Movimento em duas dimensões, projéctil (1ª parte)

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Movimento rectilíneo uniforme  MRU
Graficamente temos
Espaço variável
Velocidade constante
v
x
vc
x0
0
t
0
t
Equação da Recta
x  x0  v t
vc  constante
1
Aceleração média
Quando a velocidade da partícula se altera,
diz-se que a partícula está acelerada
A aceleração média é a variação da velocidade
am 
v f  vi
t f  ti
ou a notação
ou
v x num intervalo de tempo t
v x
am 
t
vx
a
t
2
Exemplo 8. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados
na Figura 2, calcule a aceleração média do carro.

a
Figura 2
am 
v f  vi
t f  ti

15 m/s  30 m/s
 7.5 m/s 2
2.0 s  0
A velocidade escalar diminui com o tempo
O carro está desacelerando

v

a
3
Aceleração instantânea
Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes
portanto é útil definir a aceleração instantânea
v dv
a  lim

t 0 t
dt
dv d  dx  d 2 x
a
   2
dt dt  dt  dt
Aceleração na direcção x


a  aex

ex
x
4
Movimento rectilíneo uniformemente variado
Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante
v  v0  at
v0
é a velocidade da partícula
no instante t = 0
é a aceleração da partícula
é constante
se a velocidade da partícula aumenta com o tempo
o movimento é uniformemente acelerado
se a velocidade da partícula diminui com o tempo
o movimento é uniformemente retardado
Substituindo
dx
v
dt
Integrando fica
obtemos
dx
 v0  at
dt
1 2
x  x0  v0t  at
2
5
Exemplo 9. Um avião parte do repouso e acelera em linha recta no chão antes de levantar
voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do
avião ao fim de 12 s?
a) Qual é a aceleração do avião?
x0  0
1 2
x  x0  v0t  at
2
Substituindo os valores
1 2
x  at
2
x0  0
v0  0
v0  0
(parte do repouso)
na equação
2 x 2  600 m 1200 m
2


8
.
3
m/s
 a 2 
t
144 s 2
12 s 2
b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?
v0  0
v  v0  at


(parte do repouso)
v  at  8.3 m/s 2 12 s   100 m/s
6
Movimento rectilíneo uniformemente variado  MRUV
Graficamente temos
Velocidade variável
Aceleração constante
x
a
v
Espaço variável
a
v0
x0
t
0
t
0
t
Parábola
Equação da recta
v  v0  a t
0
a  constante
1 2
x  x0  v0t  at
2
7
Corpos em queda livre
Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos
Refutou as hipóteses de Aristóteles
8
Através de experiências, Galileu mostrou que os corpos caem com a
mesma velocidade, independentemente de sua massa
Exemplos de corpos em queda livre 
9
Corpos em queda livre
Mas... devemos notar que em
geral, há outras forças actuando no
corpo considerado, o que pode
frustrar uma experiência se não
formos suficientemente cuidadosos
a
resistência
do ar!!
Força de atrito do ar!!!!
10
Corpos em queda livre
Vector aceleração da gravidade


g

g
O vector g aponta para baixo em
direcção ao centro da Terra
Valor da aceleração da gravidade
perto da superfície da Terra
g  9.8 m/s 2
Para estudar um corpo em queda livre, consideramos que :
• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada
para baixo
• o efeito da resistência do ar é desprezável
11
Corpos em queda livre
y

v0

g

g


g   ge y

ey
As equações obtidas para partículas em movimento com aceleração constante
(MRUV) são aplicáveis ao corpo em queda livre. Assim
v  v0  at
1 2
x  x0  v0t  at
2


v  v0  gt
y  y0  v0t 
1 2
gt
2
12
y
Exemplo 10. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima no
ponto A do terraço de um edifício com uma velocidade inicial de 20.0
m/s. O prédio tem 50.0 m de altura. Determine: a) o tempo no qual a
pedra atinge a sua altura máxima, b) a altura máxima acima do
terraço e c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador.
a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima
Quando a pedra atinge a altura máxima ela pára e
v  v0  gt
então v=0 no ponto máximo
Substituindo o valor de v na equação fica
0  v0  gt

v0  gt

v0 20.0 m/s
t 
 2.04 s
2
g 9.8 m/s
b) a altura máxima acima do terraço
y  y0  v0t 
1 2
gt
2
y0  0
t  2.04 s
Substituindo na equação fica
1
y  (20 m/s)(2.04 s)  (9.8 m/s 2 )( 2.04 s) 2  20.4 m
2
c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador
y  y0  v0t 
y0  0
1 2
gt
2
y0
 t 0
1 2
1
0  v0t  gt  (v0  gt )t 
2
2
t  4.08 s
13
Movimento em duas dimensões
Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha recta
Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy
A trajectória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo corpo (planeta,
cometa, foguete, carro, etc.) que se movimenta
Qualquer ponto da trajectória pode ser descrito pelo vector posição. É definido em
termos de coordenadas cartesianas por
A posição da partícula P na trajectória é descrita
y
pelo vector posição
P
Trajectória s
y

ey 
ex

r
x

r



r  xex  ye y
x
14
Vector posição da partícula
y

ey 
ex

r3 
r2

r1
x
15
Vector deslocamento

r
Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo
de tempo
t  t f  t i
y
B 
r
A

rf

ri

ey 
ex
o vector posição passa de
x

ri
A partícula se deslocou de
para

rf
  
r  r f  ri
16
Velocidade média


r x  y 
vm 

ex 
ey
t t
t



vm  vmxex  vmy e y
ou
Velocidade instantânea



r dr dx  dy 
v  lim


ex  e y
t 0
t dt dt
dt

v v
ou



v  v x ex  v y e y
é a velocidade escalar
17
Aceleração média


v m
v x  v y 
am 

ex 
ey
t
t
t
ou



am  amxex  amy e y
Aceleração instantânea

dv y
 dv
dvx 
a

ex 
e y
dt
dt
dt
ou
ou

2 
 dv
d r
a

dt
dt 2



a  a x ex  a y e y
a aceleração resulta de qualquer variação do vector velocidade
quer seja do módulo, da direcção ou do sentido de

v
18
MOVIMENTO DE UM PROJÉCTIL
A bola faz uma trajectória
curva
Para analisar este movimento consideraremos que
• a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para
baixo
• o efeito da resistência do ar é desprezável
Com estas suposições a trajectória do projéctil é sempre uma parábola
19
Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong
A fotografia estroboscópica
regista
a
trajectória
de
objectos em movimento
A Figura mostra que a trajectória
da bola é uma parábola
20
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