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Engenharia de Materiais
METAIS - 2
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Nas aplicações estruturais, as grandezas utilizadas.
com mais freqüência são as:
tensões (б)
deformações (ε).
Nota: ( б ) sigma
( ε ) épsilon
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
A intensidade do esforço é medida pelo esforço
exercido sobre a unidade de área.
Pode ser expressa em kgf ∕ cm², lb ∕ in² (psi)
e outros.
Os termos tensão e esforço são bastante usados
para indicar essa intensidade.
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Tensão máxima e a maior tensão que um material
suporta ate romper.
Tensão admissível e a tensão considerada no
projeto de uma estrutura ou maquina.
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
FENÔMENO MECÂNICO
FENÔMENO GEOMETRICO
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Tensão (б) o limite do elemento de força
F
dividido pelo elemento de área
A quando
A tender a zero e existir limite.
F
F
dF
Lim ----------- = б = -----------A
dA
A
0
A
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
б
б
‫ﺡ‬
‫ﺡ‬
‫ﺡ‬n
n
‫ﺡ‬n
Tensão no ponto
Componente tangencial
(tensão tangencial)
Componente normal
(tensão normal)
Secção cortada
б = ‫ﺡ‬n + ‫ﺡ‬
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
TENSÕES NORMAIS (ALONGAMENTO)
F
F
‫ﺡ‬n
‫ﺡ‬n
TENSÕES DE COMPRESSÃO (ENCURTAMENTO)
‫ﺡ‬n
‫ﺡ‬n
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Na figura, ɭ 0 representa o comprimento da haste
sem tensões.
ɭ
0
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Na figura, ɭ 0 representa o comprimento da haste
sem tensões,acrescida das pressões normais .
As pressões normais são devidas aos esforços
de tração F submetidos a haste.
F
F
ɭ
ɭ
0
ɭ
: deformação especifica devida a pressões normais
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
ɭ
Alongamento unitário ε = -----ɭ0
( alongamento )
( comprimento inicial )
Dentro do chamado regime elástico,as tensões
são proporcionais às deformações.
Esta relação é denominada Lei de Hooke,
em homenagem ao físico inglês
Robert Hooke (1635-1703).
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Alongamento unitário
ε
Pode ser de tração (alongamento)
ε>0
Pode ser de compressão (encurtamento)
ε<0
Nota: a deformação especifica é adimensional
( não tem dimensão ).
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
TENSÕES TANGENCIAIS
‫ ﺡ‬xy
‫ ﺡ‬xy
‫ ﺡ‬yx
‫ ﺡ‬yx
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
DEFORMAÇÕES DEVIDA AS TENSÕES TANGENCIAIS
‫ ﺡ‬xy
‫ ﺡ‬xy
‫ ﺡ‬yx
‫ ﺡ‬yx
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO
É chamado também de escorregamento
especifico ou distorção.
A0
Tensão cisalhante
F
F
θ
F
ɤ
Carga ou força imposta em uma
direção paralela as faces superior
e inferior, cada uma delas com a
Área da seção reta original A 0
antes da aplicação de qualquer carga.
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Tensão de deformação
ɤ
F
= -------A0
y = tangθ
A deformação de cisalhamento é definida como sendo
a tangente do ângulo de deformação θ , como esta
indicado na figura.
As unidades para tensão e a deformação cisalhantes
são as mesmas dos seus componentes de tração
correspondentes.
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
A imposição de tensões de compressão,de cisalhamento
também induz um comportamento elástico.
As características tensão - deformação a baixos níveis
de tensão são virtualmente as mesmas tanto para uma
situação de tração como para uma situação de compressão
incluindo a magnitude do modulo de elasticidade.
A tensão e a deformação de cisalhamento são proporcionais
uma a outra através da expressão:
ɤ = Gy
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
ɤ
= Gy
G : representa o modulo de cisalhamento
(ou modulo transversal).
y : a inclinação (coeficiente angular ) da
região elástica linear da curva tensãodeformação de cisalhamento.
METAIS
SISTEMAS DE UNIDADES
Tradicionalmente, os cálculos de
estabilidade das estruturas são
efetuados no sistema MKS
(metro, quilograma-força, segundo).
Por força dos acordos internacionais,
o sistema MKS pelas unidades do SI
(Sistema Internacional das Unidades SI)
METAIS
SISTEMAS DE UNIDADES
O que difere o sistema MKS do sistema SI
estão nas unidades de força e de massa.
