada a uma distância r de uma partícula de prova
com carga q0. De acordo com a lei do Coulomb, a força exercida na partícula de prova
por q é
3
Usamos até aqui as expressões "partícula carregada" ou "partícula com uma carga". A expressão "carga
pontual" pode causar confusão porque carga é uma propriedade da partícula, não uma entidade física.
Esta expressão é semelhante à usada na mecânica como "a massa m é colocada..." (que evitamos) em vez
de "uma partícula com massa m é colocada...". Contudo, esta expressão está tão enraizada no uso da física
que iremos usá-la e esperamos que esta nota de rodapé seja suficiente para esclarecer sua utilização.
89

qq 
Fe  k e 20 rˆ
r
Usando a equação 5.3, descobrimos que o campo eléctrico criado por q num ponto P,
que corresponde a posição de q0 é

q 
E  k e 2 rˆ
(5.5)
r

onde r é um vector unitário que se orienta de q para P (Figura 5.7). Se q for positiva
como na Figura 5.7a, o campo eléctrico estará orientado radialmente para fora a partir
dela. Se q for negativa como na Figura 5.7b, o campo se orientará para dentro.
Figura 5.7 Uma carga de prova q0 no ponto P está a uma distância r de uma carga
pontual q. (a) Se q é positiva, o campo eléctrico em P devido a q aponta radialmente
para fora a partir de q. (b) Se q é negativa, o campo eléctrico em P devido a q aponta
radialmente para dentro em direcção a q. O campo eléctrico devido a q existe mesmo na
ausência de q0.
Para calcular o campo eléctrico em um ponto P devido a um grupo de cargas pontuais,
primeiramente calculamos os vectores do campo eléctrico em P individualmente usando
a equação 5.5 e então realizamos sua soma vectorial. Em outras palavras, o campo
eléctrico total num ponto no espaço devido a um grupo de partículas carregadas é igual
à soma vectorial dos campos eléctricos nesse ponto devido a todas as partículas. Esse
princípio de sobreposição aplicado aos campos deriva directamente da propriedade de
soma vectorial das forças. Assim, o campo eléctrico no ponto P de um grupo de cargasfonte pode ser expresso como

q 
E  k e  2i rˆi
i ri
(5.6)
90
onde ri é a distância da i-ésima carga qi ao ponto P (a posição em que o campo deve ser

calculado) e r̂i é um vector unitário dirigido de qi para P.
Charles Coulomb (1736-1806). Físico francês. As principais
contribuições de Coulomb para a ciência foram nas áreas de
electrostática e magnetismo. Durante sua vida, também investigou as
resistências dos materiais e determinou as forças que afectam corpos
sobre vigas, contribuindo assim para o campo da mecânica estrutural.
No campo da ergonomia, sua pesquisa forneceu uma compreensão
fundamental das maneiras pelas quais as pessoas e os animais podem
realizar melhor o trabalho.
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Exemplo 5.1. Campo Eléctrico de um dipolo (A resolução será feita na aula teórica)
Um dipolo eléctrico é constituído por uma carga pontual q e por uma carga pontual -q
separadas por uma distância de 2a,como na Figura 5.8 Os átomos e as moléculas
neutras comportam-se como dipolos quando colocados num campo eléctrico externo.
Além disso, muitas moléculas, tais como HCI, são dipolos permanentes. (A molécula de
HCI pode ser considerada efectivamente como um ião H+ combinado com um ião Cl-).

(a) Determine o campo eléctrico E devido ao dipolo ao longo do eixo y no ponto P, que
se encontra a uma distância y da origem.
(b) Encontre o campo eléctrico para pontos y » a que estão muito afastados do dipolo.
Figura.5.8. Dipolo eléctrico.
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91
Campo eléctrico devido às distribuições contínuas de carga
Na maioria das situações práticas (por exemplo, um corpo carregado pela fricção), a
separação média entre as cargas-fonte é pequena comparada com suas distâncias do
ponto no qual o campo deve ser calculado. Nesses casos, o sistema de cargas-fonte pode
ser considerado contínuo. Isto é, imaginamos que o sistema de cargas muito juntas é
equivalente a uma carga total que esteja distribuída continuamente em algum volume ou
sobre alguma superfície.
Para calcular o campo eléctrico de uma distribuição contínua de carga, utiliza-se
o seguinte procedimento: primeiro, dividimos a distribuição de carga em elementos
(pedaços) pequenos, cada um contendo um pouco de carga  q como na Figura 5.9. Em
seguida, supondo o elemento como uma carga pontual, usamos a equação 5.5 para

calcular o campo eléctrico E num ponto P devido a um desses elementos. Finalmente,
calculamos o campo total em P devido à distribuição de carga fazendo a soma vectorial
das contribuições de todos os elementos princípio sobreposição).
Figura 5.9. O campo eléctrico em P devido a uma distribuição contínua de carga é a
soma vectorial dos campos devidos a todos os elementos q da distribuição de carga.
O campo eléctrico em P devido a um elemento de carga q i é dado por

q 
Ei  k e 2 i rˆi
ri
onde o índice i refere-se ao i-ésimo elemento na distribuição, ri é a distância do

elemento ao ponto P e r̂i é um vector unitário orientado do elemento para P. O campo
eléctrico total em P devido a todos os elementos na distribuição de cargas é
aproximadamente
92

q 
E  k e  2 i rˆi
ri
i
Agora, aplicamos o modelo em que a distribuição de carga é contínua – deixamos os
elementos de carga tornarem-se infinitesimalmente pequenos. Com esse modelo, o
campo total em P no limite qi  0 torna-se

q 
dq 
E  lim k e  2 i rˆi  k e  2 rˆ
qi 0
ri
ri
i
(5.7)
onde dq é uma quantidade infinitesimal de carga e a integração é sobre toda a carga que
cria o campo eléctrico. A integração é uma operação vectorial e deve ser tratada com
cuidado. Ela pode ser calculada em termos de componentes individuais, ou talvez
argumentos de simetria possam ser usados para reduzi-la a uma integral escalar.
Ilustraremos esse tipo de cálculo com diversos exemplos nos quais supomos que a carga
está distribuída uniformemente sobre uma linha ou sobre uma superfície ou por algum
volume. Ao executar tais cálculos, é conveniente usar o conceito de uma densidade de
carga juntamente com as seguintes notações:

Se uma carga total Q for distribuída uniformemente por todo um volume V, a
carga por unidade de volume  é definida por
(5.8)
onde  tem unidades de coulombs por metro cúbico.

Se Q for distribuída uniformemente sobre uma superfície de área A, a carga por,
unidade de área  é definida por
(5.9)
onde  tem unidades de coulombs por metro quadrado.

Se Q for distribuída uniformemente ao longo de uma linha de comprimento  , a
carga por unidade de comprimento  é definida por
(5.10)
onde  tem unidades de coulombs por metro.
93