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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
PROJETO PIBEG
Unidade 
Zeros de funções reais
0011 0010
1
452
Sumário:
0011 0010
1 – Introdução
1.1 – Isolamento das raízes
1.2 – Refinamento
2 – Método da Bisseção
2.1 – Interpretação Geométrica
2.2 – Algoritmo
2.3 – Estimativa do Número de Iterações
2.4 – Estudo da Convergência
3 – Método do Ponto Fixo
3.1 – Interpretação Geométrica
3.2 – Estudo da convergência do MPF
3.3 – Algoritmo
3.4 – Ordem de convergência do MPF
4 – Método de Newton - Raphson
4.1 – Interpretação Geométrica
4.2 – Estudo da convergência do MNR
4.3 – Algoritmo
4.4 – Ordem de convergência do MNR
1
452
1 – Introdução
0011 0010
1
452
 Em muitos problemas de Ciência e Engenharia há a necessidade de
se determinar um número r para o qual uma função f (x) seja zero,
ou seja, f (r)=0.
 Este número é chamado zero ou raiz da função f (x) e pode ser real
ou complexo. Em nossos estudos r representará uma raiz real.
 Graficamente, os zeros reais são representados pelos pontos de
interseção da curva com o eixo Ox, conforme figura abaixo:
f(x)
r1
0011 0010
r2
r3
x
1
452
 O objetivo desta unidade é o estudo de métodos numéricos
para a resolução de equações não-lineares, as quais não possuem
solução analítica.
Exemplo: f ( x)  e x  sen( x)
 A idéia central destes métodos é partir de uma aproximação
inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através
de um processo iterativo do tipo:
dado x0

xi  F ( xi 1 ),
i  1,..., n
 F(x) é chamada função de iteração.
0011 0010
1
452
 Portanto, o processo iterativo pode ser dividido em duas
fases:
Fase I - Localização ou isolamento das raízes:
Consiste em obter um intervalo [a,b] que contém uma única raiz;
Fase II - Refinamento:
Consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo
[a,b], melhorá-las sucessivamente até se obter uma
aproximação para a raiz dentro de uma precisão  prefixada.
0011 0010
1
452
1.1 – Fase I: Isolamento das raízes
Nesta fase é feita uma análise gráfica e teórica da função.
A precisão desta análise é o pré-requisito para o sucesso da fase II.
1.1.1 - Análise Gráfica
Esta análise pode ser feita através de um dos seguintes processos:
i) Esboçar o gráfico da função f (x) e localizar as abscissas

