Modelos de factores

INVESTIMENTOS
Modelos de factores
Um investidor, para usar a teoria da carteira, necessita de
possuir estimativas das rentabilidades esperadas, assim como
da matriz de variâncias e covariâncias. Com um número
elevado de activos o número de parâmetros a estimar pode
ser incrivelmente elevado. Por exemplo, com 150 activos há
11175 coeficientes de correlação a estimar. Este facto levou a
que fossem estudadas maneiras inteligentes de conseguir
estimar esses parâmetros.
Os modelos de factores simplificam imenso a tarefa de
estimar os inputs necessários para a determinação do conjunto
de carteiras eficientes. Os modelos de factores são ainda um
elemento
essencial
no
modelo
de
arbitragem
que
estudaremos mais à frente.
João Rosa Lopes
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O modelo mais simples admite que as covariâncias entre as
rentabilidades dos vários activos são explicadas por haver um
factor comum que está por detrás das variações na
rentabilidade dos activos.
Os modelos com vários factores, as covariâncias entre as
rentabilidades dos vários activos são explicadas por existirem
vários factores comuns que influenciam a rentabilidade dos
activos.
Modelo com um factor comum
Quando o mercado está em alta os preços dos títulos tendem
a subir, enquanto que quando o mercado está em baixa, os
preços tendem a diminuir. Isto sugere que, em grande
medida, as variações no preço de um título individual está
correlacionado com o estado do mercado.
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O mercado é o factor comum que está por detrás da
correlação nos preços de activos individuais.
O modelo de um factor é, de longe, o mais utilizado o que
justifica o seu estudo pormenorizado.
Hipóteses do modelo
O modelo assume que a rentabilidade de um activo se
relaciona com rentabilidade do mercado de acordo com:
onde Ri é a rentabilidade do activo i, Rm é a rentabilidade do
mercado, i e i são constantes e i é a componente aleatória
da rentabilidade do activo i.
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- O parâmetro i, é a componente da rentabilidade do activo
i que é fixa.
- O parâmetro i mede a sensibilidade da rentabilidade do
activo i às variações em Rm. Diz-nos quanto é que varia a
rentabilidade do activo i
quando a rentabilidade do
mercado aumenta 1 unidade (note-se que Rm também é uma
variável aleatória).
O termo i é uma componente aleatória da rentabilidade do
activo i que se admite ter valor esperado nulo e não estar
correlacionado com Rm, ou seja, E(i ) =0 e COV ( εi, Rm) = 0.
Para além disso, a variância de i é 2( i).
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Outro pressuposto essencial no modelo, é que os termos
aleatórios (resíduos) de dois activos diferentes não estão
correlacionados, ou seja, COV (εi,εj) = E( εiεj) = O. Isto implica que a
única razão porque Ri e Rj estão correlacionados é porque
ambos respondem às variações na rentabilidade do mercado,
é porque ambos estão correlacionados com Rm.
Com base neste pressuposto podemos escrever que a covariância
entre dois activos, I e J, como:
COV (ri,rj) = βiβj 2 (Rm)
Uma questão que é relevante do ponto de vista prático é como medir a rentabilidade de mercado. Normalmente
considera-se a rentabilidade de um índice do mercado.
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É recomendável usar índices com uma base alargada (faz
mais sentido usar o S&P 500 do que o Dow Jones, por
exemplo).
E no caso Português? Deve-se utilizar o PSI-20 ou o PSI –
Geral?
Implicações do modelo
Rentabilidade e variância de um activo
Tendo em conta as hipóteses do modelo, o valor esperado da
rentabilidade do activo i é:
=» Ri = E(Ri) = E [i + iRm +i] = i + i E [Rm] )
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A variância da rentabilidade do activo i é:
O último termo desta expressão é duas vezes a covariância
entre Rm e i. Mas, por hipótese do modelo, esta covariância é
nula.
Por conseguinte, a variância da rentabilidade de um activo
pode ser decomposta em duas partes:
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- A primeira é a variância explicada pelo modelo (risco
sistemático): a rentabilidade do activo i, varia porque está
relacionada com a rentabilidade de mercado, que por sua vez
também é variável (a sua variânciam2).
- A outra componente é a variância residual ou risco não
diversificável, é a variância da componente aleatória i.
