Equações de 1° grau

Equações de 1° grau
Acadêmicas:
Eliane Moreira da Silva
Lisiane Milan Selong
Objetivo geral da unidade:
Estimular no aluno a curiosidade, iniciativa,
exploração e consciência de seu
desenvolvimento lógico e aprendizagem,
levando-o a compreensão de conceitos,
procedimentos e estratégias a partir
das experiências acumuladas no seu
dia-a-dia. Além disso, propiciar um ambiente
capaz de promover a interação e a
aprendizagem matemática.
Objetivos específicos:
•Construir com o aluno o conceito de equação,
através de situações problema;
•Demonstrar através da história a origem das
equações;
•Diferenciar sentença aberta de sentença
fechada;
•Exemplificar o conceito de equação utilizando
material concreto;
•Distinguir expressão algébrica de equação;
•Determinar o conjunto solução de uma equação
dentro de um determinado conjunto universo;
•Reconhecer como equação do 1° grau com uma
incógnita toda equação equivalente a ax=b, onde
a,b Є Q e a≠0;
•Aplicar os princípios de equivalência para obter
equações equivalentes e mais simples na forma
ax=b;
•Escrever o conjunto solução da equação de
acordo com o conjunto universo dado;
•Traduzir uma sentença expressa em linguagem
corrente em uma sentença matemática;
•Identificar o que é dado e o que é pedido no
problema;
•Analisar o resultado e dar a resposta
conveniente ao problema;
Metodologia:
Aulas expositivas e dialogadas com a utilização de
quadro e giz, situações problemas, resolução de
exercícios, utilização de material concreto e software
educacional.
Avaliação:
A avaliação será feita pela observação do
desempenho do aluno tanto individualmente
quanto em grupo durante a realização das
atividades propostas, assiduidade, interesse,
trabalho em dupla e avaliação escrita.
Conteúdos:
1-Introdução à Álgebra:
Seqüências
Um jardineiro faz canteiros com mudas de rosa e mudas de margarida, arrumando
em grupos como os modelos abaixo.
No seu caderno, copie a tabela a seguir e relacione o número de mudas de
rosa que ele planta em cada grupo com o número de mudas de margarida.
ROSA
MARGARIDA
1
4
2
?
?
?
2-História das equações:
O enigma de Diofante
Até aquela época, os matemáticos gregos
preferiam estudar Geometria. Apenas Diofante se
dedicou à Álgebra.
A História não guardou muitos dados sobre a
vida de Diofante. Tudo o que sabemos dele estava
numa dedicatória gravada em seu túmulo — com
toda a certeza, escrita por Hipatia:
“Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E
os números podem mostrar — oh, milagre — quão longa
foi a sua vida”,
--------------x
--------------
cuja sexta parte constituiu sua formosa infância.
-----------x/6
E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido
quando de pêlos se cobriu o seu rosto.
----------x/12
E a sétima parte de sua existência transcorreu em um
matrimônio sem filhos.
-----------x/7
Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o
nascimento de seu primeiro filho,
--------------5
que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou
somente a metade da de seu pai.
------------x/2
E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido
apenas quatro anos ao descenso de seu filho.
--------------4
Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a
morte?”
Hoje nós sabemos decifrar esta dedicatória através
de uma equação:
x
x x x
x
  5 4
6 12 7
2
Fazemos os cálculos:
84 x 14 x  7 x  12 x  420  42 x  336

84
84
84 x  14 x  7 x  12 x  42 x  420  336
9 x  756
756
x
9
x  84
Agora podemos resolver todo o enigma,
substituindo x por 84:
“Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofante. E os
números podem mostrar — oh, milagre — quão longa foi a sua vida”,
--------------x=84
cuja sexta parte constituiu sua formosa infância.
----x/6=84/6=14
E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quando
--x/12=84/12=7
de pêlos se cobriu o seu rosto.
E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem
----x/7=84/7=12
filhos.
Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimento de
seu primeiro filho,
--------------5
que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente
----x/2=84/2=42
a metade da de seu pai.
E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas
quatro anos ao descenso de seu filho.
Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a morte?”
--------------4
Assim, ficamos sabendo que Diofante
morreu aos 84 anos. Quatro anos antes
presenciou a morte do filho, que tinha 42
anos:
½• 84 = 42
Diofante foi pai, portanto, com 38 anos e
casou-se aos 21 anos:
80 - 42 = 38
38 - 5 - 12 = 21
Os matemáticos da época de Hipatia e
Diofante não conheciam as equações.
Apenas os mais brilhantes eram capazes de
resolver problemas-desafio como este.
Matemáticos de várias partes do mundo adotaram a
regra do falso dos egípcios. Veja este famoso quebracabeça hindu do século VII:
“Um colar se rompeu quando brincavam dois namorados...
Uma fileira de pérolas escapou...
A sexta parte ao solo caiu...
A quinta parte na cama ficou...
Um terço pela jovem se salvou...
A décima parte o namorado recolheu...
E com seis pérolas o colar ficou...
Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar dos namorados?”
Um estudante hindu dessa época resolvia o
problema através da regra do falso; o montão
representava a quantidade de pérolas do colar.
Escolhia um valor falso:
Valor falso = 60
1
1
1
1
60  .60  .60  .60  .60 
6
5
3
10
60  10  12  20  6  12
Montava uma regra de três simples:
VALOR FALSO
VALOR VERDADEIRO
60
Montão
12
6
60
montão

