Apoio Matemático – Material da Apostila Relembrando Matemática

Apoio Matemático – Material da Apostila Relembrando Matemática
Profº. Pedro H. Cavalcanti
Números Naturais
Este é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representado pela letra Z.
Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N.
O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto é infinito ou seja não
tem fim.
Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos:
a) 9 - 12 = ?
b) 8 - 100 = ?
Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as respostas
estão dentro do conjunto dos números inteiros.
Vamos conhecer este conjunto:
Conjunto dos Números Inteiros
O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto é formado por números
negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e
nem positivo.
No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros.
Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas
acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países
que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se
você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos.
Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o
número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância
entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão crescendo
da esquerda para a direita, -3 é maior que -4, 0 é maior que -1 e assim em diante.
Vamos comparar alguns números inteiros.
a) -5 > -10,
b) +8 > -1000,
c) -1 > -200.000,
d) -200 < 0,
e) -234 < -1,
f) +2 > -1,
g) g) -9 < +1
Lembrete:
1º: Zero é maior que qualquer número negativo.
2º: Um é o maior número negativo.
3º: Zero é menor que qualquer número positivo.
4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.
Números Opostos ou Simétricos
Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são chamados de
opostos ou simétricos.
2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ou simétrico de + 100.
Adição e Subtração de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da
subtração)
e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que estava depois da
subtração)
Lembrete:
Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo) e
crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo 15 reais se tenho
só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma divida de 5 reais faço mais uma
divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)
c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)
d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)
e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)
g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)
h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)
Lembrete:
Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre positivo, a
multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre negativo.
Potenciação de Números Inteiros
Exemplos:
a) (+3)² = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32
c) (-8)0 = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo número
elevado a zero é igual a 1 positivo)
e) (18)¹ = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)
Importante:
(-2)2 = (-2) x (-2) = 4 é diferente de – 2² = -(2) x (2) = - (4) = - 4
No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso
apenas o número está elevado ao quadrado.
Radiciação de Números Inteiros
Exemplos:
a) √25 = 5 (lembre-se que 5 x 5 = 25)
b) √49 = 7 (lembre-se que 7 x 7 = 49)
c) √-36 = 6 (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)
d) -√ 81 = -9 (observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz)
e) ³√-8 = -2 (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada.
d) ³√ 8 = 2(lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)
Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros
a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)]
= - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]
=3-2+4-5-6
= 7 – 13
=-6
Primeiro eliminamos os parênteses, como antes dele tinha um sinal de menos todos os
números saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos os colchetes, como também
tinha um sinal de menos todos os números saíram com os sinais trocados, somamos os
positivo e o negativos
b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}
= { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}
= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}
= {- 5 - 8 + 15 - 3}
= - 5 - 8 + 15 - 3
= - 16 + 15
=-1
Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois multiplicamos o resultado por 3, logo após
eliminamos os colchetes, como antes deste tinha um sinal de mais, todo os números saíram
sem trocar sinal, eliminamos também as chaves, observe que também não teve troca de
sinais pelo mesmo motivo anterior, juntamos positivo e negativos.
Relembrando
Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números.
Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos
fundamentais, a saber:
Conjunto dos números naturais
N = {0,1,2,3,4,5,6,... }
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }
Obs: é evidente que N
Z.
Conjunto dos Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais
finitos (por exemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma
sequência de algarismos da parte decimal infinitamente), como "12,050505...", são também
conhecidas como dízimas periódicas.
Os racionais são representados pela letra Q.
Números racionais (Q)
O conjunto dos números racionais é o conjunto dos números que podem ser representados
por uma expressão decimal finita ou periódica.
Por exemplo, 3/8 é um numero racional e é o mesmo que 0,375, 1/9 é o mesmo que
0,1111...
Observe que na divisão continuada do numerados p pelo denominador q, só podem ocorrer
restos diferentes, daí a periodicidade.
Definição
Entende-se por dízima periódica, como uma representação numérica, tanto decimal quanto
fracionária, onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente.
Exemplos:
2/7 = 0,285714285...
1/9 = 0,111111111...
4/13 = 0,307692307...
Classificação
Dízimas periódicas simples: Quando o período aparece logo após à virgula.
Exemplos:
2/3 = 0,6666666....... Período: 6
4/13 = 0,307692307.... Período: 307692
31/33 = 0,93939393.... Período: 93
Dízimas periódicas compostas: Quando existe uma parte não repetitiva entre a vírgula e a
parte periódica.
Exemplos:
35/42 = 0,833333.... Período: 3 , Parte não periódica: 8
44/45 = 0,977777.... Período: 9 , Parte não periódica: 9
35/36 = 0,972222.... Período: 2 , Parte não periódica: 97
Conjunto dos Números Irracionais
É formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número
irracional é o número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu
diâmetro), que vale 3,14159265 .... Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular
bilhões de casas decimais para o PI.
Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135
...)
Conjunto dos Números Reais
É formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos
racionais com os irracionais).
Representado pela letra R.
