2 - Universidade da Madeira

Âmbito das definições
O âmbito de um nome introduzido por val é o contexto que se
segue textualmente à sua definição. Ou seja o âmbito do nome
apenas começa depois de terminada a definição.
O âmbito de um nome introduzido por fun é mais lato: inclui a
expressão que define a função, ou seja inclui o lado direito da
definição. Isto acontece para que se possam definir funções
recursivas.
O âmbito de um parâmetro (definição por fun) é o da própria
definição.
A redefinição de nomes é possível: um nome é redefinido quando
surge uma nova definição para ele num contexto em que ele já
era conhecido.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
28
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Âmbito das definições
Para definir funções mutuamente recursivas (que estão definidas
em termos uma da outra) utiliza-se a palavra chave and que
introduz a definição simultânea de dois ou mais nomes.
fun f x = ... g x ...
and g y = ... f y ...
Para definições val usa-se a palavra chave and como outra forma
de definir tuplos.
val V1 = E1 and V2 = E2
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
é equivalente a val(V1, V2) = (E1, E2)
29
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Definições locais
Podemos fazer definições locais a outras definições. As primeiras
serão apenas conhecidas pelas segundas.
Uma das razões para a introdução de funções auxiliares locais é o
facto de sabermos que elas apenas serão utilizadas naquela outra
função.
Desta forma podemos definir funções locais não robustas (que não
estejam definidas para todos os valores do seu domínio) pois
sabemos que quando as utilizarmos apenas utilizaremos valores
do seu conjunto de partida.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
30
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Definições locais
local
in
fun potenciaLocal(b, e) = if e=0 then 1 else b*potenciaLocal(b,e-1)
fun potencia(b, e) = if e<0 then error “potencia indefinida para
expoentes negativos”
else potenciaLocal(b, e)
end
fun quadrado n = potencia(n, 2)
Esta é uma forma de definir potencia tendo como definição local
potenciaLocal, cujo âmbito se restringe à definição da 1ª função.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
31
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Definições locais
Qualquer definição que se siga (após a palavra chave end), não
‘vê’ a função local.
A construção local é mais genericamente dada por
local DL1 DL2 ... DLn
in
D1 D2 ... Dm end
em que DL1, DL2, ..., DLn, D1, D2, ..., Dm são definições (val ou
fun). DL1, DL2, ..., DLn são definições locais às definições D1, D2,
..., Dm, só visíveis por estas últimas.
Em relação a DL1, ..., DLn entre si a regra normal para âmbitos
aplica-se: DL2 ‘vê’ DL1, etc..
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
32
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Definições locais
As definições efectivamente introduzidas e que são vistas por
outras introduzidas após a palavra end são D1, ..., Dm.
É possível encadear definições locais, colocando, por exemplo, no
lugar de DLi ou de Dj uma definição local.
Podem-se também fazer definições locais a uma expressão, de
forma a simplificar expressões mais complexas. Estas terão como
âmbito a expressão a definir.
Estas definições locais são feitas dando nomes a sub-expressões
e introduzindo funções temporárias nessas sub-expressões.
Esta característica torna-se importante quando utilizamos várias
vezes a mesma sub-expressão dentro de uma expressão.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
33
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Definições locais
Assim, podemos utilizar uma tal expressão numa definição de digit
fun digit d = let val n = ord d
in n>=0 codeof0 andalso n<=codeof9
end
Desta forma a expressão ord é avaliada uma só vez enquanto que
o valor n é usado por duas vezes na expressão que define a
função.
Se não utilizássemos esta definição local, a função digit seria
definida como
fun digit d = ord d>=0 codeof0 andalso ord d<=codeof9
em que temos a expressão ord d avaliada duas vezes.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
34
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Definições locais
De uma forma geral
let DL1 DL2 ... DLn
in E end
é uma expressão com o mesmo valor de E, mas que usa as
definições tornadas locais DL1, DL2, ..., DLn.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
35
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Exercícios
Diga qual o âmbito de V1 e V2 em cada uma das expressões
let val V1 = E1
in let val V2 = E2
in E
end
end
O âmbito de V1 é E2 e E
O âmbito de V2 é E
let val V1 = let val V2 = E2
in E1
end
in E end
O âmbito de V1 é E
O âmbito de V2 é E1
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
36
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Polimorfismo
Funções polimórficas são aquelas que podem ser aplicadas a
valores de diferentes tipos.
Por exemplo, a função identidade e as projecções:
fun id x = x
id 5 = 5
id “ola” = “ola”
id (1, true, size “ola”) = id (1, true, 3) = (1, true, 3)
primeiro (1, 5) = 1
segundo (false, 2) = 2
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
37
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Polimorfismo
Não é necessário fazer várias versões de uma função se a
queremos aplicar a valores de diferentes tipos. Tal coisa não
acontece em linguagens como o Pascal.
De forma a ser possível designar o tipo de funções como estas, irá
agora ser considerada uma extensão ao sistema de tipos.
Passaremos a introduzir variáveis como ,  e  para designar tipos
genéricos (polimórficos) nos quais a igualdade pode estar ou não
definida e =, = e = para designar tipos genéricos nos quais está
definida a igualdade.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
38
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Polimorfismo
Assim temos
id:   
primeiro: ( x )  
segundo: ( x )  
isto significa que id é uma função cujo parâmetro é de um
qualquer tipo  e cujo resultado é do mesmo tipo que o
parâmetro.
