Estatística Inferencial

Estatística Inferencial
Intervalos de Confiança
Introdução
Estimativa de parâmetros populacionais
Amostras Estatísticas
⇒ Estimativa de 𝝁
(𝑛 ≥ 30 ou σ conhecido)
Estimativa Pontual
É uma estimativa de um único valor para um
parâmetro populacional.
Exemplo:
A estimativa pontual menos enviesada* da média
populacional 𝜇 é a média amostral 𝑥.
*
Quando a média das estimativas obtidas para todas as amostras obtidas coincide
com o parâmetro a estimar.
Exemplo
“Legibilidade dos anúncios em revistas”
X : Número de frases por propaganda
n = 54 anúncios
Amostra Aleatória X
9
20 18 16 9
25 17 23 7
14 6
16 16 9
10 9
11 13 22 16 5
10 10 5
11 12 11 15 6
11 18 18 9
12 14 11 4
9
18 6
9
6
5
12
17 13 11 7
18 12 12 17 11 20
𝑥 671
𝑥=
=
≈ 12,4
𝑛
54
(Estimativa Pontual para o comprimento médio de todos os anúncios em revistas)
Estimativa Intervalar
É um intervalo de valores usado para estimar um
parâmetro populacional.
Exemplo: X : Número de frases por propaganda
n = 54 anúncios, com 𝑥 = 12,4 frases
Provavelmente a média populacional real está
próxima de 12,4 frases. Tomando uma margem
de erro de, por exemplo, 2,1 frases, teríamos:
Exemplo
𝑥 = 12,4 é usado como Centro de Intervalo
𝐸 = 2,1
Estimativa Intervalar : 𝑥 ± 𝐸 = 12,4 ± 2,1
Nível de Confiança
Definição:
O nível de confiança c é a probabilidade de que
o intervalo estimado contenha o parâmetro
populacional.
Nível de Confiança e a Curva Normal
Para 𝑛 ≥ 30 onde a distribuição amostral de
médias amostrais é uma distribuição normal.
Dica de Estudo
Normalmente usaremos níveis de confiança de
90%, 95% e 99%. O escore Z a seguir corresponde
a esses níveis de confiança:
Níveis de Confiança
𝒁𝒄
90%
1,645
95%
1,96
99%
2,575
Exemplo
c = 90%
𝒁𝒄 = 𝒂 = 𝟏, 𝟔𝟒𝟓 ( Ver tabela)
Observações
1) Erro da Estimativa: É a distância entre a
estimativa pontual e o valor do parâmetro real
No caso da média populacional, temos:
E= 𝒙−𝝁
2) Na maior parte dos casos, naturalmente, 𝝁 é
desconhecido e 𝑥 varia de amostra para amostra.
3) Se soubermos o nível de confiança e a
distribuição amostral poderemos calcular 𝑬𝒎á𝒙
Definição
Dado um nível de confiança c, o erro máximo da
estimativa ( algumas vezes chamado de margem
de erro ou tolerância do erro ) E é a maior
distância possível entre a estimativa pontual e o
valor do parâmetro a ser estimado.
𝝈
𝑬 = 𝒁𝒄 𝝈𝒙 = 𝒁𝒄
𝒏
Quando 𝒏 ≥ 𝟑𝟎, o desvio padrão amostral s pode ser usado em
lugar de 𝝈
Exemplo
X : Número de frases por propaganda
n = 54 anúncios, com 𝑥 = 12,4 frases
C = 95%
𝑬𝒎á𝒙 = ? (do número médio de sentenças em
todos os anúncios de revistas)
Exemplo
Solução:
Como 𝑛 ≥ 30 podemos usar s no lugar de 𝝈
𝑠=
(𝑥 − 𝑥)2
≈
𝑛−1
1333,2
≈ 5,0
53
𝑍𝑐 = 1,96
Usando os valores : 𝑛 = 54
𝜎 ≈ 𝑠 ≈ 5,0
𝜎
5,0
𝐸 = 𝑍𝑐
≈ 1,96.