dos pontos de interseção da curva com o eixo ox ;
Exemplo: f ( x)  x  9 x  3
3
40
30
r1  [4,3]
r2  [0,1]
r3  [2,3]
20
10
0
r1
r3
r2
-10
-20
0011 0010
-30
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
1
452
4
ii) A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente
g(x) = h(x), esboçar os gráficos g(x) e h(x) no mesmo eixo
cartesiano e localizar os pontos x de interseção das duas curvas,
pois f (r )  0  g (r )  h(r ).
Exemplo: f ( x)  e x  x  0
8
Resolução:
7
6
x  e x
g ( x)  e  x
h( x )  x
5
h(x)
4
3
2
1
 r  [0,1]
r
-1
-2
-2
0011 0010
g(x)
0
-1
0
1
2
3
4
1
452
1.1.2 – Análise Teórica
Nesta análise usamos freqüentemente o teorema de Bolzano:
“Seja uma função contínua no intervalo [a, b]. Se f (a) f (b) < 0,
então existe pelo menos um ponto x = r entre a e b que é zero de f (x)”
f(x)
Graficamente:
r2
a
r3
r1
b
x
f(x)
r2
a
0011 0010
r1
b
x
1
452
 Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar
o sinal em [a, b], então existe uma única raiz neste intervalo.
Graficamente:
f(x)
f(x)
a
b
b
f ' ( x)  0,  x  [a, b]
0011 0010
x
a
f ' ( x)  0,  x  [a, b]
x
1
452
 Podemos aplicar este teorema atribuindo valores para x e analisar
o sinal de f (x).
3
Exemplo: f(x) = x  9 x  3
x
f(x)
-10 -5
-
-
-3
-1
0
1
2
3
4
+
+
+
-
-
+
+
- Analisando a mudança de sinal podemos concluir que existe pelo
menos uma raiz dentro dos intervalos indicados.
- Derivando a função descobrimos que f ' ( x)  3x 2  9 conserva o sinal
em cada um dos intervalos, portanto cada raiz é única no intervalo.
0011 0010
1
452
 Observação
Se f (a) f (b) > 0 então pode existir ou não raízes no intervalo [a,b].
f(x)
Graficamente:
a
f(x)
0011 0010
x
f(x)
r1
a
b
r2
b
x
a
r1
b
1
452
x
1.2 – Fase II: Refinamento
 Esta fase consiste em aproximarmos uma raiz r dentro do
intervalo [a, b] através de um método iterativo.
 Um método iterativo é uma seqüência de instruções que são
executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em
ciclos, cada ciclo recebe o nome de iteração.
 Estas iteração utilizam valores obtidos em iterações anteriores
para encontrar uma nova aproximação para a raiz.
Estes métodos fornecem uma aproximação para a raiz exata.
1.2.1 – Critérios de parada
1
452
 Durante a aplicação de uma método para determinar-se uma raiz,
necessitamos que uma certa condição seja satisfeita para
estabelecer se o valor de xi está suficientemente próximo de r.
0011 0010
 O valor de xi é raiz aproximada com precisão  se:
i) | xi  r | 
ii) | f ( xi ) | 
 Nem sempre é possível ter as duas exigências satisfeitas
simultaneamente, analisemos os casos abaixo:
f(x)
| f ( xi ) | 
| xi  r | 
f(x)
| xi  r | 
| f ( xi ) | 
r
r
xi
0011 0010
x
xi
x
1
452
 Como não conhecemos o valor da raiz r para aplicar o teste
i) |xi – r| < , usamos freqüentemente os conceitos de erro
absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada.
a) Erro absoluto:
| xi  xi 1 | 
b) Erro relativo:
xi  xi 1

xi
0011 0010
1
452
2 – Método da Bisseção
0011 0010
1
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 Condições para aplicação:
-A função deve ser contínua no intervalo [a, b], onde
contém pelo menos uma raiz, ou seja, f (a) f (b) < 0.
-Caso o intervalo contenha duas ou mais raízes, o método
encontrará uma delas.
 O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo
inicial que contém a raiz até que seu comprimento seja
menor que a precisão desejada, usando para isso sucessivas
divisões de [a, b] ao meio.
0011 0010
1
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2.1 – Interpretação Geométrica
f(x)
a10
ax21
ax32
r
x3210
b
b0
x
Iteração 3:
2:
1:
x102 = (a102 + b102)
2
f (x210) <> 0
0011 0010

a321 = xa210
b132 = xb021
r  [a132 , b132]
1
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2.2 – Algoritmo
Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) f (b) < 0.
1) Dados iniciais:
a) intervalo inicial [a, b];
b) precisão 
2) Se (b – a) < , então escolha para r  x  [a, b]. FIM.
3) k = 1
ab
2
5) Se f (a) f ( xk )  0 , faça a  xk . Vá para o passo 7
4) xk 
6) b  xk .
7) Se (a – b) < , escolha para r  x  [a, b]. FIM.
8) k = k +1. Volte ao passo 4.
0011 0010
1
452
2.3 - Estimativa do número de iterações
Dada uma precisão  e um intervalo [a, b], vamos determinar quantas
iterações k serão efetuadas pelo método da Bisseção até que
bk – ak < . Sendo k um número inteiro.
a0
b0
a1
b1
a2
b2
a3 b3

