Introdução à Análise Numérica

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Amintas
engenharia
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Unidade 1
Introdução à Análise
Numérica
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Introdução à Análise Numérica
1 – Ementa
1.1 – Características Gerais da Análise
Numérica;
1.2 – Sistemas de numeração binário e
decimal;
1.3 – Sistemas de ponto fixo e flutuante.
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1.1 – Características Gerais da Análise
Numérica
O Cálculo numérico é uma metodologia para
resolver problemas matemáticos por meios
computacionais.
Uma solução via Cálculo Numérico é sempre
numérica, enquanto os métodos analíticos
geralmente fornecem funções matemáticas.
Embora a solução numérica seja uma
aproximação do resultado exato, esta pode
ser obtida com grau crescente de precisão.
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Uma solução numérica pode ser obtida
mesmo quando o problema não tem solução
analítica. Por exemplo, a integral definida
b
y  e
 x2
dx
a
de grande utilidade na Estatística, não possui
solução analítica. A área sob a curva descrita
pela função integrada acima pode ser obtida
por meios numéricos que são aplicáveis a
qualquer outro integrando.
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Para a computação de resultados numéricos,
são necessárias somente as operações
aritméticas (adição, subtração, multiplicação
e divisão) e lógicas (comparação, conjunção,
disjunção e negação).
Considerando que estas são as únicas
operações matemáticas que os computadores
são capazes de realizar, então os
computadores e o Cálculo Numérico formam
uma combinação perfeita.
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A resolução de um problema real pode ser
geralmente dividida em:
Problema
Modelagem
Modelo
Matemático
Resolução
Solução
Podemos identificar duas fases no diagrama:
Modelagem: é a fase de obtenção de um
modelo matemático que descreve o
comportamento do sistema físico em questão.
Solução: é a fase de obtenção da solução do
modelo matemático através da aplicação de
métodos numéricos adequados.
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A escolha do método mais eficiente deve
envolver:
• Precisão desejada para os resultados;
• Capacidade do método em conduzir aos
resultados desejados (velocidade
de
convergência);
• Esforço computacional despendido (tempo
de processamento, economia de memória
necessária para a resolução).
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A solução numérica envolve:
• A elaboração de um algoritmo, que é a
descrição seqüencial dos passos que
caracterizam um método numérico;
• A codificação do programa, quando
implementamos o algoritmo numa linguagem
de programação escolhida;
• O processamento do programa, quando o
código antes obtido é compilado para que
possa ser executado pelo computador.
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Dois conceitos são essenciais em cálculo
numérico:
1 – Iteração: Em um sentido amplo, iteração
significa a repetição sucessiva de um
processo. Um método iterativo se caracteriza
por envolver os seguintes elementos:
• Aproximação inicial: consiste em uma
primeira aproximação para a solução do
problema numérico.
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• Equação de recorrência: equação por meio
da qual, partindo da aproximação inicial, são
realizadas as aproximações sucessivas para a
solução desejada.
• Teste de parada: é o instrumento por meio
do qual o procedimento iterativo é finalizado.
2 - Aproximação local: A idéia é aproximar
uma função por outra que seja de manuseio
mais simples. Por exemplo, aproximar uma
função não-linear por uma função linear em
um determinado intervalo.
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1.2 – Sistemas de numeração binário e
decimal.
O sistema decimal é um sistema adotado
internacionalmente para expressar medidas
do cotidiano e não deve ser confundido com o
sistema métrico. O sistema de numeração nos
informa sobre o valor da quantidade, sua
magnitude, enquanto que o sistema métrico
nos informa sobre a unidade de referência da
medida.
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O sistema decimal é formado pelos números
inteiros da base β={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
A partir desta base, que denotaremos β10,
todos os números podem ser expressos neste
sistema.
Definição: Um número decimal é formado a
partir da expressão:
an.10n+...+a2.102+a1.101+a0.100+a-1.10-1+
+a-2.10-2+...+a-m.10-m
onde n e m são números inteiros e os ai são os
elementos da base decimal.
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O sistema de numeração cuja base é
composta pelos dois algarismos, β2={0, 1}, é
chamado de sistema binário de numeração.