12
6
montão.12  60.6
360
montão 
12
montão  30
Descobria assim que o colar dos namorados tinha 30
pérolas.
Vamos conferir o resultado resolvendo o problema
através de uma equação:
x
x
x
x
6



10
3
5
6
x 
x
x
x




30. x 
  30.6
10 
3
5
6

30 x  5 x  6 x  10 x  30  180
6 x  180
180
x 
6
x  30
x
3 - De símbolos a palavras; de palavras a
símbolos:
Quando escrevemos uma expressão algébrica, por
exemplo:
x-l
podemos imaginar uma frase que seja representada por essa
expressão: "Pedro tem um livro a menos que Carol."
Se x representa o número de livros que Carol possui, x
— l representa a quantidade de livros de Pedro.
Podemos pensar numa outra interpretação:
"Se x representa um número inteiro, x — l representa o
antecessor desse número."
Outra expressão algébrica:
2y-l
pode representar a frase:
"O dobro de um número menos l" ou ainda:
"Subtraindo l ano do dobro da idade de Sandro,
obtemos a idade de Ana."
Se y representa a idade de Sandro, 2y — l
representa a idade de Ana.
Também podemos fazer o inverso: dada uma frase,
representá-la por meio de uma expressão algébrica.
Veja:
• um número somado com 5: b + 5;
• a diferença entre um número e 10: y — 10;
• o dobro de um número: 2 • x ou 2x;
• se Pedro é l ano mais velho que Manuel e a idade
de Manuel é representada por a, representamos a
idade de Pedro por a + 1.
4-Sentenças matemáticas fechadas e
sentenças matemáticas abertas:
As sentenças matemáticas
A maneira como a Matemática se desenvolveu, com a descoberta de
relações entre M medidas, por exemplo, fez com que os matemáticos se
vissem obrigados a usar símbolos que viessem a simplificar a escrita das
sentenças matemáticas relativas a tais relações. Os símbolos que
surgiram espontaneamente foram as letras dos diversos alfabetos mais
conhecidos assim como sinais específicos indicando operações e
relações.
Assim, para afirmar que a área do retângulo é o produto das duas
dimensões, convencionou-se estabelecer a fórmula que vocês já
conhecem, ou seja:
S =b•h
Onde: S, b e h são símbolos que representam, respectivamente, a medida
da área do retângulo, a medida da base e a medida da altura.
Temos, nesta fórmula, uma sentença matemática escrita
simbolicamente; é uma sentença porque é a expressão de um
pensamento completo, ou seja, traduz uma idéia formando sentido
completo.
Assim, toda relação entre estes matemáticos passou a expressar-se
por meio de símbolos, ou seja, por meio de sentenças matemáticas
escritas na linguagem simbólica.
5-Equação:
Denomina-se equação toda sentença matemática aberta
expressa por uma igualdade que tem pelo menos um número
desconhecido representado por uma letra.
Como toda equação é uma igualdade, temos:
x + 2 = 6→2° membro da equação
↓
1° membro da equação
x – y = 10→2° membro da equação
↓
1° membro da equação
6-Variável ou incógnita de uma equação:
Observe:
5x + 2
2x + 3 = 7
Qual a diferença entre as duas sentenças
matemáticas?
Que nome se dá ao “x” nessas duas sentenças?
•5x + 2→ é uma expressão algébrica, nesse
caso o “x” recebe o nome de variável;
•2x + 3 = 7→é uma equação algébrica (é
expressa por uma igualdade), nesse caso o
“x” recebe o nome de incógnita;
7-Conjunto universo e conjunto solução de
uma equação:
Representação:
U = conjunto universo
S = conjunto solução (conjunto verdade)
Recordemos os conjuntos numéricos já estudados, para
posterior aplicação:
N = {números naturais} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Z = {números inteiros} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q = { números racionais} = { ..., -2, ..., -1, ..., -½, ..., 0, ..., ⅓, ..., 1,
...}
Veremos, por meio de exercícios práticos, o significado de
conjunto universo e conjunto solução de uma equação.
Qual o elemento do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} que torna
