13 - Universidade da Madeira

Negação
Com os mecanismos que estudámos até agora não é possível
derivar informação negativa de um programa:
dada uma fórmula atómica chã p e um programa P, P  {p}
admite sempre um modelo (e.g. a base de Herbrand de P) e,
portanto, p não é consequência lógica de P.
Qual o interesse de derivar conclusões negativas?
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262
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Negação
Considere-se o programa
rei(joaoII) 
rei(afonsoV) 
rei(duarte) 
pai(joaoII, afonsoV) 
pai(afonsoV, duarte) 
Suponhamos que queríamos estabelecer que o rei D. Duarte não é
pai do rei D. João II.
A fórmula pai(joaoII, duarte) não é consequência lógica do
programa.
No entanto, pai(joaoII, duarte) também não é!
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263
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Negação
Hipótese (regra) do mundo fechado
(closed world assumption)
Dado um programa P e uma fórmula atómica chã p, se p não é
consequência lógica de P, podemos inferir p.
Trata-se de uma regra particularmente intuitiva no contexto de
bases de dados (colecção de factos), ou seja, assume-se que toda
a informação que não está explicitamente presente na base de
dados é falsa.
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264
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Negação
A adequação ou não desta regra tem de ser determinada para cada
aplicação.
Por exemplo, aplicando a regra podemos inferir tanto rei(mario)
como rei(joaoI). A HMF assume que o programa possui
conhecimento completo sobre o domínio.
Trata-se de uma regra não monotónica, ou seja, por adição de
novos axiomas (por exemplo rei(joaoI)), deixamos de poder derivar
certas conclusões.
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265
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Negação
Questão
Como aplicar esta regra no caso geral?
O problema de determinar se p é consequência de P não é
decidível, isto é, não existe algoritmo que tome um p arbitrário
como entrada e responda em tempo finito.
Se p não for consequência de P, podemos entrar num ciclo infinito.
Regra da Falha Finita
Dado um programa P e uma fórmula atómica chã p se a árvore
SLD para P e p é finita e só contém derivações falhadas (ramos
que terminam com ) então podemos inferir p.
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Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Negação
Um objectivo normal é uma colecção de literais (fórmulas
atómicas ou negação de fórmulas atómicas).
Se p é uma fórmula atómica chã, a chamada a (p) falha se a
chamada a p é bem sucedida, e é bem sucedida se a chamada a p
falha em tempo finito.
Vamos mostrar a árvore de execução do objectivo normal
rei(X), pai(afonsoV, X)
sobre o programa anterior
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267
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Exemplo
rei(X), pai(afonsoV, X)
 pai(afonsoV, joaoII)
 pai(afonsoV, duarte)
 pai(afonsoV, joaoII)
 pai(afonsoV, duarte)
X/joaoII
 pai(afonsoV, afonsoV)
 pai(afonsoV, joaoII)
X/afonsoV
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Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Negação
Uma cláusula normal é um par
p  q1, ..., qn
onde q1, ..., qn são literais (fórmulas atómicas ou negações de
fórmulas atómicas).
Um programa normal é um conjunto de cláusulas normais.
diferentes(X, Y)  membro(Z, X), membro(Z, Y)
diferentes(X, Y)  membro(Z, Y), membro(Z, X)
Uma regra de computação diz-se segura quando nunca selecciona
um literal negativo que não seja chão.
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Resolução SLDNF
Define-se do seguinte modo a árvore (SLD)NF para um programa P e
um objectivo G normais via uma regra de computação segura S:
a raiz é G
seja  q1, ..., qk, ..., qn um nó e suponha-se que é qk é seleccionado
por S.
se qk é um literal positivo, então o nó tem um descendente para
cada um dos objectivos deriváveis (possivelmente nenhum)
se qk é um literal negativo chão pk e existe uma árvore SLDNF
finita falhada (sem ramos bem sucedidos) para P e  pk, então o
único descendente é  q1, ..., qk-1, qk+1,..., qn
se qk é um literal negativo chão pk e existe uma refutação
SLDNF para P e  pk, então o nó não tem descendentes
o nó vazio não tem descendentes
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270
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Resolução SLDNF
A resolução SLDNF é a extensão da resolução SLD com a regra da
falha finita (SLD + Negation by Failure)
Definem-se ainda por generalização os conceitos de derivaçãoSLDNF, refutação-SDLNF e resposta derivada por uma
refutação-SLDNF.
Ramos que terminam por se ter atingido um nó que contém apenas
literais negativos dos quais nenhum é chão não correspondem a
derivações (a regra de computação não é aplicável), correspondem
a computações atoladas.