Neste sistema, qualquer número pode ser
representado por uma combinação de zeros e
uns, de tal forma que seu valor numérico
decimal é obtido por meio da expressão dada
na definição a seguir.
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Definição: O valor numérico em decimal de
um número expresso no sistema binário é
obtido tomando-se:
an.2n+...+a2.22+a1.21+a0.20+a-1.2-1+a-2.2-2+
+...+a-m.2-m
onde n e m são números inteiros e os ai são
elementos da base binária.
A representação dos números por meio do
sistema binário tornou-se muito importante
com o advento da computação.
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Conversão de decimal para binário:
O processo de passagem de um número
decimal para binário é feito em duas etapas:
1 – Parte inteira;
2 – Parte fracionária.
Parte Inteira
Para convertermos a parte inteira de um
número decimal para binário, aplicamos o
método das divisões sucessivas por 2, e
pegamos os restos das divisões na ordem
inversa. No exemplo é mais fácil:
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18
0
2
9
1
2
4
0
2
2
0
2
1
2
1
0
Portanto, 1810 = 100102. Para fazermos a
conversão inversa, basta utilizar a fórmula da
definição:
1.24+0.23+0.22+1.21+0.20=18
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Parte fracionária:
Para a parte fracionária de um valor decimal,
utilizamos o método das multiplicações
sucessivas por 2, usando a parte inteira do
resultado para compor o valor binário e a
parte fracionária para realizar novas
multiplicações, até que o resultado seja 1 ou 0
ou se alcance um número satisfatório de
casas decimais. Novamente, um exemplo é
mais fácil de entender:
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Converter 0,1875 em binário:
0,1875 x 2 = 0,3750
0,3750 x 2 = 0,7500
0,7500 x 2 = 1,5000
0,5000 x 2 = 1,0000
Portanto, 0,187510 = 0,00112.
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1.3 – Sistemas de ponto fixo e flutuante.
As primeiras arquiteturas de computador
empregavam uma representação dos números
chamada de ponto fixo, onde os números
possuíam um número fixo de algarismos
significativos e onde o número de algarismos
após a vírgula era fixa.
Um dos problemas dessa arquitetura é a
representação simultânea de números grandes
e pequenos, como numa soma, por exemplo.
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Nos computadores atuais, o processamento é
realizado com operações de ponto flutuante,
e os valores são armazenados em uma forma
compacta (conhecida como forma canônica):
0,1256x106
Expoente
mantissa
Desta forma, é possível representar grandes
números no computador, mas esta facilidade
tem seu preço: os valores em ponto flutuante
perdem em precisão para os valores em ponto
fixo.
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Cada computador reserva um determinado
número de bits para armazenar a mantissa e o
expoente. Por exemplo, nos computadores
atuais, de 32 bits, temos a seguinte divisão:
1 bit para guardar o sinal da mantissa;
23 bits para representar a mantissa;
8 bits para representar o expoente;
1 bit para guardar o sinal do expoente;
±
mantissa
± expoente
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Assim, o maior número será (positivo ou
negativo, conforme o sinal do primeiro bit):
0 11111111111111111111111 0 11111111
±3.402823466 x 10+38
O menor número será (exceto o zero):
0 00000000000000000000001 1 11111111
± 1.175494351 x 10–38
overflow
negativo
underflow
negativo
underflow
positivo
números
representados
- (2 - 2-23) × 2128
- 2-127
números
representados
0
2-127
overflow
positivo
(2 - 2-23) × 2128
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A região de valores entre zero e o valor
mínimo que pode ser assumido é chamada de
“Região de Underflow”, e os computadores
consideram valores nesta área na maior parte
das vezes como zero.
As regiões superiores ao valor máximo (tanto
positiva quanto negativa) são chamadas de
“Região de Overflow”, sendo que os
computadores consideram valores nesta faixa
como erros.
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Um fato a respeito dos números representados
em ponto flutuante é que eles não possuem
uma escala contínua como os números
decimais. Devido à limitação de bits para a
representação da palavra, não é possível
convertermos todos os números decimais para
seus equivalentes em binário.
223 nos. reais
representados
223 nos. reais
representados
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