Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita II Curso de Física Geral F-428 As transformações de Lorentz •Se, no referencial S, dois eventos estão separados por uma diferença de coordenada ; e ocorrem em dois instantes de tempo separados por , no referencial S’ teremos: x (x vt ) v t (t 2 x) c •Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente único: o espaço-tempo. •Podemos também inverter as transformações acima: x (x vt ) v t (t 2 x) c Prob.1: Dois eventos ocorrem no mesmo ponto em um certo referencial inercial e são separados por um intervalo de tempo de 4 s. Qual é a separação espacial entre estes dois eventos em um referencial inercial no qual os eventos são separados por um intervalo de tempo de 6 s ? Prob.2: Uma nave espacial de comprimento l0 viaja a uma velocidade constante v, relativa ao sistema S, ver figura. O nariz da nave (A’) passa pelo ponto A em S no instante t0 = t0’= 0 e neste instante envia um sinal de luz de A’ para B’. (a) Quando, no referencial S’ do foguete, o sinal chega à cauda B’ da nave? (b) Em que instante tB, medido em S, o sinal chega à cauda (B’ ) da nave? (c) Em que instante t, medido em S, a cauda da nave (B’ ) passa através do ponto A? A relatividade das velocidades Vimos que: x (x vt ) Portanto: dx (dx vdt) v t (t 2 x) c v dt (dt 2 dx) c dx u x v Logo: u x dt 1 v u x 2 c Na transformação clássica de Galileu teríamos (v << c) dx ux v : u x dt A relatividade das velocidades Podemos ainda deduzir expressões para as velocidades nos outros eixos: 2 ( 1 ) uy dy u y v ux dt 1 2 c (1 2 ) u z dz uz v ux dt 1 2 c As transformações podem ser invertidas, trocando-se os índices linha e v por –v. Então, se u x v c ux c teremos: u x v u x 1 2 c A transformação estará coerente com o fato da velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e que nenhuma velocidade pode excedê-la. Prob. 3: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito, também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ? y L 0 L0 = 350 m v = 0,82 c v Velocidade do meteorito em relação à nave: ux v ux v ux 1 2 c S v x vv 2v 1,64 c v 0,98 c 2 2 v ( v) v 1 (0,82) 1 2 1 2 c c v 2,94 108 m/s L0 350 m t0 1,19 s 8 v 2,94 10 m/s O efeito Doppler da luz • No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do observador. Isto, porque o som propaga-se no ar, e ambos podem ter velocidades relativas a este. Já para a luz, que propaga-se no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e observador. O efeito Doppler da luz Se o observador O em S descreve uma onda eletromagnética pela expressão sin( kx t ) o observador O’ em S’ deverá observar sin( k x t ) e, pelo princípio da relatividade, devemos ter kx t k x t Então, usando que x ( x vt ) e v t (t 2 x) c podemos mostrar que: v k k 2 c e vk O efeito Doppler da luz Mas, como: c k k k k 1 e 1 1 f f 1 Esta expressão é válida no caso do observador e a fonte estarem se afastando. Se estiverem se aproximando devemos trocar por . O efeito Doppler da luz Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação v Se 2 k 1 cos , “Doppler transverso”. Note que aqui o objeto em movimento emite radiação com freqüência conhecida 0 1 2 0 O efeito Doppler na astronomia • Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma velocidade relativamente pequena, . Neste caso temos: Em termos dos comprimentos de onda, temos: •Logo, sendo v > 0 temos Deslocamento da luz para o vermelho •Se a estrela estiver se aproximando (v < 0) teremos < 0 Deslocamento da luz para o azul Prob. 4: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c. Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde, amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre. v = 0,20c • Efeito Doppler da luz (se afastando): f f 1 1 c c 1 1 1/ 2 a) 1 1 1/ 2 1/ 2 1,2 450 nm 0,8 b) Luz "verde-amarelada": 551 nm Dinâmica relativística Na mecânica Newtoniana temos dp F dt , onde o momento linear é definido por: F 0 p mv p const. Procuramos um análogo relativístico desta expressão que tenha as seguintes propriedades: a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas isolados, assim como na mecânica Newtoniana. b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite . Dinâmica relativística Colisão das partículas a e b, de mesma massa, no referencial S’. Por exemplo, o referencial do C.M. das partículas Fext 0 p const. y vb(depois) vb(antes) (antes) (antes) mva m v = + b (depois) (depois) mva + mvb S’ x va(antes) va(depois) Momento linear relativístico Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades: dx ux v ux dt 1 v ux c2 (1 ) uz dz uz v ux dt 1 2 c 2 2 ( 1 ) u y dy uy v u x dt 1 2 c ... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao longo do eixo x ... Momento linear relativístico antes vx vax antes vx vbx antes vy vay antes vy vby v vx v v vy v depois ax depois ay depois bx depois by vx vy antes vax depois vax transformação de Lorentz das velocidades y S’ vb(depois) vb( antes) va( antes) va(depois) vx v 1 ( vx v / c 2 ) vx v 1 ( vx v / c 2 ) antes vbx depois vbx vx v 1 ( vx v / c 2 ) vx v 1 ( vx v / c 2 ) 2 1 vy antes vay 1 ( vx v / c 2 ) 2 1 vy antes vby 1 ( vx v / c 2 ) 2 1 vy depois vay 1 ( vx v / c 2 ) 2 1 vy depois vby 1 ( vx v / c 2 ) x Momento linear relativístico p mv não nos fornece uma expressão para o momento linear que seja invariante pelas transformações de Lorentz. Momento linear relativístico Entretanto, pode-se mostrar que teremos uma quantidade conservada definindo: p m( v ) v m0 m(v) m0 2 2 1 v c onde m0 é a massa do corpo no referencial em que ele se encontra em repouso. A força é, então, dada por dp d F (m0 v ) dt dt Energia relativística (Supondo Epotencial = 0 ) • A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula continua sendo dada por: dK dp dt r r F v v dt r d ( m0 v ) d ( m0 v ) K F dr dr v dt dt dt 0 0 0 v K m0c 2 d( 0 v /c 1 v / c 2 2 ) (v / c) m0c 2 v então: K m0c mc E 2 1 v2 / c2 1/ 2 x dx 2 2 m0c x 1 2 1/ 2 (1 x ) 0 K (m m0 )c 2 ( 1) m0c 2 2 x v/c onde : E m m0 2 Energia mc Total v 0 Energia relativística 1 1 ( v / c) 2 Relação energia-momento linear Usando que mc v temos p 2 c p mv 2 c p v E 2 Como E 2 m 2 c 4 2 m02 c 4 obtemos: E 2 m02 c 4 c p 1 2 2 c E 4 2 E m c p c 2 Se m0 = 0 2 4 0 2 2 E pc • Lembrando que a radiação eletromagnética transporta momento linear p U / c , podemos imaginá-la como composta por corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante. Energia relativística • Limite clássico da energia Expandindo E para v/c << 1 temos: 2 4 m0 c 2 v 3 v 2 E m c 1 ... 0 2 4 2 2 1 v c 2c 8c 2 2 2 m v 3 m v v 2 0 0 E m0 c 2 ... 2 8 c Energia de repouso: E m0 c 2 2 m v Energia cinética para v/c << 1 : K 0 2 Energia relativística • A energia de um sistema isolado se mantém constante Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia ∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa: Q m m f mi 2 c Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares, embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível. Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua velocidade), sua massa também aumenta: E m 2 c Colisões relativísticas •Efeito Compton (será estudado no Cap. 38) E1 c ( m1 0) p2 0 E p3 c p1 p1 p2 p3 p4 p4 ? E1 E2 E3 E4 Prob. 5: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que a sua energia de repouso ? E mc 2 3 (m0c 2 ) mas: E 2 m02c 4 p 2c 2 8m02 c 2 p 2 9m02 c 4 m02c 4 p 2c 2 p 2 2 m0 c Prob. 6: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ; (b) de ; (c) da razão sua energia cinética e energia de repouso. p m( v ) v m0 c m0 v 2 1 / 2 v 1 c2 m0 c a) v2 v 1 2 2 1 0,707 c 2 c b) 1 1 2 1,414 1 1 / 2 1 / 2 c) K ( 1) m0c 2 1,414 1 0,414 2 E0 m0c v 2 v 2 1 2 2 c c Prob. 7: Uma partícula com massa de repouso de 2 MeV/c2 e energia cinética de 3 MeV colide com uma partícula estacionária com massa de repouso de 4 MeV/c2. Depois da colisão, as duas partículas ficam unidas. a) Determine o momento inicial do sistema. b) A velocidade final do sistema de duas partículas. c) A massa em repouso do sistema de duas partículas. Relatividade Geral • Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece acelerado, se visto de um referencial não-inercial. • Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia: É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante daquela num referencial uniformemente acelerado! O elevador de Einstein Relatividade Geral • Princípio da equivalência de Einstein Num recinto suficientemente pequeno (para que o campo gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme), em queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo gravitacional. a g (a) ag Relatividade Geral • Só precisamos de geometria para descrever trajetórias retilíneas, vistas de referenciais não-inerciais. • Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia curvatura do espaço-tempo! “A massa diz ao espaço-tempo como se curvar; e o espaço-tempo diz à massa como se mover”!