Transformada de Fourier (TF)

Transformada de Fourier (TF)
Aula Teórica – Semana 15
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Transformada de Fourier
• Os sinais podem ser divididos em categorias
diferentes conforme mostra a tabela abaixo.
• Dependendo do tipo de sinal pode-se utilizar a
Série ou a Transformada de Fourier para fins de
análise espectral.
Tipos de Sinais
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Série de Fourier
• Utilizada na análise de sinais periódicos.
• A Série de Fourier é subdividida com base na
teoria dos números complexos, em
trigonométrica ou exponencial.
• A trigonométrica fornece um espectro
unilateral (só frequências positivas).
• A Série Exponencial fornece um espectro
bilateral (frequências positivas e
negativas)
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Série de Fourier Trigonométrica (Espectro
Unilateral)
• Um sinal periódico x(t) pode ser definido
por uma soma de funções senoidais e
cosenoidais, como mostrado abaixo.
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Série de Fourier Trigonométrica
(Espectro Unilateral)
• Para sinais pares, ou seja, quando x(t)=x(-t), a
série pode ser reduzida para.
• E quando o sinal é ímpar, com x(t)=-x(-t), a série
pode ser reduzida a
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Série de Fourier Exponencial (Espectro
Bilateral)
• Apresenta como grande vantagem o cálculo de
apenas uma integral.
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Série de Fourier Exponencial (Espectro
Bilateral)
• Como visto anteriormente, a função exponencial pode
ser decomposta em “cos + jsen”.
• Para funções pares, a integral pode ser feita
exclusivamente em função do co-seno enquanto que,
para funções ímpares, pode ser feita em função do
seno.
• Antes de demonstrar o cálculo de algumas séries,
vamos definir a função “sinc”
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Função sinc(x)
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Exemplo 1: Obter a Série de Fourier Trigonométrica da onda quadrada de
simetria ímpar e suas 7 primeiras componentes.
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Exemplo 2: Obter o espectro bilateral (Série de Fourier
Exponencial) do trem de pulsos retangulares abaixo.
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Exemplo 3:
• Neste exemplo é demonstrado a aplicação da Série
de Fourier a um circuito RL, o qual causará
variações de amplitude e fase nas componentes,
filtrando assim o sinal de entrada.
• Para isto, considere-se um circuito RL tipo série,
onde R=1 e L=0,5H, sobre o qual é aplicado um
sinal v(t) tipo triangular, que é definido por uma série
infinita.
• Determinar i(t) e ambas as formas de onda,
considerando-se apenas as 7 primeiras
componentes (“n” variando de 1 a 7).
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Ex-3: Formas de Ondas. (a) Componentes senoidais de
v(t) e i(t), e (b) formas finais de v(t) e i(t).
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Exercício-3: Considerações.
• A corrente i(t) está atrasada em relação a
tensão v(t), confirmando que o indutor se opõe a
variações de corrente.
• A corrente i(t) tem uma forma de onda mais
suave, o que implica que, se a tensão de saída
for obtida sobre o resistor, obter-se á um sinal
com a mesma forma de onda. Neste caso o
sinal de entrada terá passado por um filtro
passa-baixas, enquanto que, se for obtida sobre
o indutor, terá passado por um filtro passa-altas.
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Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier
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Transformada de Fourier
• Obter as respectivas TF das funções retângulo, triângulo
e impulso.
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Transformada de Fourier da função retângulo para (a)
A=1, τ=1 e (b) A=1, τ=0,5.
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Transformada de Fourier da função triângulo
para (a) A=1, τ=1 e (b) A=1, τ=0,5.
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