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Polinômios
Profª.: Juliana Santos
Definição


Seja ℂ o conjunto dos números complexos
(números da forma a + bi, onde a e b são
números reais e i é a unidade imaginária tal que
i2 = -1).
Entende-se por polinômio em ℂ a função:
P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an-1x + an
onde os números complexos a0, a1, ..., an são os
coeficientes, n é um número natural denominado
grau do polinômio e x é a variável do polinômio.
Exemplo

P(x) = x5 + 3x2 - 7x + 6 (a0 = 1, a1 = 0,
a2 = 0, a3 = 3, a4 = -7 e a5 = 6)
O grau de P(x) é igual a 5.

Nota: Os polinômios recebem nomes
particulares, a saber:
a.
b.
c.
Binômio: possuem dois termos.
Exemplo: r(x) = 3x + 1 (grau 1).
Trinômio: possuem 3 termos.
Exemplo: q(x) = 4x2 + x - 1 (grau 2).
A partir de 4 termos, recorre-se à
designação genérica: polinômios.
Valor numérico – Raiz do
polinômio

Sendo m um número complexo (lembre-se
que todo número real é também um número
complexo), denominamos valor numérico de
um polinômio P(x)
para
x = m ,
ao
valor P(m) ou seja o valor que obtemos
substituindo x por m .
Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio
p(x) = x3 - 5x + 2 para x = -1? Teremos,
substituindo a variável x por x = -1 que:
p(-1) = (-1)3 - 5(-1) + 2 = -1 + 5 + 2 = 6.
Logo, p(-1) = 6.

Raiz (ou zero) de um polinômio
O número complexo m é raiz ou zero do
polinômio P(x) quando P(m) = 0 .
Exemplo1:
i
é
raiz
do
polinômio
p(x) = x2 + 1 , pois p(i) = 0 .
Lembre-se que i2 = -1, ou seja, o
quadrado da unidade imaginária é igual
a -1.
Exemplo2: O número natural 2 é raiz do
polinômio p(x) = x3 - 2x2 - x + 2 , pois
p(2) = 0.
Igualdade de polinômios
Vamos estabelecer o que são dois polinômios iguais e como se
pode constatar a igualdade de dois polinômios examinando
apenas seus coeficientes.


Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente
polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero
para todo valor da variável x. Indicamos P º 0 (polinômio
nulo). Para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é
necessário e suficiente que todos os seus coeficientes
sejam nulos (iguais a zero).
Polinômios idênticos são polinômios iguais. Se P e Q são
polinômios idênticos, escrevemos P º Q. É óbvio que se
dois polinômios são idênticos, então os seus coeficientes
dos termos correspondentes são iguais. A expressão P º Q
é denominada identidade .
Grau do polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que
possui um coeficiente não nulo é chamado termo
dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente
do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x)
não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que
aqui será denotado por ∂(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias
observações importantes:
a.
Um polinômio nulo não tem grau, uma vez que não possui
termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o
grau de um polinômio nulo, mas não o faremos aqui.
b.
c.
d.
e.
f.
g.

Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for
igual a 1, o polinômio será chamado polinômio unitário.
Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas
potências em ordem crescente ou decrescente.
Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o
polinômio será dito incompleto.
Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número
de termos deste polinômio será menor do que n+1.
Um polinômio será completo quando possuir todas as
potências consecutivas desde o grau mais alto até o
termo constante.
Se o grau de um polinômio completo for n, o número de
termos deste polinômio será exatamente n+1.
É comum usar apenas uma letra p para representar
a função polinomial p = p(x) e P[x] o conjunto de
todos os polinômios reais em x.
Operações – Adição e Subtração
Dados dois polinômios
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + ... + anxn
g(x) = b0 + b1x + b2x² + b3x³ + ... + bnxn

chama-se soma de f com g o polinômio
(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x² + ... + (an + bn)xn

