tensão de cisalhamento média

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO POLITÉCNICO
Graduação em Engenharia Mecânica
Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período
Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.
Tema de aula 1: Tensão
OBJETIVOS:
•
•
Revisar alguns princípios importantes da estática e usar para determinar os esforços internos
resultantes em um corpo.
Introduzir os conceitos de tensão normal e tensão de cisalhamento e discutir aplicações
específicas da análise e do projeto de elementos submetidos a carga axial ou cisalhamento.
SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS:
•
1.1 Introdução
•
1.2 Equilíbrio
•
1.3 Tensão
•
1.4 Tensão Normal Média em uma Barra com Carga Axial
•
1.5 Tensão de Cisalhamento Média
•
1.6 Tensão Admissível
“Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.”
THOMAS FULLER, M.D.
1.1-Introdução.
A resistência dos materiais: estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo
deformável e forças internas que atuam dentro do corpo.
Abrange o cálculo da deformação do corpo e o estudo da sua estabilidade, quando
submetido a forças externas.
É necessário primeiro usar estática para determina as forças que atuam tanto sobre como
no interior de seus vários membros.
As dimensões dos elementos, sua deflexão e sua estabilidade dependem não só das
cargas como também do tipo de material. Assim, a determinação precisa e a
compreensão do comportamento do material são de vital importância para o
desenvolvimento das equações usadas na resistência dos materiais.
1.2 - Equilíbrio.
Forças Externas: Classificadas como força de superfície ou de corpo;
Forças de Superfície são causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície e
distribuídas pela área de contato entre os corpos.
Se área for pequena é força concentrada em um ponto do corpo.
Se aplicada ao longo de uma área estreita é carga linear distribuída, w(s) (N/m), representada
por setas ao longo da reta s, A força resultante de w(s), FR, equivale à área sob a curva de
distribuição da carga, e sua resultante atua no centróide C ou centro geométrico dessa área.
Força de Corpo. Desenvolve-se sem contato físico direto entre eles. No caso da gravidade, essa
força é chamada peso e atua no centro de gravidade desse corpo.
Reações do Apoio. São forças de superfície nos pontos de contato entre corpos submetidos a
sistemas de forças coplanares.
Determinar reação do apoio imaginando que se o apoio impede a translação em
dada direção, então deve ser desenvolvida uma força naquela direção; se a rotação
for impedida, deve ser aplicado um conjugado sobre o elemento.
Equações de Equilíbrio.
O equilíbrio de forças, evita translação ou movimento acelerado.
O equilíbrio de momentos, evita a rotação do corpo.
Num sistema de coordenadas x, y, z com origem no ponto O as equações podem
ser decompostos em componentes:
A melhor maneira de considerar essas forças e conjugados para aplicar as equações é
desenhar o diagrama de corpo livre.
Força interna resultante:
Determina força resultante e o momento que atuam no interior do corpo, para
manter o corpo unido quando submetido a cargas externas.
Exemplo;
Consideremos o corpo
mostrado mantido em
equilíbrio por quatro forças
externas.
Para determinar as cargas
internas; fazer uma seção
ou 'corte' através da região
em que as cargas internas
devem ser determinadas
(método das seções)
O diagrama de corpo livre
de uma das partes é
desenhado.
As
forças
internas
representam os efeitos
do material da parte
superior atuando sobre a
parte inferior.
Obter a força resultante FR e o
momento resultante Mro no
Centróide O da área e relacionálas às forças externas.
As componentes de FR e Mro na direção normal ou perpendicular à
área definem;
Força Normal, N, perpendicular à área se as forças externas
tendem a empurrar ou puxar as duas partes secionadas do corpo.
Força de Cisalhamento, V, quando as cargas externas tendem a
provocar o deslizamento das duas partes secionadas do corpo.
Momento de Torção ou Torque, T, quando as cargas externas
tendem a torcer uma parte do corpo secionado em relação à outra
(regra da mão direita).
Momento Fletor, M, quando as cargas externas tendem a fletir o
corpo no plano da área secionada.
Para Cargas Coplanares, existirão na seção apenas força normal, de cisalhamento e momento
fletor.
