Polígonos

Aula de Matemática
Professor : Neilton Satel
02 de setembro 2014
Bom dia!
POLÍGONO é figura plana
limitada por uma linha
poligonal fechada, ou seja,
os polígonos precisam ser
figuras fechadas.
POLÍGONO vem do
grego e quer dizer
muitos
(poly)
e
ângulos (gon).
Polígonos
Definição
Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples
juntamente com os pontos da região interna que essa linha
determina.
As figuras a seguir são polígonos
As figuras a seguir não são polígonos
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Polígonos
Polígonos convexos e polígonos côncavos
Polígonos convexos
Um polígono se diz convexo quando o
segmento de reta que une dois pontos
quaisquer de sua região interna está
sempre contido nela.
Polígonos côncavos
Um polígono se diz côncavo quando
existem dois pontos de sua região interna
tais que o segmento de reta por eles
determinado não está contido nela.
A
A
B
São polígonos convexos
B
São polígonos côncavos
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Polígonos
Elementos de um polígono
No polígono ABCDE ao lado temos que:
• Os segmentos AB, BC, CD, DE, EA
são os lados do polígono;
A
E
B
• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices
do polígono;
• Os segmentos AC, AD, BD, BE, CE
são as diagonais do polígono;
D
C
•
ˆ CDE,
ˆ
ˆ BCD,
ˆ DEA,
ˆ EAB
ABC,
são os ângulos
do polígono;
Nota:
Diagonal de um polígono é o segmento de
reta que une dois vértices não
consecutivos desse polígono.
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Polígonos
Polígonos regulares
A
E
B
O
D
M
C
Chama-se polígono regular a todo
polígono que tem todos os lados
congruentes e todos os ângulos
congruentes (ângulos que possuem a
mesma medida).
Num polígono regular destacamos:
• O centro
É o ponto que dista igualmente de todos
os vértices do polígono. (Na figura ao
lado é o ponto O.)
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Polígonos
Nome dos polígonos
De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.
Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:
Número de
lados
3
Triângulo
Número de
lados
9
Eneágono
4
Quadrilátero
10
Decágono
5
Pentágono
11
Undecágono
6
Hexágono
12
Dodecágono
7
Heptágono
15
Pentadecágono
8
Octógono
20
Icoságono
Nome
Nome
7
Polígonos
Soma das medidas dos
ângulos internos:
Si  180º  n  2
Soma das medidas dos
ângulos externos:
Se  360º
Ângulos internos de um
polígono regular:
Si
ai 
n
Ângulos externos de
um polígono regular:
Se
ae 
n
Número de diagonais
de um polígono:
n  n  3
d
2
ou
180º  n  2 
ai 
n
ou
360º
ae 
n
8
Triângulos ― classificação
Quanto aos ângulos
Quanto aos lados
Acutângulo: possui três ângulos agudos.
Equilátero: três lados de mesma medida.
Obs.: os três ângulos internos têm
medidas de 60º.
Retângulo: possui dois ângulos agudos e
um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado
o teorema de Pitágoras:
hipotenusa2 = cateto2 + cateto2
Isósceles: dois lados de mesma medida.
Obs.: os ângulos opostos aos lados
congruentes também são de mesma
medida.
Obtusângulo: possui dois ângulos agudos Escaleno: três lados de medidas
e um obtuso.
diferentes entre si.
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Quadriláteros
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
Paralelogramo
Retângulo
Losango
Quadrado
Quanto aos
ângulos
Quanto às
diagonais
Quanto aos
lados
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
Encontram-se no
seu ponto médio.
Lados opostos
congruentes.
Quatro ângulos
retos.
São congruentes.
Lados opostos
congruentes.
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
São perpendiculares
entre si e estão
contidas nas
bissetrizes dos
ângulos internos do
losango.
Quatro lados
congruentes.
Quatro ângulos
retos.
Encontram-se no
seu ponto médio e
são congruentes.
Quatro lados
congruentes.
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Quadriláteros
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados
paralelos, chamados base maior e base menor.
Trapézio retângulo
É todo trapézio que tem dois
ângulos retos. Nele, um dos
lados que não é base é
perpendicular às duas bases.
Trapézio isósceles
É todo trapézio que tem dois
lados não paralelos
congruentes.
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Circunferência
Ângulos em uma circunferência
Ângulo central:
É um ângulo que tem
como vértice o centro
da circunferência e
seus lados passam
por pontos
pertencentes a ela.
Se um ângulo central e um
ângulo inscrito em uma
circunferência tem o mesmo
arco, então a medida do
ângulo central é o dobro da
medida do ângulo inscrito.
Ângulo inscrito: É um
ângulo que tem como vértice
um ponto da circunferência e
cujos lados passam por dois
outros pontos da
circunferência, determinando
nela duas cordas.
Ângulo de segmento:
É um ângulo que tem como
vértice um ponto da
circunferência, um lado
secante à circunferência e
outro tangente a ela.
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Circunferência
Relações métricas na circunferência
Cruzamento de
duas cordas:
Dois segmentos
secantes a partir de
um mesmo ponto:
PA  PB  PC  PD
Segmento secante
e segmento
tangente a partir de
um mesmo ponto:
PA  PB  PT 
2
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Circunferência
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Polígono regular é aquele que possui todos os lados (l) congruentes e todos
os ângulos congruentes.
Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da
circunferência e outra no ponto médio de um dos lados do polígono. Ele também
equivale ao raio da circunferência inscrita ao polígono.
Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade
no centro da circunferência e a outra na própria circunferência.
l 3 r 3
a3 
r
2
l 4 r 2
r 2
a4 
2
l 6 r
a6 
r 3
2
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Áreas: medidas de superfície
Área do quadrado, do retângulo e do paralelogramo
Quadrado
A=l
2
Retângulo
A = b h
Paralelogramo
A = b h
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Áreas: medidas de superfície
Área do triângulo
Área do
triângulo sendo
conhecido os
três lados
Área do
triângulo
equilátero
A  p   p  a   p  b   p  c 
l2 3
A
4
Área do
triângulo
b h 1
A
 b h
2
2
p
a b c
2
Área do
triângulo com
o auxílio da
trigonometria
A
1
 a  b  senα
2
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Áreas: medidas de superfície
Área do trapézio e do losango
Trapézio
B  b h

A=
2
Losango
Dd
A=
2
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Áreas: medidas de superfície
Área de polígonos regulares
(l) lado do polígono
(a) apótema
(n) número de lados do polígono
(p) semiperímetro
n  l.
p
2
A  pa
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Áreas: medidas de superfície
Área do círculo e do setor circular
Círculo
A  π r
Setor circular
2
Asetor  graus
=
=
2
πr
360º 2  π  r
l
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Resolução de triângulos quaisquer
Resolução de triângulos retângulos
a = hipotenusa
b = cateto oposto ao ângulo 
c = cateto adjacente ao ângulo 
30º
45º
sen
1
2
cos
3
tg
3
2
2
3
2
1
2
60º
3
1
2
a 2  b2  c 2
cateto oposto b
senα 

hipotenusa
a
cateto adjacente c
cosα 

hipotenusa
a
cateto oposto
b
tgα 

cateto adjacente c
2
2
3
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