O parâmetro da função segundo é um par com componentes de
quaisquer tipos  e  respectivamente e o resultado é um valor do
tipo .
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
39
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Polimorfismo
Mais alguns exemplos de funções polimórficas são a função
constantemente igual a 5 e a igualdade:
fun const5 x = 5
const5:   int
= : (= x =)  bool
Relativamente à igualdade tal como é implementada em ML surge
uma pequena restrição. Não é possível comparar valores de um
qualquer tipo. Há domínios onde não é possível / eficiente e/ou
não faz sentido fazer comparações: não se comparam funções,
por exemplo.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
40
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Polimorfismo
Vale a pena neste ponto fazer referência ao caso da sobrecarga
de identificadores.
Quando um nome é utilizado para designar duas ou mais funções
diferentes, espera-se que o contexto forneça a informação
adicional para que o ‘type checker’ consiga inferir qual das
funções está em causa.
Assim, por exemplo, as expressões como 5 + 7 e 5.5 + 7.7
envolvem o nome ‘+’ para designar duas funções totalmente
distintas: a soma de inteiros e a soma de reais. Note-se porém
que esta situação não é, de forma alguma, uma situação de
polimorfismo.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
41
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Polimorfismo
Falamos em polimorfismo quando está em causa uma única
função que pode ser invocada com argumentos de mais do que
um tipo.
Falamos em sobrecarga de identificadores quando estão em
causa funções diferentes que podem ser designadas por um
mesmo nome.
Ao longo das aulas assumimos um sistema de tipos que não dá
lugar a casos de sobrecarga de identificadores. Por exemplo não
trabalhamos com reais e portanto o problema do ‘+’ não se põe.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
42
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Polimorfismo
Convém no entanto notar que, se por exemplo os reais fizessem
parte do sistema seríamos obrigados a qualificar expressões
como x + y pois esta não fornece contexto suficiente para se
saber de que soma se trata. Seria necessário qualificá-la: x + y:int
(é a soma de inteiros já que y fica obrigado a ser do tipo int).
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
43
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Funções de Ordem Superior
A programação funcional fornece um nível de abstracção mais
elevado, no qual é possível englobar os conceitos de função e
de valor num único conceito. A esse nível, as funções podem
ser vistas elas próprias como valores.
Para que uma função possa ser usada como qualquer outro
valor é necessário que se possa:
aplicar funções a funções, i.e., permitir parâmetros do tipo
função. Isto não é novidade pois devido ao operador de
tipos  passou a fazer sentido falar em tipos como
(int  int)  bool, que é o tipo de todas as funções com
domínio (int  int) e codomínio bool; o domínio é pois um
conjunto de funções.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
44
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Funções de Ordem Superior
dar funções como resultado de funções, exº: id aplicado a
dobro dá como resultado dobro que é uma função.
formar tuplos tendo funções como componentes. De facto o
operador de tipos x permite escrever expressões como
(id, id dobro) cujo tipo é (  ) x (int  int).
Uma função é de ordem superior quando aceita argumentos
funcionais e/ou quando produz resultados funcionais.
Assim, id, primeiro e segundo são funções de ordem superior.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
45
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Funções de Ordem Superior
O tipo de uma função de ordem superior, envolve, tipicamente, o
construtor de tipos ().
Por exemplo, (int  int)  (int x bool) é o tipo de uma função de
ordem superior que espera receber como argumento uma função
do tipo int  int e retornar o tuplo (int x bool).
Por outro lado bool  (int  int) é o tipo de uma função de ordem
superior que, quando aplicada a um valor do tipo booleano,
retorna uma função do tipo (int  int).
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
46
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Funções de Ordem Superior
Outro caso é a composição de funções. Em ML é utilizado o
operador infixo ° para cômpor funções.
Para qualquer argumento x temos
(f ° g) (x) = f(g x)
Assim, a composição tem como parâmetro um par de funções e
como resultado a função composta:
°: (  ) x (  )  (  )
Pode-se agora cômpor funções evitando o parâmetro, e
consequentemente, utilizando val em vez de fun
val seisvezes = dobro ° triplo
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
47
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)
Funções de Ordem Superior
O tipo de ° é algo complicado, mas também interessante.
Primeiro podemos verificar que a composição combina um par de
funções e retorna ainda uma função. Assim o seu tipo há-de ser algo
do género:
((T1  T2) x (T3  T4))  (T5  T6)
No entanto nem todas as funções podem ser compostas e o tipo do
resultado não é independente do tipo dos argumentos.
Para que f ° g faça sentido é necessário que o tipo do resultado de g
coincida com o do argumento de f. Assim T4 = T1.
Além disso o tipo do resultado será o mesmo que o do resultado de f
e o tipo do argumento da composição será o mesmo que o do
argumento de g. Assim T6 = T2 e T5 = T3.
Desta forma chegamos ao resultado apresentado acima.
Universidade da Madeira
Departamento de Matemática e Engenharias
Elsa Carvalho
48
Programação em Lógica e Funcional (2000/01)
(Actualizado em 2005/06)