Uma solução direta para N é obtida aplicando-se Σ Fx = 0, e para V aplicando-se Σ Fy = 0.
Finalmente o momento fletor M0 é determinado diretamente pela soma dos momentos em
torno do ponto O (eixo do z), Σ Mo = 0, vejamos exemplos;
Exemplo 1:
Vamos treinar:
1-A viga suporta a carga distribuída mostrada. Determinar a carga interna resultante nas
seções transversais que passam pelos pontos D e E. Assumir que as reações nos apoios A e B
sejam verticais.
Exemplo 2:
Vamos treinar:
2-A prensa manual de metal está submetida a uma força de 120 N na extremidade. Determine a
intensidade da força de reação no pino A e no elo BC. Determinar também a resultante das
cargas internas que atuam na seção transversal que passa pelo ponto D do cabo.
1.3-Tensão.
Para estabelecer o conceito de tensão, considere que a seção da área seja subdividida em áreas
pequenas ΔA;
supondo que o material é contínuo, (sem vazios), e
coeso, (bem unido e sem trincas), a força finita (ΔF),
atuante sobre ΔA, tem três componentes; ΔFz, normal ,
ΔFx e ΔFy tangentes à área, que geram as seguintes
tensões nesta área:
Tensão Normal,
se ΔFz 'empurra' o elemento é denominada
tensão de compressão, se 'puxa‘ é chamada
tensão de tração.
Tensão de Cisalhamento, que atuam tangentes à ΔA.
Onde z indica a orientação da área,
enquanto x e y referem-se às retas de
direção das tensões de cisalhamento.
Estado Geral da Tensão. Representado
ao ‘cortar' um elemento cúbico do
volume do material. Em cada face
atuam as 3 componentes do estado
geral da tensão.
Unidades. No SI, (N/m2=
pascal (Pa).
No
sistema
norteamericano, (ou sistema PésLibras-Segundo)
expressamos a tensão em
libras
por
polegada
quadrada (psi) ou quilolibra
por polegada quadrada (ksi).
1.4-Tensão normal média em uma barra com carga axial.
Caso todas as áreas da seção transversal da barra sejam iguais, a barra
será denominada prismática.
Desprezando o peso da barra, para o equilíbrio do segmento inferior, a
resultante da força interna que atua na seção transversal deverá ser igual
em intensidade, oposta em sentido à força na extremidade inferior .
Supomos:
1-considerar tensão no interior da seção média da barra onde a deformação
é uniforme (longe das forças externas das extremidades que causam
distorções).
2- P aplicada ao longo do eixo centróide para uniformizar deformação.
3- material homogéneo e isotrópico.
Tensão Normal Média. Com as considerações acima, cada área ΔA está sujeita a uma força
ΔF = σ Δ A, e o somatório resulta na força interna resultante P no centróide da seção;
Nota: P passar pelo centróide implica tensão uniforme e
produzirá momentos nulos em torno de quaisquer eixos x e
y que passem por esse ponto:
Igualdades satisfeitas porque
no centróide;
Interpretação gráfica: P é equivalente ao volume sob o
diagrama de tensão. A resultante passa pelo centróide do
volume considerado.
OBS: As hipóteses podem ser usadas para barras levemente
cónicas. Por exemplo, em barra cónica de seção transversal
retangular, com ângulo de 15° entre dois lados adjacentes, a
tensão normal média calculada é 2,2% menor.
Tensão Normal Média Máxima.
Ocasionalmente, a barra pode ser submetida a várias cargas externas ao longo de seu eixo, ou
pode ocorrer uma mudança na área de sua seção transversal.
Resultado: tensão normal no interior será diferente de uma seção para a outra. É importante
determinar o local em que a relação P/A chega ao máximo, para tal, havendo mudança de área,
mostrar por meio do gráfico da força normal P contra posição x ao longo da barra.
EXEMPLO: A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a
tensão normal média máxima da barra quando submetida ao carregamento mostrado.
Sol: força axial interna na região AB:
força axial interna na região BC:
força axial interna na região CD:
Diagrama:
Como a área da seção transversal da barra é constante, a maior tensão normal média ocorre
em BC;
Graficamente, o volume (ou 'bloco') dessa distribuição de tensão equivale à carga de 30 kN;
isto é, 30 k N = (87,5 MPa)(35 mm)(10 mm).