Tendo em vista o teorema anterior e, considerando os mesmos
polinômios acima, definimos diferença entre f e g como o
polinômio f - g = f + (- g), isto é:
(f - g)(x) = (a0 - b0) + (a1 - b1)x + (a2 - b2)x² + ... + (an - bn)xn
Exemplos
ExemploSOMA: Somar f(x) = 4 + 3x + x² e g(x) = 5 + 3x² + x4.
Temos:
f(x) = 4 + 3x + x² + 0x³ + 0x4
g(x) = 5 + 0x + 3x² + 0x³ + x4
então:
(f+g)(x) = (4+5) + (3+0)x + (1+3)x² + (0+0)x³ + (0+1)x4 =
= 9 + 3x + 4x² + x4.
ExemploSUBTRAÇÃO: Subtrair p(x) = 3x² - 4x + 1 por q(x) = 5x² - 3x + 4.
Temos:
(p – q)(x) = 3x² - 4x + 1 + [– (5x² - 3x + 4)] = - 2x² - x – 3.
Propriedades da Adição
A operação de adição define em P, conjunto dos polinômios de
coeficientes complexos, uma estrutura de grupo comutativo, isto
é, verifica as seguintes propriedades:
a. ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se
que:
(p + q) + r = p + (q + r)

b.
COMUTATIVA. Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p+q=q+p
c.
ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio p0(x)=0 tal que:
p0 + p = p , ¥ p € P
d.
INVERSO ADITIVO. Para cada p em P[x], existe outro polinômio
q=-p em P[x] tal que:
p+q=0
Operações – Multiplicação
Dados dois polinômios
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a3x³ + ... + amxm
g(x) = b0 + b1x + b2x² + b3x³ + ... + bnxn

chama-se produto fg o polinômio
(fg)(x) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x + (a2b0 + a1b1 + a0b2)x² + ...
+ ambnxm+n

Notemos que o produto fg é o polinômio
h(x)= c0 + c1x + c2x2 + ... + cm+nxm+n
Exemplo

Multiplicar f(x) = x + 2x² +3x³ por g(x) = 4 +
5x + 6x².
Temos:
(fg) (x) = (x + 2x² + 3x³)(4 + 5x + 6x²) =
= x(4 + 5x + 6x²) + 2x²(4+ 5x + 6x²)
+ 3x³(4 + 5x + 6x²) =
= (4x + 5x² + 6x³) + (8x² + 10x³ + 12x4) +
+ (12x³ + 15x4 + 18x5) =
= 4x + 13x² + 28x³ + 27x4 + 18x5.
Propriedades da Multiplicação
A operação de multiplicação em P (conjunto dos polinômios de
coeficientes complexos) verifica as seguintes propriedades:
a. ASSOCIATIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p . q) . r = p . (q . r)
b.
COMUTATIVA. Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:
p.q=q.p
c.
ELEMENTO NEUTRO. Existe um polinômio p0(x)=0 tal que:
p0 . p = p0 , ¥ p € P
d.
DISTRIBUTIVA. Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se
que:
p · (q + r) = p · q + p · r
Operações – Divisão

a.
b.
a.
b.
Dados dois polinômios f (dividendo) e g ≠ 0 (divisor),
dividir f por g é determinar dois outros polinômios q
(quociente) e r (resto) de modo que se verifiquem as
duas condições seguintes:
q.g+r=f
∂r < ∂g (ou r = 0, caso em que a divisão é chamada
exata)
Exemplo: Quando dividimos f = 3x4 – 2x³ + 7x + 2 por
g = 3x³ - 2x² + 4x – 1, obtemos q = x e r = -4x² + 8x
+ 2, que satisfazem as duas condições:
qg + r = x(3x³ - 2x² + 4x – 1) + (-4x² + 8x + 2) =
= 3x4 – 2x³ + 7x + 2 = f
∂r = 2 e ∂g = 3  ∂r < ∂g
Métodos, Algoritmos e Teoremas
para a divisão de polinômios

Método de Descartes*
Este método, também conhecido com o nome de método
dos coeficientes a determinar, baseia-se nos seguintes
fatos:
a. ∂q = ∂f – g, o que é conseqüência da definição, pois:
qg + r = f  ∂(qg + r) = ∂f e então ∂q + ∂g = ∂f
b. ∂r < ∂g (ou r = 0)
O método de Descartes é aplicado da seguinte forma:
calculam-se ∂q e ∂r;
2) constroem-se os polinômios q e r, deixando incógnitos os seus
coeficientes;
3) determinam-se os coeficientes impondo a igualdade qg + r = f.
1)
*René Descartes (1596-1650): filósofo, cientista e matemático francês,
conhecido como “o pai da filosofia moderna”.
Exemplo

