Funções elementares - Milton Procópio de Borba

Universidade Federal de Santa Catarina
Campus Joinville
Bacharelado Interdisciplinar em Mobilidade
Funções Elementares
do Cálculo
Prof. Dr. Milton Procópio de Borba
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Conteúdos da Aula
Função exponencial;
Função logarítmica;
Funções trigonométricas;
Funções trigonométricas inversas;
Funções hiperbólicas;
Funções hiperbólicas inversas.
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Função exponencial
Chamamos de função exponencial de base a
função de em que associa a cada real x o
número real , sendo um número real tal que
0 < ≠ 1,
ou
∶ →
→ = () = Domínio ⇒ () = Imagem ⇒ () = (0, +∞)
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GRÁFICO:
PROPRIEDADES:
Com relação a função = , podemos afirmar:
(i) A curva que a representa está toda acima do eixo das
abscissas, pois = > 0, para todo ∈ .
(ii) Corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
(iii) = é crescente se > 1e decrescente se
0 < < 1.
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Função logarítmica
Dado um número real , tal que 0 < ≠ 1, chamamos de
função logarítmica de base a função de 0, +∞ em que se associa a cada o número , isto é,
∶ 0, +∞ →
→ = Domínio ⇒ = 0, +∞
Imagem ⇒ () = 5
GRÁFICO:
PROPRIEDADES:
Com relação ao gráfico da função = (0 < ≠ 1) ,
podemos afirmar:
(i) Está todo do lado direito do eixo dos y.
(ii) Corta o eixo das abscissas no ponto (1,0).
(iii) = é crescente se > 1e decrescente se 0 < < 1.
(iv) É simétrico ao gráfico da função g = em relação a reta
= (funçõesinversas)
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Logaritmos Naturais
Uma escolha conveniente para a base do logaritmo é a base (.
O logaritmo na base ( = 2,7182818284590452353602874. . .
(número de Neper) é chamado logaritmo natural e tem a
seguinte notação:
( = ln
definido por: ( = ln = ⇔ ( 3 = Exemplo: Encontre x se ln = 5.
Usando a definição temos
ln = 5 ⇒ ( 5 = 7
Função seno
Função cosseno
Função tangente
Função cotangente
Função secante
Função cossecante
sen x
tag x
Funções trigonométricas
cos x
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Função seno
Função seno é a função de em que a cada ∈
faz corresponder o número real = 6(7, isto é,
∶ →
→ = 6(7
Domínio ⇒ () = Imagem ⇒ () = [−1, 1]
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Função seno – Gráfico:
“A função seno é periódica e seu período é 2π
π”
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Função cosseno
Função cosseno é a função de em que a cada
∈ faz corresponder o número real = cos,
isto é,
∶ →
→ = cos
Domínio ⇒ () = Imagem ⇒ () = [−1, 1]
11
Função cosseno – Gráfico:
“A função cosseno é periódica e seu período é 2π”
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Função tangente, cotangente, secante
e cossecante
⇒ cotangente :
cos x
cotg x =
sen x
⇒ cossecante
:
1
cosec x =
sen x
* condição :
sen x ≠ 0
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Dom(tg) = {x ∈ R / x ≠
π
2
+ nπ , n ∈ Z}
Dom(cotg) = {x ∈ R / x ≠ nπ , n ∈ Z}
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Dom(sec) = {x ∈ R / x ≠
π
+ nπ , n ∈ Z}
2
Dom(cosec) = {x ∈ R / x ≠ nπ , n ∈ Z}
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Funções trigonométricas inversas
= CD cos ⇔ = cos :
− =⁄> , =⁄>
→ −1,1 ,
= sen AB : −1,1 → − =⁄> , =⁄> ,
AB = CD sen : 0, E → −1,1 ,
= cos AB : −1,1 → 0, E ,
AB = CD cos 16
A função = CD cos pode também ser definida pela equação:
M
N
F = GHI IJK L = − GHIKOPL.
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Funções trigonométricas inversas
: (− ER2 , ER2) → ,
= S AB : → (− =⁄> , =⁄>)
AB = CD S 18
Funções trigonométricas inversas
19
Funções trigonométricas inversas
= CD sec = CD cos(1R )
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Funções trigonométricas inversas
= CD cos(D = CD 6(7(1R )
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Funções hiperbólicas
Seno hiperbólico:
Cosseno hiperbólico:
22
Funções hiperbólicas
Aplicação
A curva formada por um fio de telefone ou de luz é
representada pelo cosseno hiperbólico:
= cosh ⁄ , ∈ CATENÁRIA
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Funções hiperbólicas
⇒ tangente hiperbólico :
x
−x
senh x e − e
tgh x =
= x −x
cosh x e + e
⇒ cotangente hiperbólico :
cosh x e x + e − x
cotgh x =
= x −x
senh x e − e
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Funções hiperbólicas
⇒ secante hiperbólico :
1
2
= x −x
sech x =
cosh x e + e
⇒ cossecante hiperbólico :
1
2
cosech x =
= x −x
senh x e − e
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Funções hiperbólicas Inversas
Função Inversa do Seno Hiperbólico: a função inversa do
seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e
denotada por arg senh, é definida como segue:
Temos Dom (arg senh x) = Im (arg senh x) = R
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Função Inversa do Cosseno Hiperbólico: para definirmos a
função inversa do cosseno hiperbólico, precisamos restringir
seu domínio.
: 0, +∞ → 1, +∞ ; = cosh Temos Dom (arg cosh x) = [1, +∞)
e Im (arg cosh x) = [0, +∞)
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Função Inversa da Tangente, Cotangente e Cossecante
Hiperbólica: para a definição das inversas destas funções não
necessitamos restringir seus domínios.
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Função Inversa do Secante Hiperbólica: para definirmos a
função inversa da secante hiperbólica, precisamos restringir
seu domínio.
: 0, +∞ → (0,1]; = sech C 6(DV = 0, 1
arg 6(DV = [0, +∞)
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