Trigonometria e Aplicações

Trigonometria e aplicações
A trigonometria possui uma infinidade
de aplicações práticas. Desde a antiguidade
já se usava da trigonometria para obter
distâncias impossíveis de serem calculadas
por métodos comuns.
Algumas aplicações da trigonometria
são:
- Determinação da altura de um certo
prédio.
Os gregos determinaram a medida do raio da
terra, por um processo muito simples.
Um engenheiro precisa saber a largura de um
rio para construir uma ponte, o trabalho dele é
mais fácil quando ele usa dos recursos
trigonométricos.
Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa
saber a altura de uma montanha, o comprimento
de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria
anos para desenhar um mapa.
Tudo isto é possível calcular com o uso da
trigonometria do triângulo retângulo.
Triângulo Retângulo
É um triângulo que possui um ângulo
reto, isto é, um dos seus ângulos mede
noventa graus, daí o nome triângulo
retângulo. Como a soma das medidas dos
ângulos internos de um triângulo é igual a
180°, então os outros dois ângulos
medirão 90°.
Observação: Se a soma de dois
ângulos mede 90°, estes ângulos são
denominados complementares, portanto
podemos dizer que o triângulo retângulo
possui dois ângulos complementares.
Lados de um triângulo retângulo
Os lados de um triângulo retângulo
recebem nomes especiais. Estes nomes
são dados de acordo com a posição em
relação ao ângulo reto.
O lado oposto ao ângulo reto é a
hipotenusa. Os lados que formam o
ângulo reto (adjacentes a ele) são os
catetos.
Propriedades do triângulo retângulo
Ângulos: Um triângulo retângulo
possui um ângulo reto e dois ângulos
agudos complementares.
Lados: Um triângulo retângulo é
formado por três lados, uma hipotenusa
(lado maior) e outros dois lados que são
os catetos.
Altura: A altura de um triângulo é um
segmento que tem uma extremidade num
vértice e a outra extremidade no lado
oposto ao vértice, sendo que este
segmento é perpendicular ao lado oposto
ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo
retângulo, sendo que duas delas são os
catetos. A outra altura (ver gráfico acima)
é obtida tomando a base como a
hipotenusa, a altura relativa a este lado
será o segmento AD, denotado por h e
perpendicular à base.
•
•
•
o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa
CB, indicada por a.
o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do
cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto
b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
Funções trigonométricas básicas
As Funções trigonométricas básicas
são relações entre as medidas dos lados
do triângulo retângulo e seus ângulos.
As três funções básicas mais
importantes da trigonometria são: seno,
cosseno e tangente. O ângulo é indicado
pela letra x.
Função Notação
seno
sen(x)
cosseno cos(x)
Definição
cateto oposto y
sen( ) 

hipotenusa
h
cateto adjacente x
cos( ) 