Dividir f = 5x³ + x² - 10x - 24 por g = x - 2.
Temos:
∂q = 3 – 1 = 2
∂r < 1

qg + r = f

∂r = 0

q = ax² + bx + c

r=d
(ax² + bx + c) (x - 2) + d = 5x³ + x² - 10x – 24
Desenvolvendo, temos para todo x:
ax³ + (b - 2a)x² + (c - 2b)x + (d - 2c) = 5x³ + x² - 10x – 24
Então, resulta:
a=5
 b = 2a + 1  b = 11
c – 2b = -10  c = 2b – 10  c = 12
d – 2c = -24  d = 2c – 24  d = 0
b – 2a = 1
Resposta: q = 5x² + 11x + 12 e r = 0

Método da Chave
Este método de divisão de polinômios
empregado para números inteiros.
Exemplo: 337 8
– 32
17
– 16
1
é
semelhante
ao
42
Vamos utilizar a mesma técnica para divisão de polinômios.
Dividindo f = 2x5 – 3x4 + 4x³ - 6x + 7 por g = x³ - x² + x – 1:
f 
2x5 - 3x4 + 4x³ + 0x² - 6x + 7
- 2x5 + 2x4 - 2x³ + 2x²
- x4 + 2x³ + 2x² - 6x + 7
x4 - x³ + x² - x
x³ + 3x² - 7x + 7
- x³ + x² - x + 1
4x² - 6x + 8
x³ - x² + x – 1  g
2x² - x + 1  q
 r
Divisão por binômios do 1º grau
(x – a)

Teorema do resto
O resto da divisão de um polinômio f por x – a é igual ao valor
numérico de f em a.
r = f(a)
Exemplo1: O resto da divisão de f = 5x4 + 3x² + 11 por g = x – 3
é:
f(3) = 5 . 34 + 3. 3² + 11 = 405 + 27 + 11 = 443
Exemplo2: O resto da divisão de f = (x + 3)7 + (x – 2)² por
g = x + 3 é:
f(-3) = (-3 + 3)7 + (-3 – 2)² = 07 + (-5)² = 25
Divisão por binômios do 1º grau
(x – a)

Teorema de D’Alembert*
Um polinômio f é divisível por x – a se, e somente se, a é raiz de
f.
De acordo com o teorema do resto, temos r = f(a). Então:
r=0
(divisão exata)
 f(a) = 0
(a é raiz de f)
Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x) = 2x3 + 5x2
– px + 2 seja divisível por x - 2.
Resolução: Se P(x) é divisível por x - 2, então P(2) = 0.
P(2) = 0  2 . 8 + 5 . 4 - 2p + 2 = 0  16 + 20 - 2p + 2 = 0  p = 19
Resposta: p = 19.
*Jean Le Rond D’Alembert (1717-1783): filósofo, matemático e físico
francês; abandonado quando criança nos degraus de uma Igreja em Paris.

Teorema do fator
Se c é uma raiz de um polinômio f(x), de grau ∂c > 0, então
x – c é um fator de f(x).
Pelo teorema de D’Alembert, a divisão de f(x) por x – c resulta
um quociente q(x) e um resto r(c) tal que:
f(x) = (x – c) . q(x) + r(c)
Se c é uma raiz de f(x), então f(c) = 0 e temos:
f(x) = (x – c) . q(x)
Portanto, x – c é um fator de f(x).
Como conseqüência, podemos dizer que f(x) é divisível por
(x – a) e por (x – b), com a ≠ b, se, e somente se, f(x) for
divisível por (x – a)(x – b).
Divisão por binômios do 1º grau
(x – a)

Algoritmo de Briot*-Ruffini**
Um dispositivo que permite efetuar as divisões por polinômios do
tipo x – a de uma maneira mais simples e rápida é o chamado:
dispositivo prático ou algoritmo de Briot-Ruffini.
termo constante
do divisor, com
sinal trocado
coeficientes de x do dividendo p(x)
termo constante
do dividendo
p(x)
coeficientes do quociente
*Charles Auguste Briot (1817-1882): matemático francês
**Paolo Ruffini (1765-1822): médico e matemático italiano
resto
Exemplo
Dividir p = 2x4 + 7x³ - 4x + 5 por h = x + 3
Resolução:
+
-3
2
7
- 6 +7
x
2
0
-4
5
-3+0
9 + (- 4)
- 15 + 5
-3
5
- 10
1
q
Quociente: q = 2x³ + x² - 3x + 5
Resto: r = - 10
r
Equações Algébricas