Representa a parte da variância total que desaparece
com a diversificação.
Covariância entre a rentabilidade de dois activos
E que podemos dizer da covariância entre as rentabilidades
de dois activos?
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- O segundo e o terceiro termo são nulos porque a
componente
aleatória
não
está
correlacionada
com
a
rentabilidade de mercado.
- O último termo também é nulo porque, por hipótese, as
componentes aleatórias de dois activos distintos não estão
correlacionadas, ou seja, E (εi,εj) = O. Por conseguinte, a
covariância entre Ri e Rj é dada por:
ij = ij2m
Neste modelo, a covariância entre a rentabilidade dos activos
é explicada inteiramente pelos respectivos betas e a variância
do portfolio de mercado. Isto faz sentido, de acordo com o
modelo, a variabilidade da rentabilidade do mercado é o
único factor que explica a forma como os activos se
correlacionam.
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Carteira de activos
Consideremos agora uma carteira com n activos, em que xi é
a fracção investida no activo i. A rentabilidade da carteira é:
onde
Se multiplicarmos a equação anterior por xi, obtemos xiRi, e
somando, para todo o i, obtemos a rentabilidade do portfolio:
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O beta do portfolio é a média ponderada dos betas dos activos que compõe
a carteira, onde os ponderadores são a fracção investida em
cada um dos activos:
Se
a carteira
de
activos
tiver
exactamente a
mesma
composição que o índice de mercado, o que implica Rp = Rm,
o parâmetro p é igual a O e o parâmetro p = 1. Ou seja, o beta
da carteira de mercado é igual a 1.
A rentabilidade esperada da carteira de activos é dada por:
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A variância da rentabilidade de uma carteira com n activos é:
substituindo i2 e  ij pelas expressões obtidas anteriormente,
obtemos:
Como o beta do portfolio, p = in= xii, a variância da
rentabilidade da carteira pode ainda escrever-se:
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Repare-se que o último termo tende para zero quando n tende
para infinito. Ou seja, o risco residual é eliminado com a
diversificação do portfolio. Por essa razão, i2 é muitas vezes
designado por risco diversificável. Em contrapartida, o efeito de
p2m não desaparece com a diversificação. É o risco sistemático.
(Exemplo)
Estimação dos parâmetros para implementar a teoria da
carteira
Se não impusermos nenhuma estrutura na forma como as
rentabilidades dos vários activos se comportam, num universo
com n activos, seria necessário estimar 2n + n(n-1)/2parâmetros
para poder determinar o conjunto de carteiras eficientes.
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Quantos parâmetros temos de estimar se usarmos o modelo de
um factor?
Para estimar a rentabilidade esperada e a variância da
rentabilidade do activo i, precisamos de conhecer, , i, i2
(parâmetros específicos do activo i) e ainda Rm e m2 .
Se conhecermos m2 e i para todos os activos, também
conhecemos as covariâncias entre todos os activos.
Então, o número de parâmetros a estimar é 3n + 2.
Para um número elevado de activos isto representa uma
redução enorme no número de parâmetros a estimar. Por
exemplo, com n = 100 o número de parâmetros decresce de
5150 para 302!
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Como estimar estes parâmetros?
- Uma possibilidade: Usar dados passados relativamente à
rentabilidade de cada um dos activos e à rentabilidade do
mercado para estimar os parâmetros do modelo de um factor.
Se o padrão de comportamento do passado se mantiver no
futuro, este procedimento é adequado para prever os valores
futuros das rentabilidades esperadas e das covariâncias (os
valores futuros é que são relevantes para o investidor).
- Outras técnicas mais sofisticadas consideram a possibilidade de
os parâmetros variarem ao longo do tempo, e identificam os
factores que influenciam o comportamento dos parâmetros.
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Como estimar α e i ?
O modelo com um factor admite que a rentabilidade do activo
activo i, no momento t, é descrita por:
Mas não observamos directamente i e i! Aquilo que podemos
observar é Ri,t e Rm,t. Será que é possível, com base nos dados
passados de Ri,t e de Rm,t , estimar os valores dos parâmetros i
e i ?
Para estimar os valores dos parâmetros i e i basta fazermos
uma regressão linear, em que a variável explicada é Ri,t e a
variável explicativa é Rm,t.
