Slides - Sandra de Amo

Números Primos – algoritmos
e aplicações
AULA 4
Análise de Algoritmos
Pós-graduação em Ciência da Computação e
Bacharelado em Ciência da Computação - UFU
Profa. Sandra de Amo
Primos
Definição: Um número natural n é primo se os únicos divisores de p são 1 e
p.
Problema importante: detectar se um dado número natural n é primo.
Algoritmo ‘ingênuo’:
Input: um número n de k bits
Output: ‘sim’ se n é primo, ‘não’ caso contrário.
1.
2.
3.
For i = 2, ... , n/2
Se i divide n pára e retorna ‘não’
Retorna ‘sim’
Qual a complexidade deste algoritmo (em função do TAMANHO DO INPUT n
?)
Complexidade
Complexidade = O(n)
onde n = grandeza do número
Precisamos relacionar n com k = tamanho da representação binária
de n
n = O(2k ). Logo k = O(log2n)
Portanto a complexidade do algoritmo ingênuo é O(n) = O(2k )
Algoritmo ingênuo é exponencial no tamanho do input !!
Problema: O problema de testar a primalidade de um número n é
polinomial ? Isto é, existe algoritmo de complexidade polinomial que
resolva este problema ?
Primos é polinomial !
Somente em 2003 este problema foi
resolvido.
Ver artigo: Primes is in P - Manindra Agrawal,
Neeraj Kayal, Nitin Saxena. Annals of
Mathematics, 160 (2004), pp. 781-793.
Um primeiro projeto de algoritmo
Probabilístico para resolver o problema dos
Primos
•
O ponto onde o algoritmo ingênuo é custoso está no
loop
For i = 1, ... , n/2
Passo 2 é executado um número exponencial de
vezes !
•
•
Ideia : técnica Monte Carlo
–
–
–
Ao invés de executar o passo 2 para cada valor de i = 1,...,n/2,
sorteia-se um número p qualquer entre 1 e n/2 e executa o
passo 2 uma única vez para p (testa se p divide n)
Se a resposta for ‘sim’, pára e responde ‘não’.
Caso contrário, pára e responde ‘sim’.
Complexidade = O(k2) onde k = tamanho de n
Exemplo
Testar se 34 é primo utilizando esta “técnica” de MC (Monte Carlo).
Quantos números entre 2 e 17 ? 16
Sorteia um destes números. Por exemplo: 15. Testa se 15 divide
34. Como a resposta é ‘não’, o algoritmo retorna ‘sim, é primo’ =
resposta ERRADA
Se o número sorteado fosse o 17, o algoritmo retorna ‘não, não é
primo’ = resposta CERTA.
Qual a probabilidade do algoritmo retornar uma resposta CERTA
para o input n = 34 : 2/16 = 1/8 = 12,5 %
Qual a probabilidade do algoritmo retornar uma resposta errada
para o input n = 34 : 1- 12,5 = 87,5%
Exemplo
Testar se 12 é primo utilizando esta “técnica” de MC
(Monte Carlo).
Quantos números entre 2 e 6 ? 5
Sorteia um destes números. Por exemplo: 5. Testa se 5
divide 12. Como a resposta é ‘não’, o algoritmo
retorna ‘sim, é primo’ = resposta ERRADA.
Se o número sorteado fosse o 3, o algoritmo retorna
‘não, não é primo’ = resposta CERTA.
Qual a probabilidade do algoritmo retornar uma
resposta CERTA para o input n = 12 : 3/5= 60%
Qual a probabilidade do algoritmo retornar uma
resposta errada para o input n = 12 : 1- 0,6 = 40%
Exercício
Preencher a tabela:
O teste da
primalidade de MC tem
probabilidade de falhar
quando o input NÃO É PRIMO.
A probabilidade de falhar varia
muito de número para número.
Depende muito do número de
valores intermediários para os quais
o teste de divisão retorna ‘sim’,
que é onde o algoritmo pára e
retorna ‘Não, não é primo’. Quanto
maior for este número de valores,
maior a probabilidade de acerto da
resposta negativa ‘Não, não é
primo’
Input
34
12
30
55
22
13
17
5
42
Prob.
acerto
Prob.
erro
12,5 % 87,5%
60%
40%
36%
64%
100%
100%
100%
0
0
0
O que seria interessante ?
•
Um algoritmo MC que utilizasse um
outro teste (de complexidade polinomial)
no lugar da divisão e que:
– tivesse pelo menos 50% de probabilidade
de acertar, caso o input não fosse primo.
– Tivesse 100% de probabilidade de acertar,
caso o input é primo.
Teste de Fermat (1640)
• Se n é primo então para todo a, 1 ≤ a < n
tal que mdc(a,n) = 1, então
an-1 ≡ 1 mod n
O teste de Fermat (que substitui a divisão) consiste em testar se
an-1 ≠ 1 mod n
Teste da divisão que permite concluir que um número não é primo:
Se a divide n
 n não é primo
Teste de Fermat que permite concluir que um número não é primo:
Se an-1 ≠ 1 mod n  n não é primo
Probabilidade de acerto do Teste
de Fermat
•
•
Para inputs n primo: 100%
Para inputs n não primo: probabilidade de acerto depende do número de
elementos intermediários a com mdc(a,n) = 1 e para os quais o teste
de Fermat falha:
an-1 ≠ 1 mod n
Lema: se n não é primo:
• ou não existe nenhum a intermediário para
o qual o teste de Fermat falha,
– Que números são estes ? Parecem muito com os primos mas
não são ! Números de Carmichael : Ex. 561 = 3.11.17
• ou pelo menos a metade dos valores intermediários
falha no teste de Fermat
Prova
• Suponha que exista a com mdc(a,n) = 1 tal que o TF
(teste de Fermat) falha:
a.b’
a.b
b’
b
a
Falha no TF
Sucede no TF
Para todo b tal que bn-1 = 1 mod n, temos que (a.b)n-1 ≠ 1 mod n
Além disto se (a.b)n-1 = (a.b’)n-1  b = b’
Logo: |Sucede| <= |Falha|
Portanto, podemos concluir que pelo menos a metade
dos elementos entre 1 e n com mdc(a,n) = 1 falham no TF.
