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Propriedades dos Fluidos
Medida da viscosidade pelo Método de Stokes
- Velocidade terminal
- Balanço de forças em uma partícula
- Coeficiente de arrasto (Cd)
- Reynolds da Partícula
- Lei de Stokes
A resistência ao deslocamento relativo de
partículas está relacionada com uma
propriedade
intensiva
da
matéria
denominada viscosidade (Brown, 2005)
A razão entre as massas dessas partículas
e os volumes que ocupam define outra
propriedade
intensiva
denominada
densidade (Rossi et al., 2008)
Velocidade Terminal: definição
Máxima velocidade que as partículas
podem alcançar e depende da
densidade, tamanho e forma da
partícula, além das propriedades do
fluido e do campo.
aceleração
Velocidade
constante
(terminal)
Que forças atuando sobre uma partícula sólida em
movimento em um fluido (líquido ou gás)?
As forças de campo, de empuxo e de arrasto
Força de campo gravitacional:
Resistência
Fa
Fe
Fc  me .g  e Ve g
Fc
Força de empuxo:
Movimento da
partícula
Fe  m fdeslocadog   f V fdeslocado g   f Ve g
Força de arrasto (atrito):
1
Fa   f A Cd (vt ) 2
2
Força resultante
(v f  v p )  vt
Fr  me aresultante  Fc  Fa  Fe
m p aresultante  Fc  Fa  Fe
mp aresult.  ( e Ve g )  1 2  f
A Cd (vt )  (  f Ve g )
2
me  massa da partícula
a  aceleração
g  aceleração gravitacio nal
 f  densidade do fluido
Ac  área " caracterís tica" da partícula
Cd  coeficient e de arrasto
vt  velocidade relativa da partícula
 e  densidade da partícula
Ve  volume da partícula
[1]
Possibilidades para a velocidade relativa de uma partícula
em uma corrente de fluido sob ação de um campo
gravitacional:
Velocidade da partícula (+)
Velocidade do fluido (+)

g
e   f
vf = 0
vp = 0
vf = 0
vp = 0
(a)
(a)
(b)
(c)
 v f  v p  v f  (v p )  v f  v p
(c) vR
 v f  v p  v f  (v p )  v f  v p
(e)
(e)
vR  v f  v p  (v p )  vt
(b) vR
(d)
(d)
vR  v f  v p  v f  v p
vR  v f  v p  v f
vf = velocidade do fluido
+
-
vp = velocidade partícula
+
-
Consideremos uma partícula isolada, sob ação de força
gravitacional e em movimento uniforme (sem aceleração). Do
balanço de forças [1], tem-se:
me aresult.  ( e Ve g )  1 2  f A Cd (vt )  (  f Ve g )
2
Como não há aceleração da partícula, tem-se:
aresult.  0
24
2
0  1 2  f A (vt )  ( e   f )Ve g
Re
Rearranjando tem-se:
2R ( e   f ) g
[1]
AeV
Baixos Re
2

9 t
[2]
Como calcular Vt?
Calculo de Vp e Ac:
A área característica é a área projetada. Quando a partícula
é esférica, tem-se:
Partícula esférica
Ac 

4
D2
[3]
Área projetada de uma esfera
Área projetada
Fluxo
Vp 

6
( D)
3
Volume de uma esfera
[4]
O coeficiente de arrasto (Cd) é função do número de
Reynolds da Partícula:
Cd  f (Re)
Regime Laminar
(Eq. de Stokes)
Regime
Intermediário
, onde
 f vt D
Re p 
f
Re p  0,4
0,4  Re p  500
Regime Turbulento
500  Re p  2 x 105
(Eq. Newton)
Regime Alta
Turbulência
Re p  2 x 105
[6]
24
Cd 
Re p
10
Cd 
Re p
Cd  0,44
Cd  0,2
Gráfico do Coeficiente de Atrito
Cd 
2 (  p   f )Vp g
Ac  f vR2
24
Regime laminar Cd 
Re p
Lei de Stokes
1000
Região camada
quase laminar
100
10
Cd 
Re
10
Região camada
turbulenta
Região alta
turbulência
Cd  0,44
Cd  0,2
1
0.1
0.1
1
10
102
103
104
Reynolds da Partícula
105
106
107
24
2
0  1 2  f A (vt )  ( e   f )Ve g
Re
Baixos Re
Rearranjando tem-se:
2R ( e   f ) g
AeV
2

9 t
[2]
Como calcular Vt?
Experimento
Glicerina
Fator de Correção de Ladenburg, K
2A
 2,4 R  3,3R 
K  1 
1 

A 
B 

B
A: Raio do Tubo
R: Raio da esfera
F  K Fa
*
a
2R ( e   f ) g
Força viscosa
corrigida
2

9
*
t
Viscosidade
corrigida