7 - Universidade da Madeira

Paradigma de Programação: o que é?
A maioria das linguagens de programação são extensas e complexas e
normalmente integram várias ideias. No entanto, cada linguagem baseia-se,
usualmente, numa ideia central, ou paradigma.
Um paradigma de programação é uma abordagem à tarefa de programar:
- o que é um programa;
- como são desenhados e escritos;
- o que é que significam;
- como é que atingem os objectivos a que se propõem.
Um paradigma é uma ideia na sua forma pura; é materializada numa linguagem
através de um conjunto de construções e de metodologias que as utilizam.
As linguagens de programação podem, por vezes, combinar vários paradigmas.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
130
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Qual o objectivo de estudar vários paradigmas?
O programador sabe escolher o paradigma cuja ideia base
modele adequadamente o domínio do problema em questão.
Facilita o processo de aprendizagem de novas linguagens e a
forma de como, realmente, as utilizar.
Paradigmas de Programação
Imperativo
Orientado a Objectos
Funcional
Lógico
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
131
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Paradigma Imperativo (Manipula Memória)
comandos e procedimentos que actuam sobre o estado da
máquina
as variáveis referem directamente células de memória
um programa é um comando
Linguagens de Programação
C
Pascal
FORTRAN
Cobol
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
132
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Paradigma Orientado a Objectos (Manipula Memória)
extensão do paradigma imperativo
objectos enviam mensagens uns aos outros
o envio de mensagens actua sobre o estado da máquina
Linguagens de Programação
C++
Java
Smalltalk
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
133
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Paradigma Funcional (Não Manipula Memória - Declarativo)
teoria das funções matemáticas
funções são aplicadas aos parâmetros e retornam um valor
as variáveis são os parâmetros formais das funções
um programa é uma função
execução do programa = avaliar funções/expressões
Linguagens de Programação
Lisp
ML
Scheme
Haskell
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
134
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Paradigma Lógico (Não Manipula Memória - Declarativo)
usa lógica de predicados como linguagem de programação
um programa em lógica é formado por axiomas que indicam
alguns factos sobre o mundo
uma computação significa inferir consequências lógicas a
partir dos factos expressos no programa
as variáveis envolvidas são variáveis lógicas
Linguagens de Programação
PROLOG
Godel
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
135
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Paradigma Imperativo vs. Paradigma Declarativo
Os paradigmas imperativos requerem a produção de
programas que especifiquem COMO resolver o problema
directa ou indirectamente através da execução de
transições entre estados.
Nos paradigmas declarativos um programa deve
especificar:
ou qual é a resposta para o problema (funcional)
ou quais as relações que definem o problema (lógico)
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
136
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Exemplo
O seguinte exemplo ilustra a diferença entre o paradigma
imperativo e o paradigma declarativo.
Queremos escrever um programa que indique qual o comprimento
de uma dada lista.
Podemos dar uma especificação abstracta:
SE lista é vazia
SE lista não é vazia
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
ENTÃO comprimento = 0
ENTÃO comprimento = comprimento resto da lista + 1
137
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Exemplo (cont.)
Com o paradigma imperativo:
int length(List x)
{
int n = 0;
while(!isEmpty(x))
{
n = n + 1;
x = tail(x);
}
return n;
}
Embora este algoritmo seja razoavelmente fiel à especificação, há dois pontos
a salientar:
O uso de estado
O programa altera continuamente o estado de ‘x’ e ‘n’ para conseguir o
resultado.
Sequência
Existe uma sequência clara de passos
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
138
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Exemplo (cont.)
Com o paradigma declarativo/funcional:
int length(List x)
{
if(isEmpty(x))
return 0;
else
return length(tail(x)) + 1;
}
Declarativo significa que conseguimos obter o programa
declarando unicamente a especificação de comprimento.
Funcional significa uma função matemática pura, i.e., uma que
recebe os argumentos e retorna um resultado – não existem
efeitos secundários tais como a alteração do estado (conteúdo
da memória).
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
139
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Programação em Lógica: o que é ?
A programação em lógica é um formalismo computacional que
combina dois princípios centrais:
usa lógica para expressar conhecimento
usa inferência para manipular o conhecimento
No contexto da resolução de problemas o primeiro princípio serve
para representar suposições e conclusões, enquanto o segundo
serve para estabelecer as conecções lógicas entre suposições e
conclusões.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
140
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Programação em Lógica
Axiomas (suposições)
+
Regras de Inferência
Derivação de Teoremas (conclusões)
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
141
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Programação em Lógica
Ao descrevermos um estado de coisas no mundo real usamos, na
maioria das vezes, frases declarativas como:
(i) “Todas as mães gostam dos seus filhos”
(ii) “A Maria é mãe e o Tiago é o seu filho”
Aplicando algumas regras gerais de raciocínio, estas declarações
podem ser usadas para tirar novas conclusões.
