Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita - II

Aula-6
Teoria da Relatividade
Restrita - II
Física Geral F-428
1
As transformações de Lorentz
• Se, no referencial S, dois eventos estão separados
por uma diferença de coordenada
;e
ocorrem em dois instantes de tempo separados por
, no referencial S’ teremos:
∆ x ′ = γ ( ∆ x − v∆ t )
v
∆t ′ = γ (∆t − 2 ∆x)
c
H. A. Lorentz
(1853 – 1928)
• Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes
independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente
único: o espaço-tempo.
• Podemos também inverter as transformações acima:
∆x = γ ( ∆x′ + v∆t ′)
v
∆t = γ (∆t ′ + 2 ∆x′)
c
2
A relatividade das velocidades
Vimos que:
∆ x ′ = γ ( ∆ x − v∆ t )
Portanto:
dx′ = γ (dx − vdt)
v
∆t ′ = γ (∆t − 2 ∆x)
c
v
dt ′ = γ (dt − 2 dx)
c
dx ′ u x − v
Logo: u ′x =
=
dt ′ 1 − v u x
2
c
Na transformação clássica
de Galileu teríamos (v << c) :
dx ′
u ′x =
= ux − v
dt ′
3
A relatividade das velocidades
Podemos ainda deduzir expressões para as relações entre
as demais componentes nos outros eixos:
2
β
(
1
−
) uy
′
dy
u ′y =
=
v ux
dt ′
1− 2
c
(1 − β 2 ) u z
dz′
=
u′z =
v ux
dt ′
1− 2
c
• As transformações podem ser invertidas, trocando os
índices com linha ↔ sem linha e v por –v :
u ′x + v
=c
• Se: u ′x = c teremos: u x =
v u ′x
1+ 2
c
Portanto, a transformação está coerente com o fato da
velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e
nenhuma velocidade poder excedê-la.
4
O efeito Doppler da luz
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações
em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector.
Isto, porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se
propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a
fonte e o detector.
Som
5
O efeito Doppler da luz
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga
no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o
detector.
λv
●
Fonte
v
λa
Detector
6
O efeito Doppler da luz
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga
no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o
detector.
Detector
λv
●
Fonte
v
λa
7
O efeito Doppler da luz
Se o observador O, em S, descreve o campo E ( x, t ) = E0 sin( kx − ωt )
de uma onda eletromagnética, o observador O’, em S’, deverá
observar E ′( x′, t ′) = E0′ sin( k ′ x′ − ω ′ t ′). Pelo princípio da relatividade,
devemos ter invariância de fase:
kx − ωt = k ′x′ − ω ′t ′
Então, usando que:
x = γ ( x′ + vt ′)
e
v
t = γ (t ′ + 2 x′)
c
podemos mostrar que:
vω 