b0  a0
2

b1  a1 b0  a0

2
22

 
0011 0010
b2  a2
2
b0  a0
2k

b0  a0
23
1
452
Deve-se obter o valor de k tal que bk  ak   , ou seja:
b0  a0

k
2
 2 
k
b0  a0


 b0  a0 
k log 2  log 

  
log( b0  a0 )  log 
k
, k 
log 2
0011 0010
1
452
2.4 - Estudo da convergência da Bisseção:
Seja f (x) uma função contínua em [a, b], onde f (a) f (b) < 0.
 O método da bisseção gera três seqüências:
{ak } : não-decrescente e limitada superiormente por b0
tal que: lim ak  t
k 
{bk } : não-crescente e limitada inferiormente por a0
tal que: lim bk  s
  t  IR
  s  IR
k 
ak  bk
 ak  xk  bk , k
{xk } : por construção temos que xk 
2
 A amplitude de cada intervalo gerado é a metade da amplitude do
anterior, assim temos:
b0  a0
bk  ak 
2k
0011 0010
1
452
Aplicando o limite temos:
b0  a0
0
k
k 
k 
2
lim bk  lim ak  0  lim bk  lim ak Então t = s
k 
k 
k 
k 
lim (bk  ak )  lim
 Seja  = t = s o limite das duas seqüências, aplicando o limite
na seqüência xk temos que:
ak  bk   
lim xk  lim


k 
k 
2
2
 Resta provarmos que
 é zero da função, ou seja, f ( ) = 0.
Em cada iteração k temos que f (ak ) f (bk )  0 , então:
0  lim f ( ak ) f (bk )  lim f (ak ) lim f (bk )
k 
k 
k 
0  f ( lim ak ) f ( lim bk )  f (t ) f ( s )  [ f ()]2
k 
k 
0  [ f ()]2  0  f ()  0
0011 0010
1
452
3 – Método da Iteração Linear
(Método do Ponto Fixo)
0011 0010
1
452
 Seja f (x) uma função contínua em [a, b], intervalo que contém
uma raiz r da equação f (x) = 0.
 O Método da Iteração Linear (MIL ou MPF) consiste em
transformar f (x) = 0 em uma equação equivalente x = (x), onde
(x) é uma função de iteração.
 A partir de uma aproximação inicial x0 gerar uma seqüência
{. xk } de aproximações sucessivas através do processo iterativo
dado por:
xi   ( xi 1 ), i  1, 2, 
0011 0010
1
452
3.1 - Interpretação Geométrica
Graficamente, uma raiz da equação x = (x) é a abcissa do ponto
de intersecção da reta y = x e da curva y = (x)
f(x)
yx
y   (x)
r x2
0011 0010
x1
x0
x
1
452
Exemplo: Encontre uma função de iteração (x) para a seguinte
equação x3  x  6  0.
Existem várias funções de iteração para esta equação, por
exemplo:
dado x0  1.5
36  x 3
a)

(
x
)

1 1 6  x
2 
3
6 x
xb)
 6 16
.5 x 2.625
1 
2
x2  6  26.6253  12.088
x1 
3
6  1.5  1.651
x2 
3
6  1.651  1.632
x3 
3
6  1.632  1.635

6 1
d)  4  2 
não converge
x
x

3
3
c)  
3
x3 36 x(212
.
088
)
 1772.3
1
e) 
0011 0010
converge
1
452
 Analisemos alguns casos de função de iteração:
( x )
f(x)
x0
x1 x2
 (x )
f(x)
x2
x
Converge
x0
x1
Converge
 (x )
f(x)
f(x)
 (x )
x2
0011 0010
x
x1 x0
Não Converge
x
x2 x0
x1
1
452
Não Converge
x
3.2 – Estudo da Convergência do MIL
 Para que o MIL forneça uma solução da equação f (x) = 0 é
necessário que a seqüência gerada {xk }, dada por xk 1   ( xk ) ,
seja convergente.
 A convergência será dada pelo seguinte teorema:
Teorema 2:
Seja r uma raiz da equação f (x) = 0, isolada num intervalo I
centrado em r. Seja (x) uma função de iteração para a equação
f (x) = 0. Se:
i)  (x ) e  ' ( x ) são contínuas em I
ii) |  ' ( x) | M  1,  x  I
iii) x0  I
então a seqüência {xk } gerada converge para a raiz r.
0011 0010
1
452
 Demonstração
1) Provemos que se x0  I , então xk  I ,  k :
r é uma raiz exata da equação f (x) = 0.
Assim, f (r )  0  r   (r ) e,
para qualquer k, temos: xk 1   ( xk )
 xk 1  r   ( xk )   (r ) (1)
(x) é contínua e diferenciável em I, então, pelo Teorema do Valor
Médio, se xk  I , existe ck entre x k e r tal que:
 ' (ck )( xk  r )   ( xk )   (r ) (2)
Portanto, comparando (1) e (2), resulta
(xk 1  r    ' (ck ) ( xk  r )
0011 0010
1
452
Então,  k ,
| xk 1  r | |  ' (ck ) | | xk  r |  | xk  r |