Por exemplo, sabendo (i) e (ii) é possível concluir:
(iii) “A Maria gosta do Tiago“
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
142
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Programação em Lógica
As frases utilizadas descrevem algum universo de pessoas e
algumas relações/propriedades dessas pessoas – como “ ... é
mãe”, “... é filho de ...”, “... gosta de ...” – que podem ou não
ocorrer com essas pessoas.
Este exemplo reflecte a ideia principal da programação em lógica:
descrever relações, possivelmente infinitas, entre objectos e
aplicar o sistema de programação de maneira a chegar a
conclusões como (iii).
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
143
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Programação em Lógica
No entanto, para que um computador trate de frases como as (i) (iii) a sintaxe dessas frases tem que ser definida com precisão!
E ainda mais importante, as regras de raciocínio (ou inferência) –
como a que permite inferir (iii) a partir de (i) e (ii) – têm de ser
cuidadosamente formalizadas.
Vamos proceder à definição da sintaxe!!!
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
144
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
A linguagem de lógica de 1ª ordem é o conjunto de todas as
frases que se conseguem construir de acordo com a seguinte
gramática informal:
Alfabeto
constantes – maria, tiago, ...
variáveis – X, Y, Z, ...
funções – f, g, h, ...
predicados – mae, filho_de, gosta, ...
De notar que as constantes, funções e predicados começam com letra
minúscula e as variáveis com maiúscula.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
145
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
Termo
Constantes e variáveis são termos;
Um termo composto é uma função aplicada a uma sequência
de um ou mais termos
Termos compostos também são termos.
Uma função é caracterizada pelo seu nome e pela sua aridade
(nº de argumentos).
f(t1, t2, …, tn) onde a função tem o nome f , a sua aridade é
n e os ti’s são os seus argumentos.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
146
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
Fórmula atómica é um predicado aplicado a um ou mais termos.
filho_de(X, Y)
empresta(brinquedo,tiago,anita)
Um predicado que seja aplicado a n termos diz-se que tem aridade n. Nos
exemplos acima filho_de tem aridade 2 e empresta tem aridade 3.
Quantificadores
universal - X (para todo o X)
existencial - X (existe um X)
onde X é uma qualquer variável.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
147
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
Fórmula bem formada
uma fórmula atómica é uma fórmula bem formada
se W, W1 e W2 são fórmulas bem formadas as seguintes
formas são fórmulas bem formadas
W
- a própria fórmula
W
- a sua negação
W1  W2
- conjunção
W1  W2
- disjunção
(QX) W
- onde Q é um quantificador
W1  W2
- (W1 se W2)
W1  W2
- (W1 se e só se W2)
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
148
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
Âmbito de um Quantificador
Numa fórmula bem formada (QX)W o âmbito do quantificador
(QX) é definido como sendo W.
Diz-se que (QX) quantifica todas as ocorrências de X em W que
não ocorram
nem em nenhum quantificador em W
nem dentro do âmbito de nenhum desses quantificadores
Por exemplo, na fórmula (X)((X) A(X)  B(X))
W
Existem 3 ocorrências de X em W, mas o quantificador (X)
apenas quantifica a que se encontra em B(X).
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
149
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
Âmbito de um Quantificador
Diz-se que a ocorrência de uma variável X numa fórmula bem
formada é ligada (ou muda) se e só se acontecer um dos
seguintes casos:
está dentro do âmbito de um quantificador (QX) que ocorre em
W
está num quantificador (QX) que ocorre em W
Numa fórmula bem formada uma variável que não está ligada dizse livre.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
150
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
(Y)pai(Y, X)  criança(X)
Neste caso ambas as ocorrências de X ocorrem livres.
Indique o âmbito de cada quantificador para a fórmula
(X)(((X) p(X)  (Y)p(Y)  q(X))  (p(X)  q(Y)))
e diga quais os quantificadores que quantificam cada variável
ligada, bem como as variáveis livres
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
151
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
Frase lógica (ou fórmula fechada)
Fórmula bem formada em que todas as ocorrências de todas as
variáveis são ligadas
(X)((Y)pai(Y, X)  criança(X))
“Todas as crianças têm um pai”
Para a fórmula
W = gosta(ana, X)  gosta(X,Z)
diz-se que
gosta(ana,X) é o consequente de W,
gosta(X,Z) é o antecedente de W
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
152
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
Literal
Ou é uma fórmula atómica (literal positivo) ou uma fórmula
atómica negada (literal negativo).
 gosta(ana, luis)
gosta(ana, luis)
Termo chão
Termo que não contém variáveis.
Fórmula chã
Fórmula que não contém variáveis.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
153
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Lógica de 1ª Ordem - Revisão
Uma instância de uma fórmula W é o resultado de substituir
qualquer variável livre X1, X2,... por qualquer termo t1, t2,...