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271
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Exemplo
Qual a importância de restringir a selecção de literais negativos aos
que são chãos?
Suponhamos que enriquecíamos o programa da dinastia com:
pai_de_todos(X)  pai_normal(X)
pai_normal(X)  pai(Y,X)
(está-se a ler o predicado pai como X é pai de Y)
Qual será o comportamento do programa face ao objectivo
 pai_de_todos(afonsoV)
se a restrição de segurança for levantada?
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272
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Exemplo (cont.)
 pai_de_todos(afonsoV)
 pai_normal(afonsoV)
 pai_normal(afonsoV)
 pai(Y, afonsoV)
 pai(Y, afonsoV)
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Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Resolução SLDNF
A resposta obtida é manifestamente incorrecta: existe alguém de
quem afonsoV não é pai, i.e., existe um Y tal que pai(Y, afonsoV)
falha, nomeadamente Y = duarte, o que faz de afonsoV um pai_
normal e não pai_de_todos !
De facto a leitura intuitiva da chamada pai(Y,afonsoV) é, à
semelhança da leitura para literais positivos, “encontrar um Y tal
que pai(Y,afonsoV)”.
Assim, a cláusula
pai_normal(X)  pai(Y,X)
corresponde à fórmula pai_normal(X)  (Y)pai(Y,X)
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274
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Resolução SLDNF
Ora, a semântica procedimental é totalmente diferente. Esta
chamada falha porque a chamada pai(Y, afonsoV) é bem sucedida.
Quer dizer, a cláusula
pai_normal(X)  pai(Y,X)
está a ser interpretada como correspondendo a
pai_normal(X)  (Y)pai(Y,X)
Logo, as chamadas negativas não chãs não são coerentes com a
semântica declarativa, e podem gerar respostas incorrectas.
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275
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Resolução SLDNF
Como implementar regras de computação seguras?
A maneira mais simples de implementar a condição de segurança
num sistema Prolog é adiar as chamadas negativas até que se
encontrem instanciadas em termos chãos, e interromper a
execução quando só for possível seleccionar literais negativos não
chãos.
Mas isto é caro pois implica aceder à estrutura das chamadas.
A maioria dos sistemas não se dá a esse trabalho o que implica
programas potencialmente incorrectos e nos quais tem que ser o
programador a garantir que as chamadas negativas só são
activadas quando chãs.
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276
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Resolução SLDNF
É possível estabelecer condições sobre P e G de modo a garantir
que nenhuma computação ficará atolada.
Uma cláusula de programa C diz-se admissível se toda a variável
que ocorre em C ocorre ou na cabeça ou num literal positivo do
corpo de C.
Por exemplo, a seguinte cláusula é admissível:
diferentes(X, Y)  membro(Z, X), membro(Z, Y)
Uma cláusula de programa C diz-se permitida se toda a variável
que ocorre em C ocorre em pelo menos um literal positivo do corpo
de C.
Por exemplo a cláusula anterior não é permitida.
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Resolução SLDNF
Um objectivo G diz-se permitido se toda a variável que ocorre em
G ocorre em pelo menos um literal positivo de G.
Dizemos que um programa P é permitido para um objectivo G sse
toda a cláusula de P é admissível
todas as cláusulas que fazem parte dos procedimentos que
definem símbolos de predicado que ocorrem em literais
positivos de G são permitidas
todas as cláusulas que fazem parte dos procedimentos que
definem símbolos de predicado que ocorrem em literais
positivos no corpo de cláusulas de P são permitidas
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Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Resolução SLDNF
Se G é um objectivo permitido e P é um programa permitido para
G, nenhuma computação para P e G fica atolada.
O enriquecimento do programa dinastia com:
pai_de_todos(X)  pai_normal(X)
pai_normal(X)  pai(Y,X)
não é permitido para o objectivo  pai_de_todos(afonsoV).
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Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Resolução SLDNF
Substituindo estas cláusulas por:
pai_de_todos(X)  rei(X), pai_normal(X)
pai_normal(X)  rei(Y), pai(Y,X)
o programa fica permitido para o mesmo objectivo pois apesar de
pai_normal(X)  rei(Y), pai(Y,X)
não ser permitida, o símbolo de predicado pai_normal não ocorre
em literais positivos quer do objectivo quer do corpo das cláusulas.
Logo, as cláusulas que o definem não precisam de ser permitidas,
basta que sejam admissíveis.
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Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Resolução SLDNF
Note-se que a adição das chamadas a rei requer que se prove que
as cláusulas que definem rei são permitidas!
Neste caso, o comportamento procedimental é correcto face à
leitura declarativa das cláusulas:
pai_normal(X)  (Y)(rei(Y)  pai(Y,X))
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Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
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