1
ou seja, a distância entre xk 1 e r é estritamente menor que a
distância entre x k e r e, como I está centrado em r, temos que se
.xk  I , então xk 1  I .
Por hipótese, x0  I , então xk  I ,  k .
2) Provemos que lim xk  r :
k 
De (1) , segue que:
| x1  r | |  ' (c0 ) | | x0  r |  M | x0  r |



M
0011 0010
( c0 está entre x0 e r )
1
452

| x2  r | |  ' (c1 ) | | x1  r |  M | x1  r |  M 2 | x0  r |

M
( c1 está entre x1 e r )
| xk  r |  |  ' (ck 1 ) | | xk 1  r |  M | xk 1  r |    M k | x0  r |


M
( ck está entre x k e r )
Então,
lim | xk  r |  lim M k | x0  r | 0
k 
k 
pois 0 < M < 1.
Assim,
lim | xk  r | 0  lim xk  r.
k 
0011 0010
k 
1
452
3.3 – Algoritmo do MIL
Considere a equação f (x) = 0 e a equação equivalente x = (x)
1) Dados iniciais:
a) x0 : aproximação inicial;
b)  1 e  2 : precisões.
2) Se | f ( x0 ) | 1 , faça r  x0 . FIM.
3) i = 1
4) x1  ( x0 )

então faça r  x1. FIM.

ou se | x1  x0 |  2 
6) x0  x1
5) Se | f ( x1 ) | 1
0011 0010
7) i = i +1. Volte ao passo 4.
1
452
3.4 – Ordem de convergência do MIL
Definição: Seja {xk } uma seqüência que converge para um número
r e seja ek  xk  r o erro na iteração k.
Se existir um número p > 1 e uma constante C > 0, tais que
| ek 1 |
C
p
k  | e |
k
lim
(2)
então p é chamada de ordem de convergência da seqüência {xk } e
C é a constante assintótica de erro.
Uma vez obtida a ordem de convergência p de um método
iterativo, ela nos dá uma informação sobre a rapidez de
convergência do processo.
De (2) podemos escrever:
0011 0010
| ek 1 |  C | ek | p para k  
1
452
 Provaremos que o MIL tem convergência apenas linear.
Conforme foi demonstrado, temos que:
xk 1  r   ' (ck )( xk  r )
xk 1  r

  ' ( ck )
xk  r
Tomando o limite quando k  
x r
lim k 1
 lim  ' (ck )   ' ( lim (ck ))   ' (r )
k  x  r
k 
k 
k
Portanto,
ek 1
  ' (r )  C e | C |  1
k  e
k
lim
1
452
Então para grandes valores de k o erro em qualquer iteração é
proporcional ao erro na iteração anterior, sendo ’(r ) o fator de
proporcionalidade.
0011 0010
4 – Método de
Newton - Raphson
0011 0010
1
452
 No estudo do método do ponto fixo, vimos que:
i) uma das condições de convergência é que |  ' ( x) | M  1,  x  I ,
onde I contém a raiz r;
ii) a convergência do método será mais rápida quanto menor for
|’(r)|.
 Com a finalidade de acelerar e garantir a convergência, o MNR
procura uma função de iteração (x) tal que ’(r) = 0.
 Partindo da forma geral para (x), iremos obter a função A(x)
tal que ’(r) = 0.
 ( x)  x  A( x) f ( x)
  ' ( x)  1  A' ( x) f ( x)  A( x) f ' ( x)
  ' (r )  1  A' (r ) f (r )  A(r ) f ' (r )
0011 0010
  ' (r )  1  A(r ) f ' (r )
1
452
Assim,  ' (r )  0  1  A(r ) f ' (r )  0  A(r ) 
donde tomamos A( x)  
1
f ' (r )
1
(desde que f ' (r )  0).
f ' ( x)
 Então, dada f (x), a função de iteração representada por
f ( x)
 ( x)  x 
f ' ( x)
será tal que ’(r) = 0, pois como podemos verificar:
[ f ' ( x)]2  f ( x) f ' ' ( x) f ( x) f ' ' ( x)
 ' ( x)  1 

