tipos de matrizes

MATRIZ
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
Me. Gilcimar Bermond Ruezzene
Definição de Matrizes
Matriz: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.
Amxn =
 a11

 a 21
 

 a m1
a12

a 22


a m2

a 1n 

a2n 
= [aij]mxn



a mn 
Elemento da linha i
e coluna j
Elemento da 2 ª linha e 1ª coluna
matriz A de m linhas e n colunas
TIPOS DE MATRIZES
 Matriz quadrada
m = n (x linhas = x colunas)
Diagonais
Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas.
Diagonal principal (i = j)
Elementos da
diagonal principal:
1, 1 e 2
1

 1

4
Diagonal secundária = (n + 1 = i + j)
2
1
1
2

3

2
Elementos da
diagonal secundária:
2, 1 e 4
Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)
Matrizes Triangulares
Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são
todos nulos.
 Matriz triangular superior
2

0

0
1
1
0
1

2

4
 Matriz triangular inferior
2

1
2

 4
0
0
1
0
3
4
5
7
Todas as matrizes triangulares são quadradas.
0

0
0

2 
Casos especiais de Matrizes Triangulares.
 Matriz diagonal
Apenas os elementos da diagonal
principal são diferentes de zero
2

0

0
0
4
0
0

0

7
 Matriz identidade
A identidade é uma matriz
diagonal cujo elementos da
diagonal principal são todos iguais
a um.
1

0

0
0
1
0
0

0

1
Chamamos a matriz acima de I3
(identidade de ordem 3)
No geral, In onde n é a ordem da
matriz.
 Igualdade
 Matriz nula
Todos os elementos são nulos.
0

0

0
0
0
0
0
0
0
0
 Então essa é O
3x4
0

0
Chamamos a matriz nula de Omxn
A Matriz nula não precisa ser
quadrada!
de Matrizes.
Duas matrizes são ditas idênticas
quando seus elementos
correspondentes são iguais.
2
3

1
 1 1
1 2
2 4
2
3

1
 1 1
1 2
2 4
Transposta  troca de linha por coluna (m x n => n x m )
 2 1
A   0 3
 1 4 3 x 2
2 0  1
A =
.

1 3 4  2 x 3
t
Matriz A transposta
Simétrica  Matriz quadrada tal que At = A
1 3
A

3
2

 2x2
=
1 3
A =
.

3 2 2 x 2
t
Matriz A transposta
Anti-Simétrica  Matriz quadrada tal que At = -A
 0 2  3
A   2 0  1
 3 1 0  3 x 3
 0  2 3
A t =  2
0 1 .
 3  1 0 3 x 3
Os elementos
da transposta
são os opostos
da original.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição
Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus
correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha
e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e
primeira coluna de B.
+
=
1  1  0 4
1 3
4 0    2 5



 
  2 5
2 5   1 0
3 5
O mesmo vale pra subtração.
É sempre possível
somar matrizes?
Não!
Somente quando
estas forem de
mesma ordem.
Multiplicação por escalar
Multiplicação por escalar ( número real qualquer)  multiplicamos todos os
elementos da matriz por este número.
 2.2  2.10   4  20
2 10 

 2

 2.
  2.1


6


2.3 

1  3
Matriz A
Matriz -2A
Multiplicação de matriz por matriz
CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes Amxn e Blxp se o
número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l).
A matriz C = AB será de ordem m x p.
2 1 
 2.1  1.0 2(1)  1.4 
4 2 .1  1  4.1  2.0 4(1)  2.4



 0 4 
 2x2
5.1  3.0 5(1)  3.4  3 x 2
5 3 3 x 2 
O produto da primeira linha pela
primeira coluna, gera o elemento C11.
O produto da primeira linha pela
segunda coluna, gera o elemento C12.
2
 4
5
2
4
7 
Em geral AB  BA, ou seja, o produto de matrizes não comutativo
Pode ser possível efetuar AB e não ser possível efetuar BA.
2 1 
1

1


 4 2 .

 0 4 


2x2
5 3 3 x 2
2.1 + 1.0
2.(-1) + 1.4
4.1 + 2.0
5.1 + 3.0
4.(-1) + 2.4
5.(-1) + 3.4
Observe,
multiplicamos
ordenadamente os
termos, ou seja,
multiplicamos o
primeiro elemento
da linha com o
primeiro elemento
da coluna e por aí
vai...
2

 4

5
2

4
7

EXEMPLO 1
Calcule o produto das matrizes:
 1 2 3  2 1 



 2 0 1 . 3 5 
 1 2 0  0 2



13
EXEMPLO 2
Dadas as matrizes
1 2


1
A  3 4 B  
2
5 6



calcule a matriz A – Bt é:
3 2

0 1
14
Inversão de Matrizes
Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se
existir uma matriz B tal que A.B = B.A = I.
A. A1  I n
EXEMPLO 3
Calcule a inversa da matriz A =