hipotenusa
h
tan( ) 
tangente tan(x)
cateto oposto
y/h y h y

  
cateto adjacente x / h h x x
Valores das funções trigonométricas para alguns
ângulos-chave
Existem alguns ângulos do primeiro
quadrante para os quais é possível
determinar facilmente os valores tomados
pelas funções trigonométricas.
Para ângulos de outros quadrantes,
torna-se necessário efetuar em primeiro
lugar uma redução ao primeiro
quadrante.
Em resumo, temos o seguinte quadro:
Valores do argumento  (radianos)
π/6
π/4
π/3
1/2
2 /2
3/2
sen
0
0
cos
1
3/2
tan
0
3 /3
cotg
∞
0º
2 /2
1
π/2
1
1/2
0
3
∞
1
3
3 /3
30º
45º
60º
Valores do argumento  (graus)
0
90º
Exemplos:
1) Um vaivém em órbita terrestre descreve
um trajeto tipicamente circular a uma altitude
de cerca de 300km acima da superfície.
Sabendo que o raio da Terra é 6380km,
escreva a expressão para a distância do
horizonte àquela altitude, e calcule o seu valor.
Solução:
Seja R o raio da Terra e h a altitude do
vaivém acima da superfície da Terra.
Pretende-se determinar a distância d.
O ângulo a é reto porque a reta a que
pertence o segmento de comprimento d é
perpendicular ao raio da Terra – é
tangente à superfície.
Aplicando o teorema de Pitágoras,
temos:
R 2  d 2  ( R  h) 2  d 2  h 2  2Rh  d  h 2  2Rh
d  3002  2  6380  300  2,00  103 km  2000km
2)Determine o seno, o cosseno e a
tangente do menor ângulo do triângulo
retângulo cujos os catetos medem 9 cm
e 12 cm.
Resolução:
Primeiro usamos o teorema de pitágoras
para descobrir o valor da hipotenusa e depois
calculamos os valores do seno , cosseno e da
tangente.
h2  a 2  b2
h 2  92  122
 h 2  81  144
h 2  225  h  225  15
9
12
9
sen  
; cos  
; tg  
15
15
12
3) Um avião levanta vôo e sobe
fazendo um âmgulo contante de 15º com
a horizontal. A que altura estará e qual a
distância percorrida, quando alcançar a
vertical que passa por uma igreja situada
a 2 km do ponto de partida? ( dado: sem
15º = 026 e tg 15º = 0,27).
Solução
O cálculo da altura é feito pela relação da
tag de 15º.
tg 15º 
C.O
x
 tg 15º 
 x  2000 . 0,27  x  540m
C. A
2000
O cálculo da distância percorrida é feito
através do sen15º.
sen 15º 
C.O
x
540
 sen15º   y 
 x  2076,9m
h
y
0,15
4) Num triângulo retângulo um cateto
mede mede 15 cm e a hipotenusa 17 cm.
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do
maior ângulo agudo desse triângulo.
Solução:
Primeiro aplicamos o teorema de
pitágoras para achar o valor do outro
cateto.
h  a b
2
2
2
17 2  x 2  152
x 2  289  225
 289  x 2  225
 x  64  8 cm
Depois calculamos os valores do seno,
cosseno e da tangente .
15
8
sen 
; cos  
17
17
15
; tg  
8
Redução ao primeiro quadrante
Consideremos o ciclo trigonométrico abaixo:
YY'
P''
P'
P
y

O
x
XX'
x'
Figura 9. Novamente o círculo trigonométrico (de raio unitário). A ordenada (“altura”) do ponto P’ representa a
tangente de , e a abcissa do ponto P’’ representa a co-tangente de .
Sinal das Funções em cada Quadrante
Monotonia das funções trigonométricas
1ºQ
2ºQ
3ºQ
4ºQ
sen
+
–
–
+
cos
–
–
+
+
tan
+
+
+
+
cotg
–
–
–
–
"+" = crescente
"–" = decrescente
Redução ao primeiro quadrante
O círculo trigonométrico é usualmente
dividido segundo regiões denominadas
quadrantes, como indicado na figura
abaixo.
São quatro, e indicam-se de acordo
com o sentido do crescimento dos ângulos
sentido anti-horário.
Assim,
iremos
descobrir
o
comportamento
das
funções
trigonométricas nos restantes quadrantes,
e compará-lo com os valores tomados
pelas funções trigonométricas para
ângulos do primeiro quadrante.
Na figura vista anteriormente , o 1ºQ
corresponde ao intervalo 0 < a < /2, o
2ºQ a /2 < a < , o 3ºQ a  < a < 3/2, e
o 4ºQ a 3/2 < a < 2.
Para fazer a redução do 2º quadrante
para o 1º devemos usar a seguinte
relação:
sen  (180º  x)  sen 
cos  (180º  x )   cos 
Para fazer a redução do 3º quadrante
para o 1º devemos usar a seguinte
relação:
sen  (180º  x)   sen 
cos  (180º  x )   cos 
Para fazer a redução do 4º quadrante
para o 1º devemos usar a seguinte
relação:
sen  (360º  x)   sen 
cos  ( 360º  x )  cos 
Exercícios:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1) Calcule o seno e o cosseno dos
valores abaixo:
210º
150º
330º
240º
1590º
2460º