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Física I
2009/2010
Aula 06
Forças e Movimentos IV
Movimento Circular
Sumário
Movimento circular
• Movimento circular uniforme
• Movimento relativo a uma dimensão
Movimento relativo a duas dimensões
Física I 2009-10 - 1.º S - Aula06
2
Movimento Circular Uniforme
Existe movimento circular uniforme quando um
objecto se move numa trajectória circular com
velocidade de módulo constante
A aceleração não é nula porque a direcção do
movimento está constantemente a variar
Esta variação da velocidade está relacionada com uma
aceleração
O vector velocidade é sempre tangente à trajectória
do objecto
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Variação da Velocidade no Movimento Circular Uniforme
O vector velocidade
varia apenas em
direcção
O diagrama vectorial
apresenta
= vvff- 
vi vi
DDv
v
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vi
vf
Dr
rf
ri
vi
Dv
vf
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A Aceleração Centrípeta
No movimento circular uniforme a aceleração é
perpendicular à trajectória em cada ponto
A aceleração aponta sempre para o centro da
trajectória circular
Daí a designação de aceleração centrípeta
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A Aceleração Centrípeta
O módulo do vector aceleração centrípeta é dado
por
v2
aC 
r
A direcção do vector aceleração centrípeta varia
continuamente, de forma a estar sempre a apontar
para o centro da trajectória
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A Aceleração Centrípeta
No ponto p a velocidade é
v  vx i  v y j 
 vy p
 
 r
 -v sin   i
  v cos   j

 vx p 
i  
j

 r 
Diferenciando esta equação, em
ordem ao tempo, com r e v
constantes, obtemos
 v dyp 
 v dxp 
dv
a
 
i +
j
dt
 r dt 
 r dt 
Mas
dyp
dt
 v y  v cos 
e
dxp
dt
 vx  v sin 
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A Aceleração Centrípeta
Então
  v 2

  v2
a    cos  i    sin   j
 r
  r

de onde
v2
v2
2
2
a  a a 
cos   sin  
r
r
2
x
e
ou
tan  
 
2
y
ay
ax



 tan 
  v / r  cos 
 v 2 / r sin 
2
e
a
tem a direcção de
r
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O Período do Movimento Circular Uniforme
O período, T, é o intervalo de tempo necessário para uma
revolução completa
O módulo da velocidade da partícula é o perímetro da
trajectória dividido pelo período
2 r
O período é, portanto, T 
v
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A Aceleração Tangencial
No movimento circular, em geral, o módulo da
velocidade pode também variar
Neste caso, existe aceleração tangencial
diferente de zero
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A Aceleração no Movimento Circular (caso geral)
A componente tangencial do
vector aceleração dá origem
à variação do módulo do
vector velocidade da
partícula
at 
dv
a  ar  at
at
a
dt
A componente radial (ou
centrípeta) do vector
aceleração dá origem à
variação da direcção do
vector velocidade
ar
v2
ar  aC  
r
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A Aceleração no Movimento Circular (caso geral)
Componente tangencial :
at 
Componente radial:
dv
dt
v2
ar  aC  
r
Módulo da aceleração :
a  a a
2
r
2
t
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A Aceleração no Movimento Circular (caso geral)
Podemos definir os seguintes
vectores unitários
ur e u
ur
tem a direcção e sentido do
u
u
ur
raio vector
é tangente à trajectória
circular
A aceleração é
v2
a  at  ar 
u  ur
dt
r
dv
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Movimento Circular Uniforme
Uma força, Fr , aponta para o
centro da trajectória circular
Fr
Esta força está associada à
aceleração centrípeta, ac
Aplicando a 2.ª Lei de Newton
na direcção radial, obtém-se
Fr '
v2
 F  mac  m r
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Movimento Circular Uniforme
Uma força que dá origem a uma
aceleração centrípeta tem a
direcção radial e aponta para o
centro da circunferência
Provoca uma variação da direcção
do vector velocidade
Se essa força desaparecer, o
corpo passará a mover-se numa
trajectória rectilínea tangente à
circunferência
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Força Centrípeta
A força que dá origem à aceleração centrípeta é
denominada força centrípeta
Não é um novo tipo de força, denomina apenas o
efeito que uma determinada força tem
É uma força que actua de forma a fazer variar
apenas a direcção da velocidade, dando origem a
um movimento circular
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Movimento Circular com Trajectória Horizontal
O módulo da velocidade do corpo
depende da massa do corpo e da
tensão da corda
Fr
A força centrípeta é a tensão da
corda
2
v
T m
r
Fr '
e
v
Tr
m
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m
O Pêndulo Cónico
O corpo está em equilíbrio
na direcção vertical e
executa movimento circular
uniforme na direcção
horizontal

T
v é independente de m
v  Lg sin tan 
mg
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Curva Horizontal
A força de atrito estático é a força
centrípeta
fe
O valor máximo do módulo da
velocidade a que o carro pode
efectuar a curva é dado por
n
v  e gr
fe
Repare-se que este valor não
depende da massa do carro
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mg
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Curva Horizontal
fc
Centro
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Carro
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Curva inclinada
A inclinação destina-se a fazer
com que o carro efectue a curva
sem recorrer à força de atrito
entre a estrada e os pneus
n
A força centrípeta é a
componente horizontal da força
normal que a estrada exerce no
carro
v2
tan  
rg
mg
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O Rotor
A força de atrito estática
equilibra o peso
fe
Eixo
central
A força centrípeta é a
força normal que a
parede do cilindro
exerce no corpo
v
mg
gR
e
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O “Loop”
É um exemplo de uma
trajectória circular vertical