METAIS
SISTEMAS DE UNIDADES
No sistema MKS, a unidade de força,
denominada quilograma-força (Kgf)
ou quilo-ponde (Kp).
É o peso da massa de um quilograma,vale
dizer,é a força que produz,na massa de um
quilograma, a aceleração da gravidade
(g≈9,8 m ∕ s²).
METAIS
SISTEMAS DE UNIDADES
No sistema SI a unidade de força,
denominada Newton (N), produz
na massa de um quilograma a
aceleração de 1m ∕ s².
Resultam as relações:
1Kgf = 1Kp = 9,8N ≈ 10N
1N = 0,102 Kgf = 0,102Kp ≈ 0,10Kp.
METAIS
SISTEMAS DE UNIDADES
No sistema SI a unidade de força,
utilizam-se correntemente os
multiplos quilonewton (KN)
e meganewton (MN).
Resultam as relações:
1KN = 10³ N ≈ 100Kgf ≈ 0,10tf *
6
1MN = 10 N ≈ 100 x 10³Kgf ≈ 100tf.
* (tf) espessura do flange de viga metálica
METAIS
SISTEMAS DE UNIDADES
A unidade de pressão no sistema SI
denomina-se Pascal (Pa),recomenda-se
empregar o múltiplo megapascal(MPa):
1MPa = 1MN ∕ m² = 0,1 N ∕ mm² = 0,1KN ∕ cm² ≈ 10Kgf∕cm² ≈ 100tf ∕ m²
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Nas aplicações estruturais,as grandezas utilizadas
com mais freqüência são as tensões ( ϭ ) e as
deformações (ε)
A
F
F
.
Haste em tração simples
Consideremos uma haste reta solicitada por um
esforço de tração F ,aplicado na direção do eixo
da peça.esse estado de solicitação chama-se
tração simples.
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Dividindo a força F pela área A da seção transversal
obteremos a tensão ϭ
F
ϭ = -----A
No exemplo dado (haste em tração simples) as
tensões são iguais em todos os pontos.
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
ɭ
F
0
+
ɭ
F
A
.
Na figura, ɭ 0 representa um comprimento marcado
arbitrariamente na haste sem tensões.
Sob efeito da força F de tração simples, o segmento
da barra de comprimento inicial ɭ 0 se alonga
passando a ter o comprimento ɭ 0 + ɭ .
Denomina-se alongamento unitário ε .
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
ɭ
Alongamento unitário ε = -----ɭ0
Dentro do chamado regime elástico,as tensões
são proporcionais às deformações.
Esta relação é denominada Lei de Hooke,
em homenagem ao físico inglês
Robert Hooke (1635-1703).
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
O coeficiente de proporcionalidade se denomina
módulo de elasticidade ou módulo de Young (E ).
ϭ=E •ε
Ϭ : tensão na barra
E : módulo de elasticidade
ε : alongamento unitário
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Módulo de Elasticidade de Ligas Metálicas
Material
GPa
10 6 psi
Tungstȇnio
407
59
Aço
207
30
Niquel
207
30
Titânio
107
15,5
Cobre
110
16
Latão
97
14
Aluminio
69
10
Magnesio
45
6,5
9
1 GPa (gigapascal) = 10 N ∕ m2 = 103 MPa
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
O módulo de elasticidade E é praticamente igual
para todos os tipos de aço,valendo:
E = 205.000 MPa
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Exemplo:
Uma barra com o comprimento inicial de 3,25 m,
de seção circular, com diâmetro de 1”, está
sujeita submetida a uma tração axial de 55KN.
Calcular: a) a tensão na barra.
b) o alongamento unitário da barra
c) o alongamento da haste
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
ɭ
0
+
ɭ
F
F
Solução:
Área da seção transversal da barra
d = 1” (1 polegada) = 2,54 cm
¶ .d²
¶ x (2,54)²
A = ------- = ---------------- = 5,07 cm²
4
4
A
.