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Modelo de regressão linear simples:
Na Figura 6.1 estão representados os pontos (Rm,t, Ri,t) para
vários momentos do tempo. Se não houvesse a componente
aleatória, existiria uma relação linear exacta entre Ri, e Rm, e todos
os pontos estariam na recta apresentada na figura.
Nesse caso, seria trivial calcular o valor exacto de i e i
(bastavam duas observações, para o podermos fazer). O
problema é que existe a componente aleatória!
Isto faz com que algumas observações estejam acima da recta,
outras abaixo da recta. Por conseguinte, o conjunto de
observações (a nossa amostra) é uma nuvem de pontos como a
apresentada na figura. E é com base nessa nuvem de pontos que
nós queremos estimar os valores de i e i .
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A ideia do método de estimação normalmente usado, o método
dos mínimos quadrados, é a seguinte: conhecendo nós a nuvem
de pontos correspondente a uma dada amostra de dados, qual é
a recta que melhor se ajusta a essa nuvem de pontos?
Se designarmos por i e i os estimadores de i e i , a ideia é
encontrar os valores de i e i que minimizam a soma dos
quadrados dos
Figura 6.1: Modelo com um factor - relação entre a
rentabilidade do activo i e a rentabilidade de mercado.
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desvios em relação à recta. Ou seja, os estimadores i e i ,
encontram-se resolvendo o seguinte problema2:
onde T é o número de observações.
Resolvendo as condições de primeira ordem deste problema, é
fácil mostrar que a solução é:
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Ou seja, o estimador do beta do activo i é igual ao rácio da
covariância entre o activo i e a carteira de mercado pela
variância da carteira de mercado.
Uma vez conhecido o estimador do declive da recta, podemos
calcular facilmente αi = Ři-β. Esta forma de calcular âi, evidencia
uma propriedade importante da recta de regressão: ela passa no
ponto médio (Rm, Ri).
Uma medida que é bastante útil para avaliar a «qualidade» do
ajustamento, é o coeficiente de determinação, R2. O coeficiente
de determinação indica-nos qual é a proporção da variação total
na variável dependente que é explicada pelo modelo. No caso
da regressão linear simples o coeficiente de determinação é
simplesmente o quadrado do coeficiente de correlação entre a
variável explicada e explicativa. Por conseguinte, no nosso
modelo:
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Modelo com vários factores
Neste modelo assume-se que há vários factores que influenciam
a rentabilidade de um activo (por exemplo, a rentabilidade do
mercado, o nível da taxa de juro, índices industriais, taxa de
inflação, ... ).
A equação que descreve a rentabilidade do activo é:
onde Fj é o factor j (com j = 1,... , k).
As restantes hipóteses do modelo são semelhantes:
- Os vários factores não estão correlacionados com o termo
residual;
- O termo residual tem valor esperado nulo e as componentes
aleatórias de dois activos distintos não estão correlacionadas.
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A
interpretação
dos
parâmetros
do
modelo
também
é
semelhante.
- O parâmetro bij mede a sensibilidade da rentabilidade do
activo i a variações no factor j. Se o factor j variar de uma
unidade (mantendo-se todos os outros factores constantes) Ri
varia bij unidades.
No modelo, a covariância da rentabilidade de dois activos
resulta dos activos estarem simultaneamente a responder às
variações de k factores.
Se tivermos dados para Ri e para os k factores para vários
períodos de tempo, podemos estimar os parâmetros ai e bij
(j = 1,·· . , k). Neste caso, teremos de fazer uma regressão linear
múltipla.
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Um aspecto que é importante é que os factores podem estar
correlacionados.
Se os factores estiverem correlacionados o risco sistemático inclui
não só o risco associado com a variabilidade de cada um dos
factores, mas também as covariâncias entre os factores. Por essa
razão, há técnicas que são usadas para definir um conjunto de
factores «ortogonais» a partir dos factores originais.
Se os factores forem ortogonais, isto é se não forem correlacionados, o
risco sistemático é igual à soma do risco sistemático associado a
cada um dos factores. Nesse caso, a variância da rentabilidade
do activo i e a covariância entre Ri e Rj é dada por:
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