Funcoes_Elementares - Milton Procópio de Borba

Universidade Federal de Santa Catarina
Campus Joinville
Bacharelado Interdisciplinar em Mobilidade
Funções Elementares
do Cálculo
Prof. Dr. Milton Procópio de Borba
1
Conteúdos da Aula
 Função exponencial;
 Função logarítmica;
 Funções trigonométricas;
 Funções trigonométricas inversas;
 Funções hiperbólicas;
 Funções hiperbólicas inversas.
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Função exponencial

Chamamos de função exponencial de base 𝑎 a
função 𝑓 de 𝑅 em 𝑅 que associa a cada real x o
número real 𝑎𝑥, sendo 𝑎 um número real tal que
0 < 𝑎 ≠ 1,
ou
𝑓 ∶ 𝑅 𝑅
𝑥  𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥

Domínio  𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅

Imagem  𝐼𝑚(𝑓) = (0, +)
3
GRÁFICO:
PROPRIEDADES:
Com relação a função 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 , podemos afirmar:
(i) A curva que a representa está toda acima do eixo das
abscissas, pois 𝑦 = 𝑎 𝑥 > 0, para todo 𝑥 ∈ 𝑅.
(ii) Corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
(iii) 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 é crescente se 𝑎 > 1 e decrescente se
0 < 𝑎 < 1.
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Função logarítmica

Dado um número real 𝑎 , tal que 0 < 𝑎  1, chamamos de
função logarítmica de base 𝑎 a função de 0, +∞ em 𝑅
que se associa a cada 𝑥 o número 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, isto é,
𝑓 ∶ 0, +∞  𝑅
𝑥  𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥

Domínio  𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 0, +∞

Imagem  𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅
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GRÁFICO:
PROPRIEDADES:
Com relação ao gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1) ,
podemos afirmar:
(i) Está todo do lado direito do eixo dos y.
(ii) Corta o eixo das abscissas no ponto (1,0).
(iii) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 é crescente se 𝑎 > 1 e decrescente se 0 < 𝑎 < 1.
(iv) É simétrico ao gráfico da função g 𝑥 = 𝑎 𝑥 em relação a reta
𝑦 = 𝑥 (funções inversas)
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Logaritmos Naturais
Uma escolha conveniente para a base do logaritmo é a base 𝑒.
O logaritmo na base 𝑒 = 2,7182818284590452353602874. . .
(número de Neper) é chamado logaritmo natural e tem a
seguinte notação:
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 = ln 𝑥
definido por: 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 = ln 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑒 𝑦 = 𝑥
Exemplo: Encontre x se ln 𝑥 = 5.
Usando a definição temos
ln 𝑥 = 5 ⇒ 𝑒 5 = 𝑥
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Função seno

Função cosseno

Função tangente

Função cotangente

Função secante

Função cossecante
sen x

tag x
Funções trigonométricas
cos x
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Função seno

Função seno é a função 𝑓 de 𝑅 em 𝑅 que a cada 𝑥 ∈
𝑅 faz corresponder o número real 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, isto é,
𝑓 ∶ 𝑅 𝑅
𝑥  𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥

Domínio  𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅

Imagem  𝐼𝑚(𝑓) = [−1, 1]
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Função seno – Gráfico:
“A função seno é periódica e seu período é 2”
10
Função cosseno

Função cosseno é a função 𝑓 de 𝑅 em 𝑅 que a cada
𝑥 ∈ 𝑅 faz corresponder o número real 𝑦 = cos 𝑥,
isto é,
𝑓 ∶ 𝑅 𝑅
𝑥  𝑦 = cos 𝑥

Domínio  𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅

Imagem  𝐼𝑚(𝑓) = [−1, 1]
11
Função cosseno – Gráfico:
“A função cosseno é periódica e seu período é 2”
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Função tangente, cotangente, secante
e cossecante
 cotangente :
cos x
cotg x 
sen x
 cossecante :
1
cosec x 
sen x
* condição :
sen x  0
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Dom(tg)  {x  R / x 

2
 n , n  Z}
Dom(cotg)  {x  R / x  n , n  Z}
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Dom(sec)  {x  R / x 

 n , n  Z}
2
Dom(cosec)  {x  R / x  n , n  Z}
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Funções trigonométricas inversas
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 ⇔ 𝑥 = cos 𝑦
𝑓:
−𝜋
2
,𝜋
2
𝑓: 0, 𝜋 → −1,1 ,
→ −1,1 ,
𝑓 𝑥 = cos 𝑥
𝑓 𝑥 = sen 𝑥
𝑓 −1 : −1,1 → − 𝜋 2 , 𝜋
𝑓 −1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 sen 𝑥
2
,
𝑓 −1 : −1,1 → 0, 𝜋 ,
𝑓 −1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥
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A função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 pode também ser definida pela equação:
𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒙 =
𝝅
𝟐
− 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙.
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Funções trigonométricas inversas
𝑓: (− 𝜋 2 , 𝜋 2) → 𝑅,
𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥
𝑓 −1 :𝑅 → (− 𝜋 2 , 𝜋 2)
𝑓 −1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥
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Funções trigonométricas inversas
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Funções trigonométricas inversas
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 sec 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos(1 𝑥 )
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Funções trigonométricas inversas
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos𝑒𝑐 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(1 𝑥 )
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Funções hiperbólicas
 Seno hiperbólico:
 Cosseno hiperbólico:
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Funções hiperbólicas
Aplicação
A curva formada por um fio de telefone ou de luz é
representada pelo cosseno hiperbólico:
𝑦 = cosh 𝑥 𝑎 , 𝑎 ∈ 𝑅
CATENÁRIA
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Funções hiperbólicas
 tangente hiperbólico :
x
senh x e  e
tgh x 
 x x
cosh x e  e
x
 cotangente hiperbólico :
cosh x e x  e  x
cotgh x 
 x x
senh x e  e
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Funções hiperbólicas
 secante hiperbólico :
1
2
sech x 
 x x
cosh x e  e
 cossecante hiperbólico :
1
2
cosech x 
 x x
senh x e  e
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Funções hiperbólicas Inversas
Função Inversa do Seno Hiperbólico: a função inversa do
seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e
denotada por arg senh, é definida como segue:
Temos Dom (arg senh x) = Im (arg senh x) = R
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Função Inversa do Cosseno Hiperbólico: para definirmos a
função inversa do cosseno hiperbólico, precisamos restringir
seu domínio.
𝑓: 0, +∞ → 1, +∞ ; 𝑓 𝑥 = cosh 𝑥
Temos Dom (arg cosh x) = [1, +∞)
e Im (arg cosh x) = [0, +∞)
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Função Inversa da Tangente, Cotangente e Cossecante
Hiperbólica: para a definição das inversas destas funções não
necessitamos restringir seus domínios.
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Função Inversa do Secante Hiperbólica: para definirmos a
função inversa da secante hiperbólica, precisamos restringir
seu domínio.
𝑓: 0, +∞ → (0,1]; 𝑓 𝑥 = sech 𝑥
𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑟𝑔 𝑠𝑒𝑐ℎ = 0, 1
𝐼𝑚 arg 𝑠𝑒𝑐ℎ = [0, +∞)
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