Dinâmica II

 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS COORDENAÇÃO DO CURSO LICENCIATURA EM FÍSICA -­‐MODALIDADE A DISTÂNCIA-­‐ Mecânica Clássica (Notas de Aula) MÓDULO 5 (Dinâmica 2) 2015 Continuando com aplicações das leis de Newton para o movimento de uma partícula, por meio da equação do movimento. Nesse caso, nos limitaremos a trabalhar em coordenadas cartesianas, devido a praticidade que esta coordenada apresenta diante dos problemas propostos. 1. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO Considerando a segunda lei de newton 𝐅=
𝑑 𝑚𝐯
= 𝑚𝐯 = 𝑚𝐫 (1) 𝑑𝑡
admitindo que a massa não varie no tempo, a partir desta equação, podemos calcular a posição 𝐫(𝑡) e a velocidade 𝐯(𝑡), a partir de F. Trata-­‐se de uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais de 𝐫 e 𝐫. A força F é apresentada por uma combinação das três grandezas F(r,v,t), o que nos da ampla possibilidades de aplicações em situações físicas. FORÇAS DE RETARDO ou MOVIMENTO EM UM MEIO RESITENTE1 Na prática, um objeto sofre a ação de seu peso e também de outras forças. Uma classe importante de forças são aquelas que tendem a se opor ao movimento de um objeto. Tais forças, que aparecem devido o movimento ser realizado em um meio como o ar ou a água, são, geralmente, chamadas de forças resistivas 𝐅! , amortecedoras ou dissipativas e o meio correspondente é dito ser um meio resistivo, amortecedor ou dissipativo. É visto experimentalmente que, para baixas velocidades, a força resistiva é em magnitude proporcional à velocidade. Em outros casos, ela pode ser proporcional ao quadrado (ou alguma outra potência) da velocidade. 1 SPIEGEL, MURRAY R., Mecânica Racional, Ed. MacGraw-­‐Hill, 1976, São Paulo. 2 RESISTÊNCIA NO AR Considere um corpo em queda livre, a partir de uma altura h com velocidade inicial 𝑣! de modo que sofra uma resistência do ar por meio da força resistiva 𝐅! ou de arrasto (figura 1), dada por 𝐅! = −𝑏𝐯 (2) onde b é uma constante responsável pela intensidade da força de arrasto. 𝐅! Força de Arrasto h 𝐏 Força Peso Sentido do Movimento Z Figura 1: Corpo em queda livre sujeito a uma força de arrasto. Logo, a equação do movimento será 𝐅 + 𝐏 = 𝐅! (3) 𝑚𝑎 = 𝑚𝑣 = −𝑚𝑔 − 𝑏𝑣 (4) 𝑚
𝑑𝑣
= −𝑚𝑔 − 𝑏𝑣 (5) 𝑑𝑡
arrumando a equação e admitindo 𝑘 = 𝑏/𝑚 𝑑𝑣
= −𝑑𝑡 (6) 𝑔 + 𝑘𝑣
3 !
𝑑𝑣
=−
!! 𝑔 + 𝑘𝑣
!
𝑑𝑡 (7) !
resolvendo a integral para 𝑣! quando t = 0 e calculando o valor de v 𝑣 𝑡 =−
𝑔 𝑘𝑣! + 𝑔 !!!
+
𝑒 (8) 𝑘
𝑘
e de forma semelhante, na condição 𝑧 = ℎ para 𝑡 = 0, chega-­‐se ao valor de 𝑧(𝑡) 𝑧 𝑡 =ℎ−
𝑔𝑡 𝑘𝑣! + 𝑔
+
1 − 𝑒 !!! (9) !
𝑘
𝑘
MOVIMENTO HORIZONTAL Considere um partícula que parte da origem com velocidade inicial 𝑣! em 𝑡 = 0. Movendo-­‐se horizontalmente numa trajetória retilínea, com uma única força atuante 𝐅! , fazendo com que a partícula tenda a perder velocidade. v 𝐅! Figura 2: Movimento horizontal de uma partícula sujeito a uma força de arrasto. A força de arrasto é dada por 𝐅! = −𝑘𝑚𝐯 (10) onde k é constante e m a massa da partícula. Logo, a equação do movimento será 𝐅 = 𝐅! (11) 4 𝑚𝑎 = 𝑚
𝑑𝑣
= −𝑘𝑚𝑣 (12) 𝑑𝑡
!