k′ = γ  k − 2 
c 

e
ω ′ = γ (ω − vk )
8
O efeito Doppler da luz
Mas: c =
k ′ = γ k (1 − β )
e
1− β
f′= f
1+ β
ω ′ = γ ω (1 − β )
λ´, f ´
ω
k
=
ω′
k′
;
f =
c
λ
v
;β =
c
●
Fonte
v
Esta expressão é válida no caso do observador ( f ´ = fobs)
e a fonte ( f = f0) estarem se afastando (β > 0).
9
O efeito Doppler da luz
Mas: c =
k ′ = γ k (1 − β )
e
1+ β
f′= f
1− β
ω ′ = γ ω (1 − β )
ω
k
=
ω′
k′
;
f =
c
λ
v
;β =
c
●
Fonte
v
λ´, f ´
Esta expressão é válida no caso do observador (f ´ = fobs)
e a fonte ( f = f0 ) estarem se aproximando (β < 0).
10
O efeito Doppler da luz
Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação:
r
k ′; ω ′
Fonte
θ
r
kθ ; ωθ
Observador
ω ′ = γ ωθ (1− β cosθ )
Se θ = π
“Doppler transverso”. Note que aqui a fonte em
2
movimento emite radiação com frequência conhecida ω ′ = ω0 .
ω90º = ω0 1 − β
2
11
O efeito Doppler na Astronomia
• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma
velocidade relativamente pequena,
. Neste caso temos:
Em termos dos comprimentos de onda, temos:
•Se a estrela estiver se afastando
( v > 0 ) temos λ > λ0
Deslocamento da luz
para o vermelho
•Se a estrela estiver se aproximando
(v < 0) teremos λ < λ0
Deslocamento da
luz para o azul
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif
12
Observações experimentais
e suas implicações para a Cosmologia:
Em 1929, Edwin Hubble propôs que o desvio para o vermelho
observado para as linhas espectrais originadas de átomos de cálcio
de galáxias distantes era devido ao efeito Doppler:
as galáxias estariam se afastando de nós.
É possível medir a velocidade de recessão V de várias galáxias e
Hubble encontrou V = H0 r , com H0 é a constante de Hubble =
= 71 ± 4 km/s/Mpc.
Esta é a primeira evidência experimental
da expansão do Universo!
13
Dinâmica relativística
Na Mecânica Newtoniana temos
r dpr
F=
dt
, onde o momento linear é definido por:
r
F =0
⇒
r
r
p = mv
r
p = const.
Procuramos um análogo relativístico desta expressão que
tenha as seguintes propriedades:
a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas
isolados, assim como na Mecânica Newtoniana.
b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite
.
14
Dinâmica relativística
Colisão das partículas a e b, de
mesma massa, no referencial S’.
Vamos definir o referencial S´ como
aquele em que o momento total seja
nulo (Ref.
r Centro de Momento=RCM).
r
p = const. r′(depois )
Se Fext = 0 ⇒
vb
y′
r
vb′(antes )
r (antes)
r (antes)
mva′
=
+ mvb′
r
r
mva′(depois)+ mvb′(depois)
S’
x′
r (antes )
va′
r
v′a(depois )
15
Momento linear relativístico
Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades:
dx u′x + v
ux = =
dt 1 + v u′x
c2
(1 − β ) u′z
dz
uz = =
v u′x
dt
1+ 2
c
2
2
(
1
−
β
) u ′y
dy
uy =
=
v u ′x
dt
1+ 2
c
... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial
S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao
longo do eixo x ...
16
Momento linear relativístico
v′axantes = v′x
vbx′antes = −v′x
v′ayantes = v′y
vby′antes = −v′y
v′axdepois = v′x
vbx′depois = −v′x
′depois = −v′y
vay
vby′depois = v′y
transformação
de Lorentz das
velocidades
vx =
dx
v′ + v
= x
dt 1 + v v′x
c2
(1 − β 2 ) v′y
dy
vy =
=
v v′x
dt
1+ 2
c
y
y′
S’
S
v
x
r
v b′ ( depois
ma = mb = m
antes
vax
r
v ′a ( antes )
v′x + v
=
1 + ( v′x v / c 2 )
depois
vax
)
v′x + v
=
1 + ( v′x v / c 2 )
r
v b′ ( antes )
r
v ′a ( depois )
antes
vbx
x′
− v′x + v
=
1 − ( v′x v / c 2 )
depois
vbx
− v′x + v
=
1 − ( v′x v / c 2 )
2
β
1
v′y
−
antes
vay =
1 + ( v′x v / c 2 )
2
β
1
v′y
−
−
antes
vby =
1 − ( v′x v / c 2 )
2
−
1
−
β
v′y
depois
vay =
1 + ( v′x v / c 2 )
2
1
−
β
v′y
depois
vby =
17
1 − ( v′x v / c 2 )
Momento linear relativístico
r
r
p = mv
não fornece uma expressão tal que o momento
linear total conservado na colisão.
18
Momento linear relativístico
Mas, pode-se mostrar que o momento total será uma quantidade
conservada se definirmos:
r
(com m0 sendo a massa do corpo
r
r
m0 v
no referencial em que o corpo se
p = γ m0 v =
2
2
1− v / c
encontra em repouso.)
• Pode-se ainda definir uma massa relativística, dada por:
m0
m(v) = γ m0 =
2
2
1− v c
• A força é, então, dada por:
r
r dp d
r
F=
= (m0γ v )
dt dt
19
Energia relativística
(Supondo Epotencial = 0 )
• A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula
r r
r
continua sendo dada por:
r
dK
dp
dt
r
r
r
r
r r
= F ⋅v = v ⋅
p = γ m0 v
dt
r
r
r
r
r r
d ( m0γ v ) r
d ( m0γ v ) r
K = F ⋅ dr =
⋅ dr =
⋅ v dt
dt
dt
0
0
0
∫
∫
r
v
K = m0c
2
∫ d(
0
∫
r
v /c
1− v / c
2
2
r
) ⋅ ( v / c ) = m0c 2
K + m0 c = mc = E
2
2
x=
1 − v2 / c2
[(
r
v
)
1/ 2
x dx
2
2
= m0c x + 1
2 1/ 2
(1 + x )
0
∫
K = (γ − 1) m0 c 2 = ( m − m0 )c 2
então:
v/c
onde :
m = γ m0
⇒ E = mc
2
Energia
Total
20
]
v
0
Veja uma outra forma de deduzir essas expressões
da energia total e da energia cinética
(através de derivada, não de integral)
no arquivo “Dinâmica Relativística”.
21
Energia relativística
γ≡
1
1 − ( v / c) 2
Relação energia-momento linear
Usando que
r
r
p = mv
r
r mc v
temos p = 2
c
2
r
r c p
v=
E
2
⇒
Como E 2 = m 2 c 4 = γ 2 m02 c 4 obtemos:
2 4
m
2
0c
E =
 c4 p2 
1 − 2 2 
 c E 
E =m c + p c
2
Se m0 = 0
2 4
0
2 2
E = pc
• Portanto, a radiação eletromagnética transporta um momento
linear ∆p = ∆U / c , e podemos imaginá-la como composta por
corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.
22
Energia relativística
pontos experimentais (x)
• Limite clássico da energia
Expandindo E=mc2 para v/c << 1 :
m0 c 2
v 2 3v 4