Números Fracionários
Será representado em nossa apostila da seguinte forma: a/b
O símbolo a/b significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.
Chamamos:
a/b de fração; a de numerador; b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então a/b é um número natural.
Veja um exemplo:
A fração 12/3 é igual a 12:3. Neste caso, 12 é o numerador e 3 é o denominador. Efetuando
a divisão de 12 por 3, obtemos o quociente 4. Assim, 12/3 é um número natural e 12 é
múltiplo de 3.
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos
homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números
naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.
RELEMBRANDO
Conjuntos Numéricos
Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes.
Os Conjuntos numéricos especificamente são compostos por números.
Divididos em:
• Conjunto dos Naturais (N),
• Conjunto dos Inteiros (Z),
• Conjunto dos Racionais (Q),
• Conjunto dos Irracionais (I),
• Conjunto dos Reais (R).
Números Inteiros
Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros.
Pertencem ao conjunto dos números inteiros os números negativos, os números positivos e o zero.
Fazendo uma comparação entre os números naturais e os inteiros percebemos que o conjunto dos naturais
está contido no conjunto dos inteiros.
N = { 0,1,2,3,4,5,6, ... }
Z = { ... , -3,-2,-1,0,1,2,3,4, ... }
N
Z
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z maiúscula. Os números positivos são
representados com o sinal de (+) positivo na frente ou com sinal nenhum (+2 ou 2), já os números
negativos são representados com o sinal de negativo (-) na sua frente (-2).
►Os números inteiros são encontrados com freqüência em nosso cotidiano, por exemplo:
♦ Exemplo 1:
Um termômetro em certa cidade que marcou 10°C acima de zero durante o dia, à noite e na manhã
seguinte o termômetro passou a marcar 3°C abaixo de zero. Qual a relação dessas temperaturas com os
números inteiros?
Quando falamos acima de zero, estamos nos referindo aos números positivos e quando falamos dos
números abaixo de zero estamos referindo aos números negativos.
+10° C ------------- 10° C acima de zero
- 3° C --------------- 3° C abaixo de zero
♦ Exemplo 2:
Vamos imaginar agora que uma pessoa tem R$500,00 depositados num banco e faça sucessivas
retiradas:
• dos R$500,00 retira R$200,00 e fica com R$300,00
• dos R$300,00 retira R$200,00 e fica com R$100,00
• dos R$100,00 retira R$200,00 e fica devendo R$ 100,00
A última retirada fez com que a pessoa ficasse devendo dinheiro ao banco. Assim:
Dever R$100,00 significa ter R$100,00 menos que zero. Essa dívida pode ser representada por –
R$100,00.
►Oposto de um número inteiro
O oposto de um número positivo é um número negativo simétrico. Por exemplo: o oposto de +2 é -2; o
oposto de -3 é +3.
►O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos:
- Inteiros não – nulos
São os números inteiros, menos o zero.
Na sua representação devemos colocar * ao lado do Z.
Z* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
- Inteiros não positivos
São os números negativos incluindo o zero.
Na sua representação deve ser colocado - ao lado do Z.
Z_ = {..., -3, -2, -1, 0}
- Inteiros não positivos e não – nulos
São os números inteiros do conjunto do Z_ excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o _ e o * ao lado do Z.
Z*_ = {..., -3, -2, -1}
- Inteiros não negativos
São os números positivos incluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o + ao lado do Z.
Z + = { 0,1 ,2 ,3, 4,...}
O Conjunto Z + é igual ao Conjunto dos N
- Inteiros não negativos e não - nulos
São os números do conjunto Z+, excluindo o zero.
Na sua representação devemos colocar o + e o * ao lado do Z.
Z* + = {1, 2, 3, 4,...}
O Conjunto Z* + é igual ao Conjunto N*
Números Irracionais
É um numero irracional. π = 3,141592 ...
O número irracional é aquele que não admite a representação em forma de fração (contrário dos números
racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele é um número infinito e não periódico.
Exemplo
• 0,232355525447... é infinito e não é dízima periódica (pois os algarismos depois da vírgula não repetem
periodicamente), então é irracional.
• 2,102030569... não admite representação fracionária, pois não é dízima periódica.
• Se calcularmos em uma calculadora veremos que √2 , √3 , π são valores que representam números
irracionais.
A representação do conjunto dos irracionais é feita pela letra I maiúscula.
Números Naturais
Pertencem ao conjunto dos naturais os números inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra
N maiúscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... }
- Quando for representar o Conjunto dos Naturais não – nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao
lado do N.
Representado assim:
N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... }
A reticência indica que sempre é possível acrescentar mais um elemento.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }
Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Também falamos em antecessor de um
número.
• 6 é o sucessor de 5.
• 7 é o sucessor de 6.
• 19 é antecessor de 20.
• 47 é o antecessor de 48.
Como todo número natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N é infinito.
Quando um conjunto é finito?
O conjunto dos números naturais maiores que 5 é infinito: {6, 7, 8, 9, ...}
Já o conjunto dos números naturais menores que 5 é finito: {0, 1, 2, 3, 4}
Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos.
• O conjunto dos alunos da classe.
• O conjunto dos professores da escola.
• O conjunto das pessoas que formam a população brasileira.
Números Racionais
Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e Racionais.
Os números decimais são aqueles números que podem ser escritos na forma de fração.
Podemos escrevê-los de algumas formas diferentes:
Por exemplo:
♦ Em forma de fração ordinária:
Esses números tem a forma
;
;
com a , b
e todos os seus opostos.
Z e b ≠ 0.
♦ Números decimais com finitas ordens decimais ou extensão finita:
Esses números têm a forma
com a , b
Z e b ≠ 0.
♦ Número decimal com infinitas ordens decimais ou de extensão infinita periódica. São dízimas periódicas
simples ou compostas:
As dízimas periódicas de expansão infinita, que podem ser escritas na forma
: com a, b
Z e b ≠ 0.
► O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q maiúscula.
Q = {x =
, com a Z e b Z*}
►Outros subconjuntos de Q:
Além de N e Z, existem outros subconjuntos de Q.
Q* ---------- É o conjunto dos números racionais diferentes de zero.
Q+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos e o zero.
Q- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos e o zero.
Q*+ ---------- É o conjunto dos números racionais positivos.
Q*- ----------- É o conjunto dos números racionais negativos.
► Representação Geométrica
Entre dois números racionais existem infinitos outros números racionais.
Números Reais
Representação do conjunto dos números reais.
Para chegarmos ao estudo dos números reais, temos que ter passado pelos números: naturais, inteiros,
racionais e irracionais. Pois o conjunto dos números reais é a união do conjunto dos racionais com os
irracionais.
R=QUI
Sendo que Q ∩ I =
Sabemos que N
, pois se um número é racional ele não é irracional e vice-versa.
Z
Q
Alem desses subconjuntos, o conjunto dos reais tem mais alguns importantes subconjuntos:
R* -------- conjunto dos números reais não nulos.
R+ -------- conjunto dos números reais positivos e o zero.
R*+ ------- conjunto dos números reais positivos.
R - -------- conjunto dos números reais negativos e o zero.
R*- -------- conjunto dos números reais negativos menos o zero.
Números Primos
Números primos e sua importância para a Matemática
Na formação do conjunto dos números Naturais existe um tipo de numeral que possui a propriedade de
ser divisível somente por um e por ele mesmo, recebendo a denominação de número primo. A descoberta
dos números primos é imprescindível na Matemática, pois eles intitulam o princípio central na teoria dos
números, consistindo no Teorema Fundamental da Aritmética. Esse Teorema satisfaz uma condição
interessante no conjunto dos números naturais, ele afirma que todo número inteiro natural, sendo maior
que 1, pode ser escrito como um produto de números primos, enfatizando a hipótese que o número 1 não
pode ser considerado primo, pois ele tem apenas um divisor e não pode ser escrito na forma de produto
de números primos.
Por meio da fatoração (decomposição dos números em fatores primos) conseguimos representar os
números de acordo com o Teorema Fundamental da Aritmética. Vamos observar alguns exemplos onde os
numerais serão escritos na forma fatorada.
8=2x2x2
9=3x3
10 = 2 x 5
27 = 3 x 3 x 3
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2
50 = 2 x 5 x 5
28 = 2 x 2 x 7
110 = 2 x 5 x 11
Um matemático grego chamado Eratóstenes (285-194 a.C) criou um sistema simples e objetivo para
descobrir números primos, que foi chamado de crivo de Eratóstenes. Para representar a forma de utilizar o
crivo, vamos considerar uma tabela com os números naturais de 1 a 100.
1º passo: localizar o primeiro número primo da tabela. (2)
2º passo: marcar todos os múltiplos desse número.
3º passo: localizar o segundo número primo (3) e marcar todos os seus múltiplos.
4º passo: Repetir a operação até o último número.
Na tabela dos 100 primeiros números naturais destacamos em azul os números primos, portanto os
números primos entre 1 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97.
Intervalos na Reta Real
O conjunto dos números reais é formado a partir da união dos seguintes conjuntos:
Números Naturais: (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,....)
Números Inteiros: (....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.....)
Números Racionais: (números na forma de a/b, com b≠0 e decimais periódicos. Ex:
1/2; 3/5; 0,25; 0,33333.....)
Números Irracionais: (números decimais não periódicos. Ex. 0,2354658752485879.....)
Intervalo Real
Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ , {xЄR/a < x < b}
Aberto à esquerda e aberto à direita
Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b], {xЄR/a < x ≤ b}
Aberto à esquerda e fechado à direita
Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, {xЄR/a ≤ x < b}
Fechado à esquerda e aberto à direita
Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b], {xЄR/a ≤ x ≤ b}
Fechado à esquerda e fechado à direita
Intervalos infinitos
{xЄR/x > a}
{xЄR/x<a}
{xЄR/x≥a}
{xЄR/≤a}