Sendo f(x) um polinômio em ℂ, chama-se equação
algébrica à igualdade f(x) = 0 . Portanto, as raízes da
equação algébrica, são as mesmas do polinômio f(x). O
grau do polinômio, será também o grau da equação.
Exemplo: 3x4 - 2x3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º
grau.
Propriedades:
P1. Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n
raízes.
Exemplo: A equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou
x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou
conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}.
P2. Se b for raiz de f(x) = 0, então f(x) é divisível por x - b .
Esta propriedade é muito importante para diminuir o grau de uma
equação, o que se consegue dividindo f(x) por x - b, aplicando
Briot-Ruffini.
P3. Se o número complexo a + bi for raiz de f(x) = 0 , então o
conjugado a - bi também será raiz.
Exemplo: Qual o grau mínimo da equação f(x) = 0, sabendo-se
que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4 - 3i.
Pela propriedade P3, os complexos conjugados 3 - 2i e 4 + 3i são
também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de
f(x) é igual a 5, ou seja, f(x) possui no mínimo 5 raízes.
P4. Se a equação f(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então
dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k.
Exemplo: A equação (x - 4)10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4.
Portanto, 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10.
P5. Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica
f(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é
raiz).
Exemplo: 1 é raiz de 40x5 - 10x3 + 10x - 40 = 0, pois a soma dos
coeficientes é igual a zero.
P6. Toda equação de termo independente nulo, admite um
número de raízes nulas igual ao menor expoente da
variável.
Exemplo: A equação 3x5 + 4x2 = 0 possui duas raízes nulas. A
equação x100 + x12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são
nulas.
P7. Se x1 , x2 , x3 , ... , xn são raízes da equação aoxn + a1xn-1
+ a2xn-2 + ... + an = 0, então ela pode ser escrita na forma
fatorada: ao (x - x1) . (x - x2) . (x - x3) . ... . (x - xn) = 0 .
Exemplo: Se - 1 , 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º
grau, então podemos escrever: (x + 1) . (x - 2) . (x - 53) = 0,
que desenvolvida fica: x3 - 54x2 + 51x + 106 = 0 .
Relações entre coeficientes e
raízes (Relações de Girard*)
 Equação do 2º grau
Consideremos a equação:
1) ax²
+ bx + c = 0 (a ≠ 0), cujas raízes são x1 e x2.
Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:
2) a(x
– x1)(x – x2) = 0
Temos a identidade:
ax² + bx + c = a(x – x1)(x – x2), ¥ x, portanto:
x 1 + x 2 = - b / a e x 1x 1 = c / a
*Albert Girard (1595-1632): matemático francês que possuía grande
interesse pela música
 Equação do 3º grau
Consideremos a equação:
1)
ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0), cujas raízes são x1, x2 e
x3 .
Vimos que essa equação pode ser escrita sob a forma:
2)
a(x – x1)(x – x2)(x – x3) = 0
Temos a identidade:
ax³ + bx² + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3), ¥ x,
portanto:
x1 + x2 + x3 = - b / a , x1x2 + x2x3 + x3x1 = c/a e x1x2x3 = - d / a

Equações de grau n qualquer
Seguindo os mesmos passos anteriores, vamos agora
descrever as relações entre coeficientes e raízes de uma
equação polinomial de grau n (∂n ≥ 1):
Soma das raízes
= x1 + x2 + x3 + ... + xn = - an-1 / an
Soma dos produtos das raízes tomadas:
= x1x2 + x1x3 + x1x4 + ... + xn-1xn = an-2 / an
três a três = x1x2x3 + x1x2x4 + ... + xn-2xn-1xn = - an-3 / an
h raízes da equação = (-1)h . an-h / an
Produto das raízes = x1x2x3 ... xn = (-1)n . a0 / an
duas a duas
Exemplo

Escrever as relações de Girard para a equação algébrica
x³ + 7x² - 3x + 5 = 0, considerando x1, x2 e x3 as raízes
da equação.
Resolução: Pela equação, temos:
an = 1 , an-1 = 7 , an-2 = -3 , a0 = 5
Assim, temos que:
x1 + x2 + x3 = - (7 / 1) = -7
x1x2 + x1x3 + x2x3 = (-3 / 1) = -3
x1x2x3 = - (5 / 1) = -5
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