Fazer: O mancal de encosto está submetido às cargas mostradas. Determinar a tensão normal
média desenvolvida nas seções transversais que passam pelos pontos B,C e D. Fazer o desenho
esquemático dos resultados para um elemento de volume infinitesimal localizado em cada
seção.
Exemplo: O pedestal tem seção transversal triangular como mostrado. Supondo que esteja
submetido a uma força de compressão de 500 lb, especificar as coordenadas de localização do
ponto P (x, y), em que a carga deve ser aplicada na seção transversal, de modo que a tensão
normal média seja uniforme. Calcular a tensão e desenhar sua distribuição atuando em uma
seção transversal fora do ponto de aplicação da carga.
Solução: Para obter as coordenadas e do centróide
devemos nos lembrar que em triângulos ele se
encontra à x= 1/3 da altura relativa a base, então
podemos dividir em dois triângulos e obter as
coordenadas x e y do centróide por somatórrio;
Sendo a tensão média uniforme, podemos calcular por;
A distribuição em uma seção qualquer será:
Fazer: O bloco pequeno tem espessura de 5 mm. Supondo que a distribuição de tensão
desenvolvida pela carga no apoio varie como mostrado, determinar a força F aplicada ao bloco e
a distância d até o ponto em que ela se aplica.
1.5-Tensão de cisalhamento média.
Ao lado F=2v, logo a tensão de cisalhamento
média sobre cada uma das
duas seções será ;
Ela é a uniforme em cada ponto da seção;
Geralmente ocorrem dois tipos de cisalhamento:
Cisalhamento simples:
Cisalhamento duplo:
Para estar em equilíbrio de forças (em z e y), e
momentos, um elemento removido da
superfície onde atue a tensão de
cisalhamento média;
requer as quatro tensões de cisalhamento
com intensidades iguais e sentido contrário
nas
bordas
opostas.
(propriedade
complementar do cisalhamento)
Exemplo: A embreagem de dentes é usada para transmitir um torque de 450 lb • pés em uma
única direção. Supondo que cada eixo tenha apenas dois dentes em torno da circunferência,
como mostrado, determinar a tensão de cisalhamento média ao longo da raiz AB de cada dente.
Sol: Façamos o DCL com os momentos
e Forças na seção;
Passando
tudo
para
polegada
(1ft=12in), o equilíbrio de momentos
dará F:
Como a área é 1/6 da área do anel;
A tensão média de cisalhamento será
1.6-Tensão Admissível
O fator de segurança (F.S.) é a relação entre a carga de ruptura Frup e a carga admissível Fadm.
Se a carga aplicada ao elemento for relacionada linearmente à tensão, como σ= P/A e τ=
V/A, então;
O F.S. é maior que 1.
1.7-Projeto de Acoplamentos Simples
Seja um elemento sujeito a uma força normal; a área requerida da seção será:
Seja um elemento sujeito a uma força cortante; a área requerida da seção será:
Vejamos 4 tipos comuns:
Área da Seção Transversal de um Elemento de Tração
Área da Seção Transversal de um Acoplamento Submetido a Cisalhamento.
Área Requerida para Resistir ao Cisalhamento Provocado por Carga Axial
Área Requerida para Resistir ao Apoio
Exemplo: A estrutura está submetida a uma carga de 1,5 kip. Determinar o diâmetro necessário dos pinos
em A e B se a tensão de cisalhamento admissível para o material for 6 ksi. O pino A está submetido a
cisalhamento duplo, enquanto o pino B está submetido a cisalhamento simples.
Sol: Precisamos dos esforços em B e A;
Usando DCL no braço DC:
Façamos DCL da estrutura:
Pelas Eq. Equil. obtemos os esforços
em A e D:
Vamos finalmente obter os diâmetros em A e B:
Fazer: O mancal de encosto consiste de um colar circular A preso ao eixo B. Determinar a força axial máxima
P que pode ser aplicada ao eixo de modo que não provoque tensão de cisalhamento admissível de 170 MPa
ao longo das superfícies cilíndricas a ou b.
– Bibliografia:
– R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.
MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO!