Equações Algébricas
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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Professor: João Lauro Sousa EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Definição: É toda equação de variável complexa, do tipo: 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0 𝑥∈ℂ ⟶ é 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑥𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛−2 , . . . , 𝑎1 𝑎0 𝑛 ⟶ ⟶ ⟶ 𝑠ã𝑜 𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 é 𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜, 𝑠𝑒 𝑎𝑛 ≠ 0 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Exemplos: a) 3𝑥 2 − 𝑥 + 8 = 0 ⟶ 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 2º 𝑔𝑟𝑎𝑢 b) 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 3𝑥 − 1 = 0 c) −𝑥 4 + 6𝑥 2 − 4 = 0 d) 𝑥 5 − 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 = 0 ⟶ ⟶ ⟶ 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 3º 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑜 4º 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎 𝑑𝑜 5º 𝑔𝑟𝑎𝑢 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Raízes Chama-se de raízes ou zeros os valores de x que satisfazem a equação, isto é, tornam a sentença verdadeira. Conjunto Solução É o conjunto formado por todas as raízes de uma equação. Exemplo: Sabendo que o número 2 é uma das raízes da equação algébrica 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = 0 , calcule as outras raízes e determine o seu conjunto solução. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Como temos a informação que uma das raízes da equação é igual a 2 , aplicando o dispositivo de Briot – Ruffini, reduzimos o grau da equação e calculamos as suas outras raízes. 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = 0 𝟐 𝟏 −𝟒 𝟏 𝟔 𝟏 −𝟐 −𝟑 𝟎 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑺 = −𝟏 , 𝟐 , 𝟑 ⇒ 𝒙′ = 𝟑 𝒆 𝒙" = −𝟏 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Teorema Fundamental da Álgebra - TFA Toda equação algébrica de grau 𝑛 possui pelo menos uma raiz e no máximo 𝑛 raízes complexas (imaginárias ou reais). Teorema da Decomposição Toda equação algébrica de grau 𝑛 pode ser decomposta em 𝑛 fatores do 1º grau. Sejam 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , . . . , 𝑥𝑛 são as 𝑛 raízes de uma equação, então essa equação pode ser escrita na forma: 𝒂𝒏 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒙 − 𝒙𝟐 𝒙 − 𝒙𝟑 . . . 𝒙 − 𝒙𝒏 = 𝟎 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Exemplo Considere a equação 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 + 6 = 0 cujas raízes são −1 , 2 𝑒 3. Portanto: 𝑥1 = −1 , 𝑥2 = 2 𝑒 𝑥3 = 3. Forma fatorada da equação: 𝟏 𝒙 + 𝟏 𝒙 − 𝟐 𝒙 − 𝟑 = 𝟎. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Multiplicidade Se um número é solução 𝑚 vezes de uma mesma equação, dizemos que ele é uma raiz de multiplicidade 𝑚 dessa equação. Denominações: Se a raiz tem multiplicidade 1 é chamada de raiz simples. Se a raiz tem multiplicidade 2 é chamada de raiz dupla. Se a raiz tem multiplicidade 3 é chamada de raiz tripla. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Teorema das Raízes Conjugadas Se o número complexo imaginário 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 é uma solução de uma equação algébrica, então o número complexo conjugado de 𝑧 , z = 𝑎 + 𝑏𝑖 , também é raiz da mesma equação. Observações: 1. A quantidade de raízes complexas imaginárias de uma equação algébrica é um número par. 2. Se a quantidade de raízes de uma equação algébrica é um número ímpar, então ela possui pelo menos uma raiz complexa real. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Relações de Girard São as relações existentes entre os coeficientes reais de uma equação algébrica e as suas raízes. O número de relações é igual ao número de raízes, que é definido através do grau da equação. Observação Essas relações são de grande importância para a resolução e interpretação de situações que envolvem esses tipos de equações. EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Relações de Girard Equação do 2º Grau: 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪 = 𝟎 , 𝑐𝑜𝑚 𝐴 ≠ 0 Raízes: 𝑥1 𝑒 𝑥2 1ª Relação: Soma simples das raízes 𝐁 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = − 𝐀 2ª Relação: Produto simples das raízes 𝐂 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝐀 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Relações de Girard Equação do 3º Grau: 𝑨𝒙𝟑 + 𝑩𝒙𝟐 + 𝑪𝒙 + 𝑫 = 𝟎 , 𝑐𝑜𝑚 𝐴 ≠ 0 Raízes: 𝑥1 , 𝑥2 𝑒 𝑥3 1ª Relação: Soma simples das raízes 𝐁 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 = − 𝐀 2ª Relação: Soma dos produtos duplos das raízes 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 + 𝒙𝟏 . 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 . 𝒙𝟑 = 𝐂 𝐀 3ª Relação: Produto simples das raízes 𝐃 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 . 𝒙𝟑 = − 𝐀 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Relações de Girard Equação de grau 𝑛: 𝑨𝒏 𝒙𝒏 + 𝑨𝒏−𝟏 𝒙𝒏−𝟏 + . . . + 𝑨𝟎 = 𝟎 , 𝑐𝑜𝑚 𝐴𝑛 ≠ 0 Raízes: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , . . . , 𝑥𝑛 1ª Relação: Soma simples das raízes 𝑨𝒏−𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + . . . + 𝒙𝒏 = − 𝑨𝒏 Enésima Relação: Produto simples das raízes 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 . 𝒙𝟑 . . . . 𝒙𝒏 = −𝟏 𝒏 𝑨𝟎 ∙ 𝑨𝒏 EQUAÇÕES ALGÉBRICAS - Professor: João Lauro Sousa Fim
