4 - DCC/UFRJ

NÚMEROS INTEIROS E CRIPTOGRAFIA – UFRJ
LISTA 4: O TEOREMA DE FERMAT E APLICAÇÕES
1. Resolva as questões 5, 6 e 7 da página 85 e 6, 7, 8, 9, 10 e 11 da página 101
do livro-texto
2. Sabendo-se que 97 é um número primo e que todos os elementos diferentes de
0 de Z97 são potências de 5, determine:
(a) a ordem de 5 em Z97 ;
(b) um elemento de ordem 5 em Z97 ;
(c) o resto da divisão de 51185123 por 97.
3. Sabendo-se apenas que p > 2100! é primo, determine o resto da divisão de
(a) 1p−1 + 2p−1 + · · · + (p − 1)p−1 por p;
(b) 2p! − 1 por 2p+1 − 1.
De que maneira estes restos dependem de p?
4. Determine todos os primos positivos p para os quais a equação
2x + xp + xp! ≡ 1
(mod p)
tem solução x 6≡ 0 (mod p).
5. Seja n um inteiro positivo. Calcule o resto da divisão do número 411236n − 24n
por 53. De que maneira o resto depende de n?
6. Ache p, sabendo-se que p > 1 é um primo e que 32p + 2p−1 + 1 ≡ 0 (mod p).
7. Determine as soluções da equação x17 ≡ 1 (mod 43).
8. Determine os elementos de Z17 que têm ordem igual a 16 e use isto para
resolver a equação 7x ≡ 6 (mod 17).
9. Use o método explicado em sala para achar fatores primos dos números de
Mersenne M (29) e M (83) e para mostrar que M (7) é primo.
10. Seja p > 2 um primo. Sabe-se que o máximo divisor comum entre 2p − 1 e
1000! é o número primo 431. Determine p.
11. Seja p 6= 2 um número primo e n = 10p − 1. Seja q > 3 um fator primo de n.
1
2
LISTA 4: O TEOREMA DE FERMAT E APLICAÇÕES
(a) Calcule a ordem de 10 em U (q).
(b) Mostre que q tem que ser da forma q = 2pk + 1, em que k ≥ 1 é um
inteiro.
(c) Use a fórmula em (2) para achar todos os fatores primos de
11111 = (105 − 1)/9.