≈ 1,3
𝑛
54
teremos:
Exemplo
Conclusão:
Temos uma confiança de 95% de que a estimativa
máxima do erro para a média populacional seja de
cerca de 1,3 sentença.
Intervalos de confiança para a Média
Populacional
Definição:
Um intervalo de confiança c para a média
populacional 𝝁 é:
𝒙−𝑬<𝝁<𝒙+𝑬
A probabilidade de que o intervalo de confiança
contenha 𝝁 é c.
Obtenção do Intervalo de Confiança
Orientações Gerais
1. Obtenha 𝑥 =
𝑥
𝑛
2. Use 𝝈 ou quando 𝑛 ≥ 30, 𝒔 =
(𝑥−𝑥)2
𝑛−1
3. Determine 𝑍𝑐 correspondente ao nível de
confiança. (Ver Tabela)
4. Determine 𝑬𝒎á𝒙 =
𝝈
𝒁𝒄
𝒏
5. Determine o intervalo fazendo: 𝒙 − 𝑬 < 𝝁 < 𝒙 + 𝑬
Exemplo
O intervalo de confiança de 95% para o número
médio de frases em todos os anúncios de
revistas, com 𝑥 = 12,4 e 𝐸 = 1,3 será:
12,4 ±1,3 , ou seja:
𝟏𝟏, 𝟏 < 𝝁 < 𝟏𝟑, 𝟕
Exercício 1
O diretor do comitê de admissão de uma universidade deseja
estimar a idade média de todos os estudantes aprovados no
momento. Em uma amostra aleatória de 20 estudantes, a idade
média encontrada foi de 22,9 anos.
A partir de estudos passados, sabe-se que o desvio padrão é de
1,5 ano e que a população está normalmente distribuída. Construa
um intervalo de confiança de 90% da idade média da população.
Exercício 1
Solução:
Usando n = 20; 𝒙 = 𝟐𝟐, 𝟗; 𝜎 = 1,5 e 𝑍𝑐 = 1,645
O erro máximo da estimativa no intervalo de
confiança de 90% é: 𝑬 =
𝝈
𝒁𝒄
𝒏
= 𝟏, 𝟔𝟓.
𝟏,𝟓
𝟐𝟎
≈ 𝟎, 𝟓𝟓
Logo, o intervalo de confiança de 90% será:
𝒙 ± 𝑬 = 𝟐𝟐, 𝟗 ± 𝟎, 𝟓𝟓, ou 𝟐𝟐, 𝟑𝟓 < 𝝁 < 𝟐𝟑, 𝟒𝟓
Interpretação do Exercício 1
Uma vez que 𝝁 já existe, ou ele está no intervalo
ou não. Vejamos as afirmações:
INCORRETA: “Há 90% de probabilidade de que a
média real esteja no intervalo (22,35 ; 23,45)”
CORRETA: “Há 90% de probabilidade de que o
intervalo de confiança descrito contenha 𝝁.”
Tamanho da Amostra
Quão grande precisa ser o tamanho da amostra
para assegurar um certo nível de confiança para
um determinado erro máximo da estimativa?
𝒁𝒄 𝝈 𝟐
𝒏=(
)
𝑬
Se 𝝈 é desconhecido, podemos estimá-lo usando s, desde que
tenhamos uma amostra preliminar com no mínimo 30 membros.
Exercício 2
Desejamos calcular o número médio de frases
em anúncios em revistas. Quantos anúncios
devem ser incluídos na amostra se queremos ter
95% de confiança de que a média amostral esteja
dentro do intervalo de uma sentença da média
populacional?
Exercício 2
Solução:
Usaremos os seguintes dados:
C = 0,95 ; 𝑍𝑐 = 1,96 ; 𝜎 ≈ 𝑠 ≈ 5,0 (Slide 14)
E = 1.