2
[ f ' ( x)]
[ f ' ( x)]2
 ' (r ) 
0011 0010
f (r ) f ' ' (r )
0
2
[ f ' (r )]
1
452
4.1 – Interpretação Geométrica
 Dado o ponto ( xi , f ( xi )) traçamos a reta Li (x) tangente à curva
neste ponto, dado por Li ( x)  f ( xi )  f ' ( xi )( x  xi )
f(x)
f (x)
L1
x0
L0
r
x2
0011 0010
x1
x
1
452
4.2 – Estudo da Convergência do MNR
Teorema 3:
Sejam f (x), f’(x), f’’(x) contínuas num intervalo I que contém
a raiz x = r de f (x) = 0. Suponha que f’(r)  0.
Então, existe um intervalo I  I , contendo a raiz r, tal que se
.x0  I , a função de iteração
f ( xk )
xk 1  xk 
convergirá para a raiz.
f ' ( xk )
 Demonstração
Devemos provar que as hipóteses do Teorema 2 estão satisfeitas
para
 ( x)  x 
0011 0010
f ( x)
f ' ( x)
1
452
i) Afirmação: (x) e ’(x) são contínuas em I1.
f ( x)
Temos:  ( x)  x 
f ' ( x)
e
f ( x) f ' ' ( x)
 ' ( x) 
[ f ' ( x)]2
Por hipótese, f ’(r)  0 e, como f ’(x) é contínua em I, é possível
obter I1  I tal que f ’(x)  0,  x  I1.
Assim, no intervalo I1  I, tem-se que f (x), f ’(x) e f ’’(x) são
contínuas e f ’(x)  0. Então (x) e ’(x) são contínuas em I1.
ii) Afirmação: |’(x)| < 1,  x  I 2
Como ’(x) é contínua em I1 e ’(r) = 0, é possível escolher
I 2  I tal que |’(x)| < 1, x  I 2 de forma que r seja seu centro.
Concluindo, conseguimos obter um intervalo I 2  I ,
centrado em r, tal que (x) e ’(x) sejam contínuas em I 2
e |’(x)| < 1,  x  I 2 .
0011 0010
1
452
4.3 – Algoritmo do MNR
Seja f (x) = 0.
1) Dados iniciais:
a) x0 : aproximação inicial;
b) 1 e  2 : precisões
2) Se | f ( x0 ) | 1 , faça r  x0 .FIM
3) k = 1
4)
x1  x0 
f ( x0 )
f ' ( x0 )
5) Se | f ( x1 ) | 1 
faça r  x1. FIM

ou se | x1  x0 |  2 
6) x0  x1
7) k = k + 1
Volte ao passo 4.
0011 0010
1
452
4.4 – Ordem de Convergência do MNR
Seja a função de iteração (x) desenvolvida em série de Taylor,
em torno de x = r:
 ( x)   ( r ) 
 ' (r ) ( x  r )
  ' (r )  0

mas,   (r )  r
x   ( x )
i 1
 i
1!

 " ( ) ( x  r ) 2
2!
,   [ x,r ]
Generalizando para xi 1 , resulta:
 ( xi 1 )  r 
ou,
lim
i 
" (i 1 ) ( xi 1  r ) 2
2!
" (i 1 )
xi  r 
( xi 1  r ) 2
2
 " (i 1 )
ei
ei 1
0011 0010
2
 lim
i 
2
, i 1  [ xi 1 , r ]

ei 
" (i 1 )
2
ei 1
2

1
452
se, xi 1  r
portanto

i 1  r 
" (i 1 )
" (r )

C
2
2
ei
lim
C
i  e 2
i 1
Assim para i suficientemente grande pode-se escrever:
ei
 C ei21
ou seja, o erro da iteração do MNR é proporcional ao
quadrado do erro da iteração anterior. Por isso, diz-se que a
convergência é quadrática, ou seja, p = 2.
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1
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