Aceleração. Movimento em duas dimensões.
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Exemplo 7. Encontre a velocidade instantânea da partícula descrita na Figura 1 nos seguintes instantes: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t= 4.5 s, e (d) t= 7.5 s. (a) t = 1.0 s x x0 v t Sabemos que entre 0 e 2 s a velocidade é constante x0 = 0 t0 = 0 x = 10 m t=2s v x x0 10 m - 0 5.0 m/s t 2s Figura 1 (b) t = 3.0 s x x0 v (t t 0 ) x0 = 10 m x= 5 m t0 = 2 s t=4s x x0 5 m - 10 m v 2.5 m/s t t0 4s-2s 1 (c) t = 4.5 s v= 0 (d) t = 7.5 s x x0 v (t t 0 ) x0 = - 5 m x =0m t0 = 7s t=8s x x0 0 - (-5 m) v 5 m/s t t0 8s -7s 2 Aceleração média Quando a velocidade da partícula se altera, diz-se que a partícula está acelerada A aceleração média é a variação da velocidade am v x num intervalo de tempo t v f vi t f ti ou v x am t 3 Exemplo 8. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro. a Figura 2 v f vi A velocidade escalar diminui com o tempo 15 m/s 30 m/s am 7.5 m/s 2 t f ti 2.0 s 0 v a 4 Aceleração instantânea Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes portanto é útil definir a aceleração instantânea v dv a lim t 0 t dt dv d dx d 2 x a 2 dt dt dt dt Aceleração na direcção x a aex ex x 5 Movimento rectilíneo uniformemente variado Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante v v0 at v0 é a velocidade da partícula no instante t = 0 é a aceleração da partícula é constante se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado Substituindo dx v dt Integrando fica obtemos dx v0 at dt 1 2 x x0 v0t at 2 6 Exemplo 9. Um avião parte do repouso e acelera em linha recta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s? a) Qual é a aceleração do avião? x0 0 1 2 x x0 v0t at 2 Substituindo os valores 1 2 x at 2 x0 0 v0 0 v0 0 (parte do repouso) na equação 2 x 2 600 m 1200 m 2 8 . 3 m/s a 2 t 144 s 2 12 s 2 b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s? v0 0 v v0 at (parte do repouso) v at 8.3 m/s 2 12 s 100 m/s 7 Graficamente temos Velocidade variável Aceleração constante x a v Espaço variável a v0 x0 t 0 t 0 t Parábola Equação da recta v v0 a t 0 a constante 1 2 x x0 v0t at 2 8 Corpos em queda livre Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos Refutou as hipóteses de Aristóteles Através de experiências, mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade, independentemente de sua massa 9 Corpos em queda livre Mas... devemos notar que em geral, há outras forças actuando no corpo considerado, o que pode frustrar uma experiência se não formos suficientemente cuidadosos a resistência do ar!! 10 Corpos em queda livre Vector aceleração da gravidade g O vector g aponta para baixo em direcção ao centro da Terra g Valor da aceleração da gravidade perto da superfície da Terra g 9.8 m/s 2 As equações obtidas para partículas em movimento com aceleração constante são aplicáveis ao corpo em queda livre. Assim v v0 gt 1 2 y y0 v0t gt 2 y g ey g ge y 11 y Exemplo 10. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima no ponto A do terraço de um edifício com uma velocidade inicial de 20.0 m/s. O prédio tem 50.0 m de altura. Determine: a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima, b) a altura máxima acima do terraço e c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador. a) o tempo no qual a pedra atinge a sua altura máxima Quando a pedra atinge a altura máxima ela pára e v v0 gt então v=0 no ponto máximo Substituindo o valor de v na equação fica 0 v0 gt v0 gt v0 20.0 m/s t 2.04 s 2 g 9.8 m/s b) a altura máxima acima do terraço y y0 v0t 1 2 gt 2 y0 0 t 2.04 s Substituindo na equação fica 1 y (20 m/s)(2.04 s) (9.8 m/s 2 )( 2.04 s) 2 20.4 m 2 c) o tempo no qual a pedra retorna ao nível do arremessador y y0 v0t y0 0 1 2 gt 2 y0 t 0 1 2 1 0 v0t gt (v0 gt )t 2 2 t 4.08 s 1.2 Movimento em duas dimensões Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha recta Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy A trajectória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo corpo (planeta, cometa, foguete, carro, etc.) que se movimenta Qualquer ponto da trajectória pode ser descrito pelo vector posição. É definido em termos de coordenadas cartesianas por r xe x ye y y P Trajectória s ey ex r A posição da partícula P na trajectória é descrita pelo vector posição r x 13 Vector deslocamento r Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo de tempo t t f t i o vector posição passa de ri para rf y ey ex A partícula se deslocou de rf B r A ri x r r f ri 14 Velocidade média r x y vm ex ey t t t vm vmxex vmy e y ou Velocidade instantânea r dr dx dy v lim ex e y t 0 t dt dt dt v v ou v v x ex v y e y é a velocidade escalar 15 Aceleração média v m v x v y am ex ey t t t ou am amxex amy e y Aceleração instantânea dv y dv dvx a ex e y dt dt dt ou ou 2 dv d r a dt dt 2 a a x ex a y e y a aceleração resulta de qualquer variação do vector velocidade quer seja do módulo, da direcção ou do sentido de v 16 MOVIMENTO DE UM PROJÉCTIL A bola faz uma trajectória curva Para analisar este movimento consideraremos que • a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para baixo • o efeito da resistência do ar é desprezável Com estas suposições a trajectória do projéctil é sempre uma parábola 17 Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong A fotografia estroboscópica regista a trajectória de objectos em movimento A Figura mostra que a trajectória da bola é uma parábola 18 v0 Analisamos o movimento dimensões separadamente em cada uma das Componentes da velocidade inicial v0 ey 0 ex v0 v0 x ex v0 y e y v0 x cos 0 v0 sin 0 As componentes iniciais são v0 x v0 cos 0 v0 y v0 x e y da velocidade v0 y v0 sin 0 19