Queremos descobrir 𝑛𝑚í𝑛
𝑍𝑐 𝜎 2
1,96.5,0)
𝑛=(
) ≈
𝐸
1
2
= 96,04 ≈ 97
Interpretação do Exercício 2
Temos de incluir pelo menos 97 anúncios de
revista em nossa amostra. Precisamos, portanto,
de mais 43, uma vez que já possuímos 54.
Fator de Correção
Se uma população for finita (nem grande, nem
infinita) a fórmula que determina o erro padrão da
média 𝜎𝑥 precisa ser ajustada, ficando:
𝝈 𝑵−𝒏
𝝈𝒙 =
𝒏 𝑵−𝟏
Onde, N é o tamanho da população e n é o tamanho
da amostra, com n ≥ 0,05𝑁.
O erro máximo da estimativa é:
𝝈 𝑵−𝒏
𝐸 = 𝑍𝑐
𝒏 𝑵−𝟏
Exercício 3
Determine o fator de correção para população
finita para cada um dos dados a seguir:
(a) N = 1000 e n = 500
(b) N = 1000 e n = 100
(c) N = 1000 e n = 75
(d) N = 1000 e n = 50
(e) Analise a evolução dos resultados anteriores.
A distribuição t
Definição:
Se a distribuição de uma variável aleatória x é
aproximadamente normal, então a distribuição
amostral de 𝑥 é uma distribuição 𝑡, onde
𝒙−𝝁
𝒕= 𝒔
𝒏
Os valores críticos de 𝑡 são denotados por 𝑡𝑐
A distribuição t : Amostras Pequenas
Verificar para o uso da distribuição t na
construção de um intervalo de confiança para a
média populacional:
• Se n < 30 (Razões de custo e tempo)
• Se 𝜎 é desconhecido
• Se a população é aproximadamente normal
Propriedades da Distribuição 𝑡
1.
A distribuição t tem a forma de sino e é simétrica em torno da média.
2.
É uma família de curvas, com graus de liberdade* determinados
como gl = n-1.
3.
A área total sob a curva t é 1 ou 100%.
4.
𝑥 = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜 = 0
5.
Quando gl cresce então a distribuição t tende para a distribuição
normal.
* São os números de escolhas livres deixados após uma amostra
estatística como 𝑥 ter sido calculada.
Propriedades da Distribuição 𝑡
6. Após 30gl a distribuição t está muito próxima da distribuição normal padrão Z.
Usando a Tabela da Distribuição 𝑡
Exemplo:
Determinar o valor crítico 𝑡𝑐 para 95% de confiança quando o
tamanho da amostra for 15.
Solução:
Como n = 15, temos
𝑔𝑙 = 𝑛 − 1 = 15 − 1 = 14
Basta identificar a linha com
gl =14 e a coluna com c = 0,95,
Logo 𝑡𝑐 = 2,145
Exemplo
Conclusão:
95% da área sob a curva t com 14 graus de
liberdade está entre t = ±2,145
Distribuição 𝑡
Construindo um Intervalo de Confiança (I.C) para a
média.
1. Calcule 𝒙 =
𝒙
𝒏
e 𝒔=
(𝒙−𝒙)𝟐
𝒏−𝟏
2. Identifique 𝒈𝒍 = 𝑛 − 1, c e 𝒕𝒄
3. Obtenha 𝑬 =
𝒔
𝒕𝒄
𝒏
4. Obtenha o I.C : 𝑥 ± 𝐸
Exercício 4
Selecionamos ao acaso 16 restaurantes e
medimos a temperatura do café vendido em cada
um. A temperatura média amostral é de 1620 𝐹,
com desvio padrão amostral de 100 𝐹. Obtenha o
intervalo de confiança de 95% para a temperatura
média. Suponha que as temperaturas estejam
aproximadamente normalmente distribuídas.
Exercício 5
Selecionam-se ao acaso 20 casas hipotecárias e
determina-se a atual taxa de juros que cada uma
cobra. A taxa média amostral é de 6,93%, com
desvio padrão de 0,42%.