N
x
No ponto mais baixo da
trajectória, o módulo da
força dirigida para cima
que exercida no corpo tem
de ser superior ao módulo
do peso deste
mg
mg
 v2 
N  mg1  
 rg 
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O “Loop”
No ponto mais alto da
trajectória circular, o
módulo da força exercida
no corpo pode ser inferior
ao módulo do peso do
corpo

N
 v2 
N   mg  1
 rg 
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.
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mg
O Movimento em Referenciais Acelerados
Num referencial acelerado (portanto não inercial)
surge uma força fictícia
Uma força fictícia parece actuar num corpo como
uma força real, mas não é possível identificar um
segundo corpo que origine esta força fictícia
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A Força “Centrífuga”
No referencial da passageira (b), uma força
parece empurrá-la para a porta
Do ponto de vista do referencial ligado à
Terra, o carro aplica uma força à
passageira apontando para a esquerda
À força dirigida para fora dá-se o nome de
força centrífuga
É uma força fictícia que resulta da aceleração
associada à variação da direcção da velocidade
do carro
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Forças Fictícias, exemplos
Ainda que as forças fictícias não sejam forças reais,
podem ter efeitos reais
Exemplos:
Os objectos dentro do carro escorregam
Sentimo-nos empurrados para fora de uma
plataforma em rotação
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Forças Fictícias, exemplos
Exemplos:
A força de Coriollis é responsável pela rotação de sistemas
meteorológicos e das correntes oceânicas
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Forças Fictícias em Sistemas Lineares
a
O observador inercial (a) vê
F
F
x
 T sin   ma
y
 T cos  mg  0
O observador não inercial (b)
vê
 F 'x  T sin   Fficticia  0
F '
y
Observador
inercial

T
mg
Observador
não inercial

Fficticia T
 T cos   mg  0
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mg
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Forças Fictícias em Sistemas em Rotação
n
n

T
Observador não
inercial

T
Fficticia
mg
mg
Observador
inercial
De acordo com o observador inercial (a), a força de atrito
entre a plataforma e o corpo é a força centrípeta
mv 2
T
r
O observador não inercial (b) vê
T  Fficticia
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mv 2
T 
0
r
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Velocidade Relativa
Dois observadores que se movem um em relação ao
outro em geral não estão de acordo no que respeita aos
resultados de uma experiência
Por exemplo, para os observadores A e B da figura a bola
descreve trajectórias diferentes
Trajectória, de acordo
com o observador A
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Trajectória, de acordo
com o observador B
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Velocidade Relativa, caso geral
O sistema de referência S está
em repouso
O sistema de referência S ’
move-se com velocidade u em
relação a S
Isto significa também que S se move
com velocidade u em relação a S ’
r
r'
Definimos t = 0 como o instante
em que as duas origens
coincidem
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ut
u
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Equações da Velocidade Relativa
As posições, observadas nos dois sistemas de
referência, estão relacionadas através da
velocidade relativa
r  r ' ut
Derivando esta equação (das posições), obtemos a
equação que relaciona as velocidades, observadas
nos dois sistema de referência
Estas são as equações de transformação de
Galileu
v  v ' u
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A Aceleração em Sistemas de Referência Diferentes
A derivada da equação das velocidades dá origem
à equação das acelerações
A aceleração de uma partícula medida por um
observador num determinado sistema de referência
é igual à aceleração medida por outro observador
num sistema de referência que se move com
velocidade constante em relação ao primeiro.
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Problema
Na figura um avião move-se para
leste, estando apontado para sudeste
devido à existência de um vento
constante que sopra para nordeste.
A velocidade do avião em relação ao
ar tem módulo 215 km/h, fazendo
com ângulo θ com a direcção oesteleste. O vento tem velocidade de
módulo 65.0 km/h em relação ao
solo, numa direcção que faz um
ângulo de 20º com a direcção sulnorte.
vAT
vVT
vAV
vAT
vVT
vAV
Qual é o módulo da velocidade do avião em relação ao solo e qual
é o valor do ângulo θ ?
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Problema
Vamos definir os sistemas de
referência:
S é o sistema ligado à Terra
vAT é a velocidade do avião em
relação à Terra (a S)
S’ é o sistema ligado ao ar (vento)
vAV é a velocidade do avião em
relação ao ar (a S’)
vVT é a velocidade do ar em
vAT
vVT
vAV
vAT
vVT
vAV
relação à Terra (de S’ em relação
a S)
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Problema
Utilizamos agora as relações
entre as velocidades:
v  v ' u
ou, no nosso caso,
vAT  vAV  vVT
No sistema de eixos da figura
vAT
vVT
vAV
vAV  vAV cos  i  vAV sin  j
vAT
vVT  vVT sin 20º i  vVT cos 20º j
vVT
vAV
e, portanto,
vAT   vAV cos  vVT sin 20º  i   vAV sin   vVT cos 20º  j
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Problema
Mas sabemos que vAT tem a
direcção e sentido do eixo dos x.
vAT
Consequentemente
vAT  vAV cos   vVT sin 20º
0  vAV sin   vVT cos 20º
e
vVT
vAV
vAT
v
sin   VT cos 20º
vAV
vAT
vVT
vAV
Substituindo os valores dados,
vVT  65.0 km/h  18.0 m/s
vAV  215 km/h  59.7 m/s
18.0 m/s
  arcsin
cos 20º  16.5º
59.7 m/s
vAT  59.7 cos16.5º 18.0sin 20º
 63.4 m/s  228 km/h
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