Movimento em duas dimensões, projéctil (1ª parte)
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Movimento rectilíneo uniforme MRU Graficamente temos Espaço variável Velocidade constante v x vc x0 0 t 0 t Equação da Recta x x0 v t vc constante 1 Aceleração média Quando a velocidade da partícula se altera, diz-se que a partícula está acelerada A aceleração média é a variação da velocidade am v f vi t f ti ou a notação ou v x num intervalo de tempo t v x am t vx a t 2 Exemplo 8. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro. a Figura 2 am v f vi t f ti 15 m/s 30 m/s 7.5 m/s 2 2.0 s 0 A velocidade escalar diminui com o tempo O carro está desacelerando v a 3 Aceleração instantânea Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes portanto é útil definir a aceleração instantânea v dv a lim t 0 t dt dv d dx d 2 x a 2 dt dt dt dt Aceleração na direcção x a aex ex x 4 Movimento rectilíneo uniformemente variado Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante v v0 at v0 é a velocidade da partícula no instante t = 0 é a aceleração da partícula é constante se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado Substituindo dx v dt Integrando fica obtemos dx v0 at dt 1 2 x x0 v0t at 2 5 Exemplo 9. Um avião parte do repouso e acelera em linha recta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s? a) Qual é a aceleração do avião? x0 0 1 2 x x0 v0t at 2 Substituindo os valores 1 2 x at 2 x0 0 v0 0 v0 0 (parte do repouso) na equação 2 x 2 600 m 1200 m 2 8 . 3 m/s a 2 t 144 s 2 12 s 2 b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s? v0 0 v v0 at (parte do repouso) v at 8.3 m/s 2 12 s 100 m/s 6 Movimento rectilíneo uniformemente variado MRUV Graficamente temos Velocidade variável Aceleração constante x a v Espaço variável a v0 x0 t 0 t 0 t Parábola Equação da recta v v0 a t 0 a constante 1 2 x x0 v0t at 2 7 Corpos em queda livre Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos Refutou as hipóteses de Aristóteles 8 Através de experiências, Galileu mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade, independentemente de sua massa Exemplos de corpos em queda livre 9 Corpos em queda livre Mas... devemos notar que em geral, há outras forças actuando no corpo considerado, o que pode frustrar uma experiência se não formos suficientemente cuidadosos a resistência do ar!! Força de atrito do ar!!!! 10 Corpos em queda livre Vector aceleração da gravidade g g O vector g aponta para baixo em direcção ao centro da Terra Valor da aceleração da gravidade perto da superfície da Terra g 9.8 m/s 2 Para estudar um corpo em queda livre, consideramos que : • a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para baixo • o efeito da resistência do ar é desprezável 11 Corpos em queda livre y v0 g g g ge y ey As equações obtidas para partículas em movimento com aceleração constante (MRUV) são aplicáveis ao corpo em queda livre. Assim v v0 at 1 2 x x0 v0t at 2 v v0 gt y y0 v0t 1 2 gt 2 12 y Exemplo 10. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima no ponto A do terraço de um edifício com uma velocidade inicial de 20.0 m/s. O prédio tem 50.0 m de altura. Determine: a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima, b) a altura máxima acima do terraço e c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima Quando a pedra atinge a altura máxima ela pára e v v0 gt então v=0 no ponto máximo Substituindo o valor de v na equação fica 0 v0 gt v0 gt v0 20.0 m/s t 2.04 s 2 g 9.8 m/s b) a altura máxima acima do terraço y y0 v0t 1 2 gt 2 y0 0 t 2.04 s Substituindo na equação fica 1 y (20 m/s)(2.04 s) (9.8 m/s 2 )( 2.04 s) 2 20.4 m 2 c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador y y0 v0t y0 0 1 2 gt 2 y0 t 0 1 2 1 0 v0t gt (v0 gt )t 2 2 t 4.08 s 13 Movimento em duas dimensões Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha recta Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy A trajectória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo corpo (planeta, cometa, foguete, carro, etc.) que se movimenta Qualquer ponto da trajectória pode ser descrito pelo vector posição. É definido em termos de coordenadas cartesianas por A posição da partícula P na trajectória é descrita y pelo vector posição P Trajectória s y ey ex r x r r xex ye y x 14 Vector posição da partícula y ey ex r3 r2 r1 x 15 Vector deslocamento r Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo de tempo t t f t i y B r A rf ri ey ex o vector posição passa de x ri A partícula se deslocou de para rf r r f ri 16 Velocidade média r x y vm ex ey t t t vm vmxex vmy e y ou Velocidade instantânea r dr dx dy v lim ex e y t 0 t dt dt dt v v ou v v x ex v y e y é a velocidade escalar 17 Aceleração média v m v x v y am ex ey t t t ou am amxex amy e y Aceleração instantânea dv y dv dvx a ex e y dt dt dt ou ou 2 dv d r a dt dt 2 a a x ex a y e y a aceleração resulta de qualquer variação do vector velocidade quer seja do módulo, da direcção ou do sentido de v 18 MOVIMENTO DE UM PROJÉCTIL A bola faz uma trajectória curva Para analisar este movimento consideraremos que • a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para baixo • o efeito da resistência do ar é desprezável Com estas suposições a trajectória do projéctil é sempre uma parábola 19 Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong A fotografia estroboscópica regista a trajectória de objectos em movimento A Figura mostra que a trajectória da bola é uma parábola 20