Se não houvesse números de
Carmichael ...
• Se N é primo então todos os a entre 1 e n sucedem no
TF.
• Se N não é primo então no máximo metade dos a entre
1 e n sucedem no TF
• Probabilidade de acerto do algoritmo quando N é primo:
100%
• Probabilidade de erro do algoritmo quando N não é
primo (e não é de Carmichael) ≤ ½
• Probabilidade de acerto quando N não é primo ≥ ½
• Para números de Carmichael, a probabilidade de erro é
100%
Um algoritmo probabilistico para testar probabilidade
com probabilidade de erro bem baixa para números
compostos não de Carmichael.
Probabilidade de erro quando n não é primo:
precisa sortear k valores intermediários que falham no TF simultaneamente.
1o sorteio = falha ≤ ½
2o sorteio = falha ≤ ½
....
K-ésimo sorteio = falha ≤ ½
Probabilidade ≤ (½)(½)... (½) = (½) k
Números Primos são úteis em
Criptografia
•
Algoritmo RSA para criptografar e descriptografar mensagens.
1. Gera dois números primos grandes p,q de n bits
2. N = p.q
3. N1 = (p-1).(q-1)
4. Considera um número e < N tal que mdc(e,N1) = 1
5. Chave pública = (e,N) permite codificar mensagens x
cod(x) = xe mod n
6. Todo mundo que conhece a chave pública pode codificar mensagens
usando esta chave.
7. Chave privada = número d que permite decodificar cod(x) e reobter x
(xe)d
8. A chave privada não é facilmente obtida por quem desconhece os
números p e q. Só é conhecida do dono da chave pública.
9. d = inverso de e mod (p-1)(q-1), isto é d.e = 1 mod (p-1)(q-1)
Chave privada d realmente
decodifica !
• (xe)d = x para todo x entre 0 e N-1 ???
• Como ed = 1 mod(p-1)(q-1), então
ed = 1 + k(p-1)(q-1)
Logo xed – x = x1 + k(p-1)(q-1) – x = 0 mod p
xed – x = x 1 + k(p-1)(q-1) - x = x.(x(p-1))k(q-1) – x = 0 mod p
xed – x é divisivel por p pois xp-1 = 1 mod p
Logo p divide xed – x
Analogamente, podemos mostrar que q divide xed – x
Logo N = p.q divide xed – x e portanto xed – x = 0 mod N .
Como decodificar ?
• Conhecendo a chave privada d
• Sem conhecer a chave privada, como
fazer ?
– Advinhar p, q e construir a chave privada
– Advinhar p, q corresponde a fatorar N em
fatores primos: problema intratável, muito
dificil, NP-hard.
Que algoritmos faltam para
implementar o RSA ?
1. Gera dois números primos grandes p,q de n bits
2. N = p.q
3. N1 = (p-1).(q-1)
4. Considera um número e < N tal que mdc(e,N1) = 1
5. Chave pública = (e,N) permite codificar mensagens x
cod(x) = xe mod n
6. Todo mundo que conhece a chave pública pode codificar
mensagens usando esta chave.
7. Chave privada = número d que permite decodificar cod(x) e
reobter x
(xe)d
8. A chave privada não é facilmente obtida por quem desconhece os
números p e q. Só é conhecida do dono da chave pública.
9. d = inverso de e mod (p-1)(q-1), isto é d.e = 1 mod (p-1)(q-1)
Números Primos são úteis em
Criptografia
•
Algoritmo RSA para criptografar e descriptografar mensagens.
1. Gera dois números primos grandes p,q de n bits
2. N = p.q
3. N1 = (p-1).(q-1)
4. Considera um número e < N tal que mdc(e,N1) = 1
5. Chave pública = (e,N) permite codificar mensagens x
cod(x) = xe mod n
6. Todo mundo que conhece a chave pública pode codificar mensagens
usando esta chave.
7. Chave privada = número d que permite decodificar cod(x) e reobter x
(xe)d
8. A chave privada não é facilmente obtida por quem desconhece os
números p e q. Só é conhecida do dono da chave pública.
9. d = inverso de e mod (p-1)(q-1), isto é d.e = 1 mod (p-1)(q-1)
Exponencial modular
Complexidade = O(n3) se y tem n bits também
Exemplo
• Ver planilha de cálculos
Como encontrar o inverso de um
número mod n ?
• Através do algoritmo estendido de
Euclides para calcular o mdc entre dois
números.
Algoritmo de Euclides para
mdc(a,b)
• Input: a,b inteiros de n
bits, a ≥ b ≥ 0
• Output : mdc(a,b)
Quantas chamadas são necessárias
para obter a mod b = 0 ?
A PROVAR : Se a ≥ b então a mod b < a/2
Logo número de chamadas recursivas = 2n
(número de chamadas até alcançar o caso base b = 0)
cada chamada recursiva envolve uma operação de divisão O(n2)
Complexidade = O(n3)
Por que ?
Se a ≥ b então a mod b < a/2 ?
Caso 1: b ≤ a/2
Caso 2: b > a/2
Algoritmo estendido de Euclides
• Retorna d = mcd (a,b) e x, y tais que
d = x.a + y.b
• Se d = 1 então x = inverso de a mod b