𝑑𝑣
= −𝑘
!! 𝑣
!
𝑑𝑡 (13) !
𝑣 𝑡 = 𝑣! 𝑒 !!! (14) Podemos integrar esta equação e encontrar 𝑥 (𝑡), quando 𝑥 (𝑡 = 0) = 0 𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
!
𝑥 𝑡 = 𝑣!
𝑒 !!! 𝑑𝑡 (15) !
𝑥 𝑡 =
𝑣!
1 − 𝑒 !!! (16) 𝑘
ou ainda, calcular a velocidade em função do deslocamento. Foi visto, no módulo de cinemática, que 𝑎=
𝑑𝑣
𝑑𝑣
= 𝑣 𝑑𝑡
𝑑𝑥
logo 𝑑𝑣 1 𝑑𝑣
=
(17) 𝑑𝑥 𝑣 𝑑𝑡
substituindo (14) em (17) 𝑑𝑣
= −𝑘 (18) 𝑑𝑥
5 e integrando !
!
𝑑𝑣 = −𝑘
!!
𝑑𝑥 !
𝑣 = 𝑣! − 𝑘𝑥 (19) 6 EXERCÍCIOS 1. Uma partícula de massa m move-­‐se em uma linha reta, sob a ação de uma força resistiva constante de módulo F. Se ela parte do repouso com velocidade em módulo 𝑣! , (a) quanto tempo ela leva para alcançar o repouso e (b) qual será a distância percorrida neste tempo? Resp. (a) 𝑚/𝑣! 𝐹 , (b) 𝑚𝑣!! /2𝐹 2. Um corpo de massa m está percorrendo o eixo x tal que em 𝑡 = 0 ela está localizada em 𝑥 = 0 e tem velocidade 𝑣! . A partícula sofre a ação de uma força que se opõe ao movimento e tem magnitude 𝑓 = −𝛽𝑣 ! Ache (a) a velocidade em módulo, (b) a posição e (c) a aceleração da partícula em um instante qualquer t > 0. Resp. (a) 𝑣 = 𝑚𝑣! /(𝛽𝑣! 𝑡 + 𝑚) !
(b) 𝑥 = 𝑙𝑛 1 + 𝛽𝑣! 𝑡/𝑚 !
(c) 𝑎 = −𝛽𝑚𝑣!! /( 𝛽𝑣! 𝑡 + 𝑚)! 3. Uma massa m move-­‐se ao longo de uma linha reta, sob a influência de uma força constante F. Admitindo que haja uma força resistente numericamente igual a 𝑘𝑣 ! onde 𝑣 é a velocidade instantânea em módulo e k é uma constante, prove que a distância percorrida, ao ir da velocidade 𝑣! para 𝑣! , é 𝑚
𝐹 − 𝑘𝑣!!
𝑙𝑛
2𝑘
𝐹 − 𝑘𝑣!!
4. Um barco com velocidade inicial 𝑣! é empurrado em um lago. Ele tem sua velocidade reduzida pela água por uma força 𝐹 = −𝛼𝑒 !" . (a) Determine a expressão para a velocidade 𝑣 (𝑡). (b) O tempo atingido pelo barco até parar. !
Resp. (a) 𝑣 𝑡 = − ! 𝑙𝑛
!"
!
!
𝑡 + 𝑒 !!!! (b) 𝑡 = !! 1 − 𝑒 !!!! 7 BIBLIOGRAFIA 1. TAYLOR, JOHN R., Mecânica Clássica, Ed. Bookman, 2013, Porto Alegre. 2. GIACOMETTI, JOSÉ ALBERTO, Mecânica Clássica – Uma Abordagem para Licenciatura, , Ed. LF, 2015, São Paulo. 3. NETO, JOÃO BARCELOS, Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana, Ed. LF, 2013, São Paulo. 4. MARION, JERRY B., THORNTON, STEPHEN T., Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas, Ed. Cengage Learning, 2011, São Paulo. 5. SHAPIRO, ILYA L., PEIXOTO, GUILHERME B., Introdução à Mecânica Clássica, Ed. LF, 2010, São Paulo. 6. LUIZ, ADIR M., Física – Mecânica vol. I , Ed. LF, 2006, São Paulo. 7. SYMON, KEITH R., Mecânica, Ed. Campos, 1986, Rio de Janeiro. 8. SPIEGEL, MURRAY R., Mecânica Racional, Ed. MacGraw-­‐Hill, 1976, São Paulo. 8