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Tensão na barra (ϭ)
F : esforço de tração axial (força) : 55 kN
A : área da seção transversal : 5,07 cm²
F
55
б = ----- = ---------- = 10,85 KN ∕ cm² = 108,5 MPa
A
5,07
ou
1.085Kf∕cm²
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Calcular o alongamento unitário da barra supondo
o comprimento inicial ɭ 0 = 3,25 m
Aplicando a Lei de Hooke,temos:
б
108,5 MPa
ε = ----- = --------------- = 0.0005292
E
205.000 MPa
ε = 5,29 x 10
-4
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
O alongamento da barra de 3,25 m vale:
ɭ
ε . ɭ 0 = 5,29 x 10
-4
=
ɭ = 1,72 mm
-4
x 3,25 = 17,19 x 10 m
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Exemplo: Exercício proposto 1
Uma barra chata,com seção retangular
com 3” de largura e 5 ∕ 8 ” de espessura,está
sujeita a uma tração axial de 45 KN. Para o
calculo do alongamento da barra, supor o
comprimento inicial ɭ 0 = 3,50 m.
Calcular: a) a tensão na barra chata
b) o alongamento unitário
c) o alongamento da barra chata
a
b
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Exercício proposto 2
Um pedaço de cobre de barra quadrada de
tamanho do lado de 54 mm ,com comprimento
original de 305mm, é puxado em tração com
uma tensão de 376 MPa.
Se a sua deformação é inteiramente elástica.
Calcular: a) a força na barra quadrada
b) o alongamento unitário
c) o alongamento da barra quadrada
METAIS
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Exercicio proposto 3
Considera-se o pino de 0,5 cm de diâmetro
da junta da figura. A força P igual a 500kg.
Admitida a distribuição uniforme das tensões
tangenciais.
Calcular os valores das tensões nos planos
AA e BB.
500 Kg
500 Kg
A
B
A
B
ELASTICIDADE
Até este ponto,consideramos que a
deformação elástica é um processo
independente do tempo, isto é, que
uma tensão aplicada produz uma
deformação elástica instantânea
que permanece constante ao longo
período de tempo em que a tensão
é mantida.
ELASTICIDADE
Alem disso, considerou-se que, ao
se liberar a carga a deformação e
recuperada na sua totalidade, isto
é, que a deformação retorna de
imediato a zero.
ANELASTICIDADE
Para a maioria dos materiais empregados em
engenharia, contudo, existirá também uma
componente da deformação elástica que e
dependente do tempo.
Isto é, a deformação elástica ira continuar
após a aplicação da tensão,e com a liberação
da carga será necessária a passagem de um
tempo finito para que se de uma completa
recuperação.
ANELASTICIDADE
Esse comportamento elástico dependente
do tempo e conhecido por anelasticidade.
É devido aos processos microscópicos e
atomísticos dependentes do tempo que
acompanham o processo de deformação
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
É definido como sendo a razão entre as
deformações lateral e axial.
Para maior parte dos materiais,em torno de 0,3
É a relação entre as deformações, por unidade de
comprimento da mesma,sob a ação de uma carga
axial que não ultrapasse o limite elástico
do material.
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
MATERIAL
COEFICIENTE DE
POISSON
Cobre
0,35
Alumínio
0,34
Titânio
0,34
Magnésio
0,33
Ferro
0,28
Aço
0,28
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
Quando uma tensão de tração é imposta sobre
virtualmente qualquer material,um alongamento
elástico e a sua deformação correspondente (Ɛz)
resultam na direção da tensão aplicada (tomada
arbitrariamente como sendo direção z)
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
ɭ
ɭ 0x
ɭz
z
2
x
2
бz
y
ɭ 0z
x
ϵz
=
2
бz
ϵx
2
=
ɭ z ∕2
ɭ 0z
ɭ x ∕2
ɭ 0x
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
Alongamento axial (z) (deformação positiva)
e
Contrações laterais (x , y) (deformações negativa)
em resposta à imposição de uma tensão de tração.
As linhas continuas representam as dimensões
após a aplicação da tensão.
As linhas tracejadas representam as dimensões
antes da aplicação da tensão.
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
ɭz
2
ɭ
бz
ɭx
0x
2
ALONGAMENTO
AXIAL Z
(deformação positiva)
z
y
ɭ 0z
x
бz
CONTRAÇÕES LATERAIS X Y
(deformações negativa)
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
ϵx
ϵy
Coeficiente de Poisson (Ʋ) = - ------ = - -----
ϵz
ϵz
O sinal de negativo esta incluído nessa expressão para que Ʋ sempre
um numero positivo,uma vez que
ϵx e ϵz terão sempre sinais
oposto.