A instância é representada por W{X1/t1, X2/t2,...}
gosta(ana, luis)  gosta(luis, pai(ana))
é uma instância de W, para a substituição W{X/luis, Z/pai(ana)}
Instância chã da fórmula W é uma instância de W que não
contém variáveis, como no exemplo acima.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
154
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Forma Clausal
A forma clausal é uma das muitas formas normais da
lógica de 1ª ordem e é a sub-linguagem em que os
programas lógicos são escritos.
As formas normais têm a característica de tornar a
estrutura das frases mais regulares.
Quaisquer frases que se possam inicialmente construir
em lógica de 1ª ordem aquando da formulação de um
problema, podem sempre ser convertidas em forma
clausal sem qualquer perda de expressividade.
Rescrever frases lógicas em forma clausal preserva
modelos e consequências lógicas.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
155
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Forma Clausal
Uma frase encontra-se na forma clausal se e só se tem a
seguinte forma:
<prefixo universal><matriz>
O prefixo universal é um conjunto de quantificadores universais.
A matriz é uma conjunção de fórmulas, livre de quantificadores,
em que cada fórmula é uma disjunção de um ou mais literais.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
156
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Forma Clausal
A seguinte frase encontra-se na forma clausal
(XY)( (gosta(ana,X)  gosta(X, pai(ana))) 
(gosta(ana, pai(ana))) 
(gosta(luis, pai(ana))) 
(gosta(X,Y)  namora(X,Y)) )
Uma vez que temos a equivalência
(X)(A  B)  (X)A  (X)B
pode-se rescrever a frase acima como um conjunto de
frases implicitamente conjuntas, chamadas cláusulas.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
157
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Forma Clausal
Assim temos
{ (X)( gosta(ana,X)  gosta(X, pai(ana))
gosta(ana, pai(ana))
gosta(luis, pai(ana))
(X)(Y)( gosta(X,Y)  namora(X,Y)) }
Cada cláusula continua a ser uma frase na forma clausal.
É habitual organizar os programas em lógica como um conjunto
de cláusulas e apresentá-los no estilo simplificado (formato
condicional): os quantificadores são omitidos e, em cada
cláusula, a ocorrência de ‘ ’ é substituída pelo equivalente ,
de forma a que no consequente fiquem 0 ou 1 literais positivos e
no antecedente fique a conjunção de 0 ou mais literais.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
158
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Forma Clausal
Teremos a seguinte forma convencional
gosta(ana,X)  gosta(X, pai(ana))
gosta(ana, pai(ana))
gosta(luis, pai(ana))
gosta(X,Y)  namora(X,Y)
que é muito semelhante à forma como um programa é escrito
na notação do Prolog.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
159
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Forma Clausal
Cláusula definida: contém exactamente um literal positivo e
zero ou mais literais negativos.
Cláusula unitária positiva: cláusula definida com exactamente
zero literais negativos.
Cláusula negativa: contém zero ou mais literais negativos e
nenhum literal positivo.
Cláusula unitária negativa: cláusula negativa com exactamente
um literal negativo.
Cláusula vazia: cláusula negativa sem literais e é representada
graficamente pelo símbolo .
Cláusula indefinida: contém pelo menos dois literais positivos.
Todas as cláusulas, excepto as indefinidas, são chamadas
cláusulas de Horn.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
160
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Conversão para a Forma Clausal
1.
Rescrever cada subfórmula W1  W2 como:
(W1  W2)  (W2  W1)
2.
Rescrever cada subfórmula W1  W2 como:
W1  W2
3.
Distribuir todas as ocorrências de  rescrevendo:
(X)W
como
(X) W
(X)W
como
(X) W
(W1  W2)
como
W1  W2
(W1  W2)
como
W1  W2
W
como
W
4.
Distribuir todas as ocorrências de  rescrevendo:
W  (W1  W2)
W1  (X)W2
W1  (X)W2
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
como
como
como
161
(W  W1)  (W  W2)
(X)(W1  W2)
(X)(W1  W2)
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)
Conversão para a Forma Clausal
5.Distribuir todas as ocorrências de  rescrevendo:
(X)(W1  W2)
como
(X)W1  (X)W2
6.Skolemização - eliminar todas as ocorrências de  rescrevendo:
(X1)...(Xn)(Y)W(Y)como
(Y)W(Y)
(X1)...(Xn)W(f(X1...Xn))
como W(c)
O processo de Skolemização introduz novos símbolos de funções e
constantes para fazer referência ao nome do Y que existe.
7.Se for possível voltar a aplicar o passo 5.
A frase será uma conjunção de cláusulas. Para as apresentar como um conjunto
de cláusulas implicitamente quantificadas (formato condicional) omitem-se todos
os quantificadores universais e todas as ocorrências de  e, em cada cláusula,
substitue-se a ocorrência de ‘ ’ por , de forma a que no consequente fiquem
0 ou 1 literais positivos e no antecedente fique a conjunção de 0 ou mais literais.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática
Elsa Carvalho
162
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2004/05)