Grandezas Direta e Inversamente Proporcionais

Grandezas Direta e Inversamente
Proporcionais
Números e Grandezas direta e
inversamente proporcionais.
Números Diretamente Proporcionais
Os números racionais x, y, e z são diretamente
proporcionais aos números racionais a, b e c,
quando se tem:
𝒙 𝒚 𝒛
= =
𝒂 𝒃 𝒄
Exemplos
1) Verificar se os números x=4, y=10, e z=30 são
diretamente proporcionais aos números a=8,
b=20, e c=60.
Solução:
𝒙
𝒂
𝒚
𝒃
Basta verificarmos se = =
4 10 30 1
=
=
=
8 20 60 2
𝒛
,
𝒄
ou seja:
Resposta: Sim, são diretamente proporcionais
Exemplos
2) Os números 6, x e y são diretamente
proporcionais aos números 4, 8 e 20. Nessas
condições, determinar os valores de x e y.
Solução:
6
4
𝑥
8
𝑦
.
20
Devemos ter: = =
Daí, temos:
6 𝑥
= ⇒ 4𝑥 = 48 ⇒ 𝑥 = 12
4 8
6
𝑦
=
⇒ 4𝑦 = 120 ⇒ 𝑦 = 30
4 20
Exemplos
3) Um barbante com 200cm de comprimento é
dividido em três partes com comprimentos
diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 2.
Qual o comprimento de cada pedaço?
Solução:
Representando os comprimentos por a, b e c,
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎+𝑏+𝑐
200
teremos: = = =
=
= 20
3
5
2
𝑎
3
3+5+2
Logo, = 20 ⇒ 𝑎 = 60𝑐𝑚,
e
𝑐
2
= 20 ⇒ 𝑐 = 40𝑐𝑚
10
𝑏
5
= 20 ⇒ 𝑏 = 100𝑐𝑚
Números Inversamente Proporcionais
Os números racionais 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒛são inversamente
proporcionais aos números racionais 𝒂, 𝒃 𝒆 𝒄 ,
quando se tem:
𝒙. 𝒂 = 𝒚. 𝒃 = 𝒛. 𝒄
Exemplos
1) Verificar se os números 𝑥 =120, 𝑦 =30 e
𝑧 =16 são inversamente proporcionais aos
números a=2, b=8 e c=15.
Solução:
Basta verificarmos se 𝑥. 𝑎 = 𝑦. 𝑏 = 𝑧. 𝑐, ou seja:
120.2 = 30.8 = 16.15 = 240
Resposta: Sim, são inversamente proporcionais
Exemplos
2) Quais devem ser os valores de x e y para que os
números 3, 12 e y sejam inversamente proporcionais a x,
30 e 10?
Solução:
Devemos ter 3.x = 12.30 = y.10.
Assim, 3x = 360 ⇒ x = 120 e
10y = 360 ⇒ y = 36
Exemplos
3) Reparta o número 620 em três parcelas que
sejam inversamente proporcionais aos números
5, 2 e 3.
Solução:
Sejam as parcelas procuradas a , b e c.
Devemos ter, 5.a = 2.b = 3.c Mas sabemos que a
+ b + c = 620.
Chamemos 5a = 2b = 3c = K Então, podemos
𝑘
𝑘
𝑘
escrever: a = , 𝑏 = 𝑒 𝑐 =
5
2
3
Exemplos
3) CONT.
Assim, a =
teremos:
𝑘
5
𝑘
2
𝑘
5
,𝑏 =
𝑘
2
𝑘
3
𝑒 𝑐 = e como a +b +c = 620,
𝑘
3
+ + = 620
Multiplicando pelo MMC = 30, temos: 6k+15k+10k
= 18600 ⇒ 31k = 18600 ⇒
18600
k=
31
600
b=
=
2
= 600 e as parcelas são: a =
300 𝑒 𝑐 =
600
3
= 200.
600
5
= 120,