Para materiais isotrópicos (substâncias que possuem as
mesmas propriedades em todas as direções no espaço)
deve ser de ¼
• Quando o material é submetido a uma tensão de tração (ou
compressão),ocorre um “ajuste” (acomodação) nas
dimensões perpendiculares à direção da força aplicada.
• O Coeficiente de Poisson (Ʋ) é definido como a razão
(negativa) entre as deformações lateral (εx, εy) e
longitudinal (ou axial, εz) do material.
•Teremos εx = εy quando o material é isotrópico e a
tensão aplicada for uniaxial (apenas na direção “z”)
ϵx
ϵy
Coeficiente de Poisson (Ʋ) = - ------ = - -----
ϵz
ϵz
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
ɭ
ɭ 0x
ɭz
z
2
x
2
бz
y
ɭ 0z
x
ϵz
=
2
бz
ϵx
2
=
ɭ z ∕2
ɭ 0z
ɭ x ∕2
ɭ 0x
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
Para materiais isotrópicos, os módulos
de cisalhamento e de elasticidade estão
relacionados entre si e com coeficiente
de Poisson de acordo com a expressão
E = 2 G ( 1 + Ʋ)
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
E = 2 G ( 1 + Ʋ)
E : módulo de elasticidade
G : módulo de cisalhamento
Ʋ : coeficiente de Poisson
Exemplo
• Uma tensão de tração deve ser aplicada ao longo do
eixo referente ao comprimento de um bastão cilíndrico
de latão, que possui um diâmetro de 10 mm.
Determine a magnitude da carga exigida para produzir
-3
uma alteração de 2,5 x 10 mm no diâmetro.
A deformação é puramente elástica
di
Dados:
-2
d = 10 mm = 10 m
-3
Δd = 2,5 x 10 mm
z
d0
F
x
εz = Δl / l0 = (li - l0) / l0
εx = Δd / d0 = (di - d0) / d0
ɭi
ɭ0
F
εx = Δd / d
-4
-3
= (- 2,5 x 10 ) / 10 = - 2,5 x 10
O sinal “-” deve-se à redução no diâmetro do material
0
εz = - εx / ʋ = - (- 2,5 x 10 - 4 ) / 0,34 = 7,35 x 10- 4 Para o
latão ν = 0,34 (tabela)
σ = εz.E = (7,35 x 10 ) . (97 x 10 ) = 71,3 MPa Para o
latão E = 97 Gpa (tabela)
-4
9
F = σ.A 0 = σ. (d0/2) 2.π = (71,3 x 10 6 ) x (10 - 2 / 2) ². π
F = 5600 N
Exercício proposto 1:
Uma tensão de tração é imposta sobre virtualmente
sobre uma barra de zinco de seção quadrada, resulta
um alongamento elástico e conseqüentemente uma
deformação correspondente ϵz (direção Z na figura).
Como um resultado desse alongamento,existirão
constrições nas direções laterais(X e Y)
perpendiculares a tensão que é aplicada.
Calcular:
ɭz e ɭx
a) O alongamento de deformação
b) A deformação na direção no eixo X.
c) A deformação na direção no eixo Z
d) A tensão aplicada a peça.
e) A força aplicada a peça
PROPRIEDADES ELASTICAS
COEFICIENTE DE POISSON
ɭ ix
ɭ
ɭ0x
ɭz
z
2
x
2
бz
y
ɭ iz
ɭ 0z
x
ϵz
=
2
бz
ϵx
2
=
ɭ z ∕2
ɭ 0z
ɭ x ∕2
ɭ 0x
PROPRIEDADES ELASTICAS
Dados do problema:
ɭ 0z comprimento original da barra 15 centímetros
ɭ iz comprimento instantâneo da barra 16 centímetros
ɭ 0x comprimento original do lado da seção da barra
1 polegadas
ɭ ix comprimento instantâneo do lado da seção
da barra 1¼ de polegadas
PROPRIEDADES ELASTICAS
Dados do problema:
A0 área da seção da barra 6,45 polegadas.
Ʋ coeficiente de Poisson do zinco é 0,25
E módulo de elasticidade do zinco 108 Gpa
G módulo de cisalhamento
PROPRIEDADES ELASTICAS
Exercício proposto 2
Uma barra de aço de seção transversal com diâmetro de
2 cm é tracionada por 5 toneladas. Verificar se ela está em
segurança sabendo-se,ser a máxima tensão admissível no
aço utilizado igual a 1.800 kgf ∕ cm².
P=5t