verdadeira a equação x + 1 = 3?
Resposta: O elemento é 2, pois (2) + 1 = 3
Significado:
O conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} é denominado conjunto universo
da equação.
O conjunto {2} é denominado conjunto solução da equação
(relativo aquele conjunto universo).
Em síntese:
Equação: x + 1 = 3
U = {0, 1, 2, 3, 4}
S = {2}
Conjunto universo é o conjunto formado por todos os
valores pelos quais a variável pode ser substituída.
Conjunto solução é o conjunto constituído por todos os
elementos do conjunto universo dado, que tornem verdadeira
a equação.
8-Equação do 1° grau com uma incógnita:
1°) x = 11
2°) 3y = 21
3°) -10t = 2
4°) 6p = -1
5°) 5m = 0
6°) 7x – 1 = 6x + 11
7°) y + ⅔y = 120
→ A incógnita é x
→A incógnita é y
→ A incógnita é t
→A incógnita é p
→ A incógnita é m
→ A incógnita é x
→ A incógnita é y
Como reconhecer, então, se uma equação é do 1° grau com
uma incógnita?
Toda equação que, reduzida à sua forma mais simples,
assume a forma ax = b, em que x representa a incógnita e a e
b são números racionais, com a ≠ 0, é denominada equação
do 1° grau com uma incógnita.
Os números a e b são denominados coeficientes da
equação.
9- Resolvendo uma equação do 1° grau com
uma incógnita:
Resolver a equação 3x + 1 = 37 sendo U = Q.
Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (-1) aos
dois membros da equação, isolando o termo que tem a
incógnita x no 1° membro:
3x + 1 = 37
3x + 1 + (-1) = 37 + (-1)
3x +1 -1 = 37 – 1
3x = 36
Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os
dois membros da equação por ⅓, descobrindo assim o
valor do número x.
3x . (⅓) = 36 . (⅓)
x = 12
Como 12 Є Q, temos S = {12}
De forma prática:
3x + 1 = 37
3x = 37 – 1 → aplicamos o princípio aditivo
3x = 36
x = 36 ÷ 3 → aplicamos o princípio multiplicativo
x = 12
Como 12 Є Q, temos S = {12}
10-Explorando a idéia de equilíbrio e
resolvendo equações de 1° grau com uma
incógnita:
Vamos agora trabalhar com mais um modo de resolver
equações.
A igualdade traduz uma idéia de equilíbrio. Equilíbrio faz a
gente se lembrar de uma balança de dois pratos. Assim,
uma equação (que é uma igualdade) pode ser vista como
uma balança de dois pratos em equilíbrio.
Observe esta balança de pratos equilibrada e considere todas
as latinhas com o mesmo "peso", que vamos representar por
x.
Qual é o "peso" de cada latinha, ou seja, qual é o valor de x?
Equação correspondente:
5x + 50 = 3x + 290
Quanto tiramos pesos iguais de cada prato, a balança
continua equilibrada.
Vamos tirar 50 g de cada prato.
Usamos o princípio aditivo da igualdade. Somando -50 a
ambos os membros da igualdade, obtemos outra
igualdade: 5x + 50 - 50 = 3x + 290 - 50
5x = 3x + 240
(equação equivalente à anterior)
Tirando três latinhas de cada prato, a balança continua
equilibrada.
Outra vez usamos o princípio aditivo da igualdade.
Somando -3x a ambos os membros da igualdade, temos uma
nova igualdade:
5x = 3x + 240
5x - 3x = 3x + 240 - 3x
2x = 240
(equação equivalente à anterior)
Se duas latinhas de mesmo "peso", juntas, "pesam" 240 g,
cada uma "pesa" 240 : 2 = 120 g. Assim o "peso" de cada
latinha é de 120 g.
Se 2x = 240, pela operação inversa obtemos x:
x = 240 : 2
x = 120
Verificando:
Verificando:
5x + 50 = 3x + 290
5 . 120 + 50 = 3 . 120 + 290
600 + 50 = 360 + 290
650 = 650 (está correto)
11- Usando as equações para resolver
problemas:
Veja algumas dicas abaixo. Elas serão importantes para equacionar e
resolver as situações-problema:
•Leia com atenção a situação dada verificando o que se conhece e o que se vai
determinar;
•Represente um valor desconhecido por uma letra;
•Escreva uma equação envolvendo essa letra, seguindo as informações da
situação;
•Resolva a equação obtendo o valor da letra;
•Faça a verificação conferindo se acertou;
•Escreva a resposta.