2
E=
=
1
+
+
+
...
m
c


0
2
4
2
2
1− v c
 2c 8c

2
2
2
m
v
3
m
v
v


2
0
0
E = m0 c +
+
 2  + ...
2
8 c 
Energia de repouso: E = m0 c 2
Energia cinética para v/c << 1 :
m0 v 2
K≈
2
23
Energia relativística
Experimento de William Bertozzi para medir v
e K de elétrons relativísticos no acelerador
linear no MIT (Amer.Jour.Phys. 32(1964)551)
pontos experimentais (x)
Energia de repouso:
E = m0 c 2
2
m
v
Energia cinética para v/c << 1 : K ≈ 0
2
24
Procedimento mais usual: usar apenas a massa
de repouso da partícula nas nossas equações,
que é a única massa definida para a partícula.
As equações da dinâmica ficarão:
r
p = p = γmv
2
2 4
2 2
E =m c + p c
E = γmc = mc + Ecin
2
2
Ecin = E − mc = (γ − 1)mc
2
2
25
Energia relativística
• A energia de um sistema isolado se mantém constante.
Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia
∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa:
∆E = ( ∆m ) c = −Q
2
Q
∆ m = m f − mi = − 2
c
Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares,
embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível.
Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua
velocidade), sua massa também aumenta:
∆E
∆m = 2
c
26
Relatividade Geral
• Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece
acelerado, se visto de um referencial não-inercial.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia:
É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante
daquela num referencial uniformemente acelerado!
O elevador de
Einstein
27
Relatividade Geral
• Princípio da equivalência de Einstein
Num recinto suficientemente pequeno para que o campo
gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme e em
queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as
mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo
gravitacional.
r
a
r
a
r
g
(a)
r r
a=g
r r
a=g
28
Relatividade Geral
• Só precisamos de geometria para descrever trajetórias dos corpos.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma
força de inércia
curvatura do espaço-tempo!
“A massa diz ao espaço-tempo como se
curvar; e o espaço-tempo diz à massa
como se mover”!
29
Expressão geral para o efeito Doppler:
f´ = γ f (1 - β cosθ )
v
×P
S´
θ
S
Note: os casos mencionados
são casos particulares do
caso geral, com θ = 0° ou
180°. Se a fonte se move,
então f´ = f0 e a frequência
observada a 90° é f = f0/γ ∼
(1-β2/2) f0 .
30
Prob. 31: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo
com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito,
também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave
viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela
espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ?
y
L
0
L0 = 350 m
v = 0,82 c
v
Velocidade do meteorito
em relação à nave:
ux − v
u′x =
v ux
1− 2
c
S
v
x
−v−v
− 2v
1,64 c
v′ =
=
=−
≈ −0,98 c
2
2
v (−v)
v
1 + (0,82)
1− 2
1+ 2
c
c
v′ ≈ −2,94 ×108 m/s
L0
350 m
∆t 0 =
≈
≈ 1,19 µs
8
v′ 2,94 ×10 m/s
31
Prob. 39: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c.
Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul (λ = 450 nm) para os
passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde,
amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.
v = 0,20c
• Efeito Doppler da luz (se afastando):
f′= f
1− β
1+ β
c c 1− β
= 
λ′ λ  1 + β
1/ 2



a)
1+ β
λ ′ = λ 
1− β
1/ 2



1/ 2
 1,2 
= 450 nm 

 0,8 
≈ 551 nm
b) Luz "verde-amarelada":
32
33
Prob. 47: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de
massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que
a sua energia de repouso ?
E = mc 2 = 3 ( m0 c 2 )
mas:
E 2 = m02 c 4 + p 2 c 2
8m02 c 2 = p 2
9m02 c 4 = m02 c 4 + p 2 c 2
p = 2 2 m0 c
34
Prob. 51: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um
momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de β;
(b) de γ; (c) da razão sua energia cinética e energia de repouso.
p = m( v ) v = m0 c
m0 v
2 1 / 2
 v
1 − 
 c2 


= m0 c
→
a)
v2
v
1
2 2 =1 → β = =
≈ 0,707
c
2
c
b)
1
1
γ=
=
= 2 ≈ 1,414
(1 − 1 / 2) 1 / 2
c)
K (γ − 1) m0c 2
=
≈ 1,414 − 1 = 0,414
2
E0
m0c
v 2  v 2 
= 1 − 2 
2
c
 c 
35