Momento linear e colisões

MOMENTO LINEAR E COLISÕES
 Momento linear
 Momento linear para N partículas
 Lei da conservação do momento linear
 Colisão
 Impulso
 Colisões elásticas e colisões inelásticas
 Colisões elásticas unidimensionais
 Colisões perfeitamente inelásticas
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MOMENTO LINEAR
A velocidade não especifica completamente a natureza de um movimento
Podemos utilizar a noção de momento linear (ou quantidade de movimento) para
descrever a diferença entre esses dois corpos em movimento.
O momento linear de um corpo de massa m em movimento com uma velocidade v é
definido pelo produto da massa pela velocidade:


p  mv
Unidade de p no SI:
1 kg m/s
é uma grandeza vetorial porque é igual ao produto da massa que é um escalar e
a velocidade que é um vetor.
2
MOMENTO LINEAR
Para situações em que a massa varia com o tempo temos que utilizar a forma
alternativa da 2ª lei de Newton onde se utiliza o momento linear (ou quantidade
de movimento):

 dp d (mv )
dv  dm
f 

 m v
dt
dt
dt
dt
Assim a segunda Lei de Newton será
 dp
f 
dt
Unidade de f no SI:
1 N  1 kg m/s 2
o efeito da força sobre um corpo é mudar a quantidade de movimento
desse corpo
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O MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE N PARTÍCULAS É A SOMA
VETORIAL DOS MOMENTOS LINEARES INDIVIDUAIS:
  



P  p1  p2 .... pN  m1v1 mN v N
Derivando em relação ao tempo a expressão do centro de massa:

1
rCM 
M

m
r
 i i
N
i 1




 mi vi  P  M vCM
N
i 1
Derivando novamente e usando a 2ª lei de Newton para um sistema de partículas:

M aCM

 ( ext )
dP
F

dt
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PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO
(OU LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR)
Na ausência de forças externas, a quantidade de movimento permanece constante
(o momento total de um sistema isolado permanece constante)
Supomos duas partículas que interagem entre si.
De acordo com a terceira lei de Newton


p1  m1v1
e

F21

F12
formam um par ação e reação e


F12   F21
Podemos expressar essa condição como
m1


F12  F21  0
 


dp1 dp 2 d ( p1  p2 )

0

dt
dt
dt

F12

F21


p2  m2v2
m2
(num instante t)
 

p1  p2  ptotal  constante
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O QUE É UMA COLISÃO?
Colisão em Física, significa uma interação entre duas partículas (ou dois
corpos) cuja duração é extremamente curta na escala de tempo humana e
onde há troca de momento linear e energia
Antes
m1

m2

Depois

v1a

v2a
Durante

m1

m2




p1a  p2 a  p1d  p2 d

v1d

v2 d
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Exemplo 1: AURORA BOREAL
Partículas carregadas do vento solar são aceleradas pelas linhas de campo
magnético terrestre. Elas colidem com as moléculas da atmosfera, que
ganham energia interna (seus eletrões são “excitados”).
Posteriormente, ao perder essa energia excedente, as moléculas emitem luz,
criando a Aurora (Boreal ou Austral)
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IMPULSO
As forças de interação entre duas partículas que colidem
são forças muito intensas e agem durante um intervalo
de tempo extremamente curto

F21
m1

F12
m2
m1
m2
Não é necessário conhecer-se exactamente a forma do gráfico F x t, pois não nos
interessa saber o que acontece durante a colisão.
O que interessa saber é como se encontra o sistema imediatamente depois da colisão,
conhecendo-se como se encontrava imediatamente antes dela.
Na realidade, é o resultado da colisão que poderá nos dar informações a respeito da
força de interação no sistema que colide, e não o inverso.
Essencialmente, é isso que se faz num acelerador de partículas
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A força de interação faz variar o momento linear das partículas
De acordo com a 2ª Lei de Newton

pf


dp
  

t F dt t dt dt  p dp  p f  pi  p
i
i
i
tf
tf
 tf 

I   F dt   p
onde
é o impulso da força
ti

a variação do momento linear da partícula durante um
intervalo de tempo é igual ao impulso da força que age sobre ela
neste intervalo de tempo
Não conhecemos F(t), mas podemos considerar uma força média que atua no
intervalo de tempo da colisão:
tf


 F dt   F  t
ti
ou


p
 p
F 
t

  F  t
9
Exemplo 2:
10
Exemplo 3: Impulso numa colisão entre bolas de bilhar
Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de bilhar adquire a
velocidade de 1,0 m/s.
m  0,3 kg

v  1,0 m/s
A variação do momento linear da bola atingida é, em módulo:
p  mv  0,3 1,0 m/s  0,3 kg m/s  I
 que é o impulso transmitido pela bola branca na colisão.
Se o contacto dura
t  103 s
F 
Comparando
F 
p
t

