(7) O grupo

PRIMEIRAS PROPRIEDADES
Definição 1
Um grupo (G, *) é um conjunto fechado para a operação binária * e que
satisfaz os seguintes axiomas:
(I) A operação * é associativa;
(II) Existe um elemento n  G (elemento neutro) tal que n * x = x * n = x,
para todo x  G;
(III) Para todo a  G, existe um elemento a’  G (inverso de a) tal que
a * a’ = a’ * a = n;
GRUPO
F
A
N
I
*
Definição 2
C (abeliano)
Um grupo G diz-se abeliano se a operação binária * é comutativa.
EXEMPLOS
1 - A estrutura (Z+, +) não é um grupo pois não existe elemento neutro.
2 - A estrutura (N, +) não é um grupo pois não existe inverso.
3 - As estruturas (R, +), (Z, +), (Q, +) e (C, +) são grupos.
4 - O conjunto das funções reais de variável real com a adição
de funções é um grupo. Este grupo é abeliano.
5 - O conjunto das matrizes de tipo m X n, m, n  N, com onde cada
aij  R é um grupo abeliano para a adição de matrizes.
O elemento neutro é a matriz onde todo aij = 0 e a inversa aditiva de
A é (-A).
6 - O conjunto de todas as matrizes de tipo n X n com a operação
multiplicação de matrizes não é um grupo, pois somente as matrizes
com determinante não nulo têm inverso.
7 - O subconjunto das matrizes n X n inversíveis (determinante não
nulo) com a operação multiplicação de matrizes é um grupo.
Este grupo não é abeliano.
PROPRIEDADES
P1 – Em um grupo (G, *), o elemento neutro é único e cada elemento
possui um único inverso.
P2 - Em um grupo (G, *) é válida a lei do corte (cancelamento).
P3 - Sendo a e b elementos de (G, *), as equações a * x = b e y * a = b
têm, cada uma delas, uma única solução em G.
Estas propriedades foram demonstradas para os grupóides.
EXEMPLOS
1 - Em (Z, +) é válida a lei do cancelamento.
3+b=5+3 b=5
2 - No monóide multiplicativo (Z12, X) não é válida a lei do cancelamento.
3 x 2 = 3 x 6 = 6, mas 2  6.
A equação 3 . x = 6 tem 3 soluções em Z12: 2, 6 e 10.
A equação 3 . x = 2 não tem solução em Z12.
3 – Na adição de matrizes é verificada a lei do cancelamento.
4 – A lei do cancelamento não é válida para o produto de matrizes.
A x B = C x B  A  C.
4 1
5 2
x
1 2
1 2
=
3
4
2
3
x
1 2
1 2
A lei será válida quando B for inversível.
São
diferentes
A x B = C x B  A x (B x B-1) = C x (B x B-1)  A x I = C x I  A = C.
5 – Na multiplicação de reais por zero, não é válida a lei do cancelamento.
4 x 0 = 6 x 0, mas 4  6.
GRUPOS FINITOS E TABELAS DE ENTRADAS
Definição 1 - Chama-se ordem de G ao número de elementos de G.
Escreve-se |G| ou O(G) ou ainda card(G).
Definição 2 - Um grupo G diz-se finito se tiver um número finito de
elementos.
Se G for um grupo infinito escreve-se |G| = .
Um grupo finito, (G, *) onde G = {x1, x2, ..., xn} pode ser representado
por uma tabela n X n com duas entradas onde cada elemento
(ou entrada) (i, j) é xi * xj.
*x
x1
x2
x3 ....
xn
1
x2
x3
...
xn
x 2 * x3
x3*xn
Linha de topo
PROPRIEDADES DA TABELA
(1) Deverá existir um elemento desse conjunto,
denotado por n, que desempenhará o papel
da identidade (ou neutro) do grupo.
(2) A condição n * x = x exige que na linha
correspondente ao elemento n, os elementos
do conjunto aparecem na mesma ordem em que
se encontram na linha de topo.
*
n
a
b
c
n
a
b
c
n
a
b
c
a
b
c
n
n
(3) A condição x * n = x significa que na coluna correspondente ao
elemento n, os elementos do conjunto aparecem na mesma ordem
em que se encontram na coluna esquerda.
(4) O elemento a tem inverso c à direita quando na célula correspondente
ao cruzamento da linha de a com a coluna de seu inverso c aparece o
elemento neutro n. (a*c = n)
(5) O elemento a tem inverso c à esquerda quando na célula
correspondente ao cruzamento da coluna de a com a linha de seu
inverso c aparece o elemento neutro n. (c * a = n)
(6) As equações a * x = n e y * a = n devem ter solução única.
Deste modo, em cada linha e em cada coluna, cada elemento do
conjunto deve aparecer apenas uma vez.
(7) O grupo é comutativo se a tabela for simétrica em relação à diagonal
principal, ao considerar a tabela como uma matriz.
(8) Não há como verificar a associatividade a partir de visualização da
tabela. A associatividade deve ser comprovada caso a caso.
 






 
 
 
 
 
  





























RESPONDA
1 – Existe elemento?
Se afirmativo, qual é ele?
Justificar.
2 -  é comutativa? Justificar.
3 – Todos os elementos têm inverso?
Justificar.
4 – Qual é o inverso do elemento ?
5 – Resolva a equação:     x =   
ALGUNS GRUPOS FINITOS
1 – Classes residuais módulo k: Zk {0, 1, 2, ... k – 1}
(a) (Zk, +) é um grupo.
(b) (Zk, x) não é um grupo.
Z – conjunto dos nº inteiros.
x - multiplicação
(c) (Zk – {0}, x) é um grupo se k for primo.
2 - Permutações dos elementos do conjunto A.
(P(A), ) é um grupo.
3 – Conjuntos R(n) das raízes complexas da equação xn – 1 = 0.
As raízes ´”n” de 1 são obtidas pela expressão
360ºk + 90º fazendo k = 0, 1, 2, ..., n – 1.
360ºk + 90º
+ i.sen
n
n
(R(n), x) é um grupo.
cos
Todos os grupos acima são abelianos.