, a força média exercida na bola é
I
t
 300 N
com a força peso das bolas
P  mg  (9,8 m/s 2 )(0,3 kg)  2,9 N
Observa-se que a força de interacção é bem maior que as forças externas
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COLISÕES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS
Já vimos que as colisões, por envolverem basicamente apenas forças internas,
conservam o momento linear
A energia se conserva ?
A energia total é sempre conservada
 mas pode haver transformação da energia cinética inicial (inicialmente só há
energia cinética) em outras formas de energia:
Energia potencial, energia interna na forma de vibrações, calor, perdas por geração
de ondas sonoras, etc.
Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a colisão, a
colisão é chamada de colisão elástica:
K antes  K depois
caso contrário, a colisão é chamada de colisão inelástica:
K antes  K depois
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COLISÕES ELÁSTICAS NUMA DIMENSÃO

v1a
antes:

v2a
m1
depois:

v2 d

v1d
m1
Energia cinética:
m2
m2
1 2 1
p2
2
K  mv  mv  
2
2m
2m
As equações básicas para uma colisão elástica são:
 p1a  p 2 a  p1d  p 2 d
 2
p 22a
p12d
p22d
 p1a
 2m  2m  2m  2m
2
1
2
 1
 conservação de momento linear
 conservação de energia cinética
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Desenvolvendo as equações obtemos
(k 1) v1a  2v2 a
k 1
2kv  (k 1) v2 a
v2 d  1a
k 1
v1d 
onde
m1
k
m2
Explicitamente em termos das massas das partículas, podemos escrever:
 m1 m2 
 2m 2 
v1a 
v 2 a
v1d 
 m1 m2 
 m1 m2 
 2m1 
 m1 m2 


v 2 a
v 2 d 
v1a 

 m1 m2 
 m1 m2 
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COLISÕES ELÁSTICAS UNIDIMENSIONAIS: CASOS PARTICULARES
(1) MASSAS IGUAIS: (K =1)
v1d  v2 a
v2 d  v1a
O estado final do sistema é idêntico ao estado inicial: As partículas trocam de
velocidades!
Em particular, se a partícula alvo está
inicialmente em repouso, a partícula
incidente para após a colisão, como no
bilhar. Isto é:
se
v2 a  0  v1d  0.
(vaprox  vafast )

v1a
Antes:
m1

v1a
m2
Depois:
m1
m2
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(2) ALVO EM REPOUSO (m1
 m2 )
 m m 
v1d  1 2  v1a
 m1 m2 
 2m1 
 v1a
v 2 d 
 m1 m2 
Assim:
v1d  v1a
v2 d
 2m1 
v1a  v1a
 
 m2 

v1a
Antes:
Depois:
m1
m2

v2 d

v1d
m1
m2
(vaprox  vafast )
A partícula incidente reverte sua velocidade e a partícula alvo passa a se
mover lentamente, praticamente permanecendo em repouso.
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(3) ALVO EM REPOUSO (
m1  m2
)
 m1 m2 
 v1a
v1d 
 m1 m2 
 2m1 
 v1a
v 2 d 
 m1 m2 

v1a
ANTES
m2
m1
Assim:
v1d v1a
v2 d 2v1a

v2 d

v1d
DEPOIS
m2
m1
A partícula incidente não “sente” a colisão. A partícula alvo passa a se mover com o
dobro da velocidade da partícula incidente.
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COLISÕES UNIDIMENSIONAIS PERFEITAMENTE INELÁSTICAS
antes

v1a
m1
depois

v2a

vd
m2
m1+ m2
Neste tipo de colisão, a partícula incidente fica presa na partícula alvo.
 representa a perda máxima de energia cinética numa colisão inelástica duma
dimensão.
m1v1a m2 v2 a m1 m2 vd  vd 
m1v1a  m2 v2 a
m1  m2
 vCM
O centro de massa está na massa formada pelas duas partículas juntas. Por isso elas
se movem com a velocidade do centro de massa, que se mantém constante.
A energia cinética final é a energia cinética associada ao movimento do CM.
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Exemplo 4:
 colisão inelástica
 colisão perfeitamente inelástica
 colisão elástica
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Exemplo 5:
colisão perfeitamente inelástica
colisão elástica
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Exemplo 6: Suponha que um peixe nada em direção a outro peixe menor. Se o
peixe maior tem uma massa de 5 kg e nada com velocidade de 1 m/s na direção de
um peixe de 1 kg que está parado (v=0), qual será a velocidade do peixe grande logo
após o almoço? Desprezamos o efeito da resistência da água.
O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço


pantesdo almoço  pdepoisdo almoço  constante

MV  mv  MV 'mv '  constante
(5 kg)(1 m/s)  (1 kg)(0)  (5 kg  1 kg)V '
5 kg m/s  (6 kg)V ' 
5 kg m/s  (6 kg)V ' 
V '  (5 / 6) m/s 
V '  0.8 m/s
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V '  0.8 m/s  velocidad e do peixe grande depois do almôço
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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe
pequeno nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe
grande, vindo da direita. O que acontece ?
O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço


pantesdo almoço  pdepoisdo almoço  constante  MV  mv  MV 'mv'  constante
(5 kg)(0)  (1 kg)(-1 m/s)  (6 kg)V '
 1m/s  (6)V ' 
V '  (1 / 6) m/s  V '  0.17 m/s
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Exemplo 8: Pêndulo balístico  sistema para medir a velocidade de uma bala
Colisão totalmente inelástica:
mv1a  (m  M )vd 
m
vd 
v1a
mM
v
m+M
y
M
m
Há conservação de energia mecânica após a colisão  a energia cinética depois da colisão se
transformou em energia potencial depois do colisão:
Kd  U d 
Então:
v1a 
mM
m
1
(m  M ) vd2  m  M  gh  vd 
2
2 gh
2 gh
m  10 g
Numericamente, se: M  4 kg
h  5 cm

v1a 
4,01
 2  9,8  0,05 m/s  400 m/s  1400 km/h
0,01
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