Aula-6 Teoria da Relatividade Restrita

Aula-6
Teoria da Relatividade
Restrita - II
Física Geral F-428
1
As transformações de Lorentz
• Se, no referencial S, dois eventos estão separados
por uma diferença de coordenada
;e
ocorrem em dois instantes de tempo separados por
, no referencial S’ teremos:
x
( x
v t)
t
( t
v
x)
2
c
H. A. Lorentz
(1853 – 1928)
• Vemos que as noções de espaço e tempo, como entes
independentes, não têm mais sentido; o que temos é um ente
único: o espaço-tempo.
• Podemos também inverter as transformações acima:
x
( x
v t)
t
( t
v
x)
2
c
2
A relatividade das velocidades
Vimos que:
x
( x
v t)
t
Portanto:
dx
(dx
v d t)
dt
dx
dt
ux v
v ux
1
2
c
Logo:
ux
Na transformação clássica
de Galileu teríamos (v << c) :
ux
v
( t
x)
2
c
v
( dt
dx )
2
c
dx
dt
ux
v
3
A relatividade das velocidades
Podemos ainda deduzir expressões para as relações entre
as demais componentes nos outros eixos:
uy
dy
dt
(1
2
) uy
v ux
1
c2
uz
dz
dt
(1
2
) uz
v ux
1
2
c
• As transformações podem ser invertidas, trocando os
índices com linha
sem linha e v por –v :
ux v
c
• Se: u x c
teremos: u x
v ux
1
c2
 Portanto, a transformação está coerente com o fato da
velocidade da luz ser a mesma em todos os referenciais, e
nenhuma velocidade poder excedê-la.
4
O efeito Doppler da luz
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações
em que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector.
Isto, porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se
propaga no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a
fonte e o detector.
Som
5
O efeito Doppler da luz
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga
no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o
detector.
v
Fonte
v
a
Detector
6
O efeito Doppler da luz
• No efeito Doppler do som é necessário distinguir as situações em
que ele é causado pelo movimento da fonte ou do detector. Isto
ocorre porque o som se propaga no ar, e ambos, fonte e detector,
podem ter velocidades relativas a esse. Já para a luz, que se propaga
no vácuo, importa apenas a velocidade relativa entre a fonte e o
detector.
Detector
v
Fonte
v
a
7
O efeito Doppler da luz
Se o observador O, em S, descreve o campo E ( x , t ) E 0 s in ( k x
t)
de uma onda eletromagnética, o observador O’, em S’, deverá
observar E ( x , t ) E 0 s in ( k x
t ) . Pelo princípio da relatividade,
devemos ter invariância de fase:
kx
Então, usando que:
x
t
(x
kx
vt )
t
e
t
v
x)
2
c
(t
podemos mostrar que:
k
k
v
c2
e
vk
8
O efeito Doppler da luz
Mas: c
k
k1
f
1
f
1
e
1
k
;
k
v
c
;
´, f ´
Fonte
f
c
v
Esta expressão é válida no caso do observador ( f ´ = fobs)
e a fonte ( f = f0) estarem se afastando ( > 0).
9
O efeito Doppler da luz
Mas: c
k
k1
f
1
f
1
e
1
k
;
k
v
c
;
Fonte
f
c
v
´, f ´
Esta expressão é válida no caso do observador (f ´ = fobs)
e a fonte ( f = f0 ) estarem se aproximando ( < 0).
10
O efeito Doppler da luz
Caso o movimento relativo não seja na direção de propagação:
Fonte

k ;

k ;
Observador
1
Se
cos
“Doppler transverso”. Note que aqui a fonte em
2
movimento emite radiação com frequência conhecida
90º
0
1
0
.
2
11
O efeito Doppler na Astronomia
• Vamos supor que uma estrela se afasta da Terra com uma
velocidade relativamente pequena,
. Neste caso temos:
Em termos dos comprimentos de onda, temos:
•Se a estrela estiver se afastando
( v > 0 ) temos
0
Deslocamento da luz
para o vermelho
•Se a estrela estiver se aproximando
(v < 0) teremos < 0
Deslocamento da
luz para o azul
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/XYCoordinates.gif
12
Observações experimentais
e suas implicações para a Cosmologia:
Em 1929, Edwin Hubble propôs que o desvio para o vermelho
observado para as linhas espectrais originadas de átomos de cálcio
de galáxias distantes era devido ao efeito Doppler:
as galáxias estariam se afastando de nós.
É possível medir a velocidade de recessão V de várias galáxias e
Hubble encontrou V = H0 r , com H0 é a constante de Hubble =
= 71
4 km/s/Mpc.
Esta é a primeira evidência experimental
da expansão do Universo!
13
Dinâmica relativística
Na Mecânica Newtoniana temos

F

dp
dt
, onde o momento linear é definido por:

F
0

p

p

mv
co nst.
Procuramos um análogo relativístico desta expressão que
tenha as seguintes propriedades:
a) O momento relativístico deve ser conservado em sistemas
isolados, assim como na Mecânica Newtoniana.
b) A expressão obtida deve se reduzir à forma newtoniana no limite
.
14
Dinâmica relativística
Colisão das partículas a e b, de
mesma massa, no referencial S’.
Vamos definir o referencial S´ como
aquele em que o momento total seja
nulo (Ref.
Centro de Momento=RCM).


p const.  (depois)
Se F ext 0
vb

vb(antes)
 ( antes )
 ( antes )
m va
m
v
=
+ b
 ( depois )
 ( depois )
m va
+ m vb
S’
y
x

va(antes)

va(depois)
15
Momento linear relativístico
Usando a fórmula para a transformação de Lorentz das velocidades:
dx
dt
ux
uz
dz
dt
(1
2
) uz
v ux
1
c2
ux
v
v ux
1
c2
uy
dy
dt
(1
2
) uy
v ux
1
2
c
... podemos escrever as componentes das velocidades no referencial
S, que se move em relação a S’ com velocidade constante, -v , ao
longo do eixo x ...
16
y
Momento linear relativístico
y
S’
S
v axantes
vx
vbxantes
vx
v ayantes
vy
vbyantes
vy
v axdepois
vbxdepois
vx
v aydepois
vbydepois
vy
transformação
de Lorentz das
velocidades
vx
vy
dx
dt
dy
dt
x
vx

va( antes)
vy
ma
depois
v ax
v
v vx
1
c2
2
antes
vay
) vy
v vx
1
c2

vb( antes)

vb( depois)
antes
v ax
vx
(1
v
v
depois
ay
mb
m
vx v
1 (vx v / c 2 )
vx v
1 (vx v / c 2 )
2
1
vy
1 (vx v / c2 )
1
2
vy
2
1 (vx v / c )
x

va( depois)
antes
vbx
depois
vbx
vbyantes
v
depois
by
vx v
1 (vx v / c 2 )
vx v
1 (v x v / c 2 )
1
2
vy
1 (vx v / c2 )
1
2
vy
17
1 (vx v / c2 )
Momento linear relativístico


 p m v não fornece uma expressão tal que o momento
linear total conservado na colisão.
18
Momento linear relativístico
Mas, pode-se mostrar que o momento total será uma quantidade
conservada se definirmos:

(com m0 sendo a massa do corpo


m0v
no referencial em que o corpo se
p
m0v
1 v 2 / c 2 encontra em repouso.)
• Pode-se ainda definir uma massa relativística, dada por:
m (v )
m0
m0
1 v2 c2
• A força é, então, dada por:

F

dp
dt
d

(m0 v )
dt
19
Energia relativística
(Supondo Epotencial = 0 )
• A taxa de variação temporal da energia cinética de uma partícula
 

continua sendo dada por:

dK
dp

F v
dt

r
K
 
F dr
0

r
d (m0
dt
0

v
K
m0c
2
d(
0
1 v2 / c2
(
K

) (v / c)
1) m 0c 2
m 0c

dr
0

v /c
K
então:

v)

r
2

v

v
2
0
(m
mc
2
m 0 )c 2
E
γ m 0v
dt

v) 
v dt
d (m0
dt
m0c
p
x dx
(1 x 2 )1 / 2
o nd e :
E
v/c
x
1 v2 / c2
m0c
m
mc
2
x
2
1
1/ 2 v
0
m0
2
Energia
Total
20
Veja uma outra forma de deduzir essas expressões
da energia total e da energia cinética
(através de derivada, não de integral)
no arquivo “Dinâmica Relativística”.
21
1
Energia relativística
1 (v / c)2
Relação energia-momento linear
Usando que

p
Como E 2
m 2c 4
E
2

mv
m02 c 4
c4 p2
1 2 2
c E

temos p
2

mc v
c2
2

v

c p
E
2
m 02 c 4 obtemos:
E
2
2
0
m c
Se m0 = 0
4
2
p c
E
2
pc
• Portanto, a radiação eletromagnética transporta um momento
linear p
U / c , e podemos imaginá-la como composta por
corpúsculos de massa zero ( fótons ), como veremos mais adiante.
22
Energia relativística
• Limite clássico da energia
pontos experimentais (x)
Expandindo E=mc2 para v/c << 1 :
m0 c 2
1 v2 c2
E
E
m0c 2
2
v
m0 c 2 1
2c 2
m0v 2
2
3v 4
...
4
8c
3m 0 v 2 v 2
8
c2
Energia de repouso: E
...
m0c 2
Energia cinética para v/c << 1 :
K
m0 v 2
2
23
Experimento de William Bertozzi para medir v
e K de elétrons relativísticos no acelerador
linear no MIT (Amer.Jour.Phys. 32(1964)551)
Energia relativística
pontos experimentais (x)
Energia de repouso:
E m0c
2
Energia cinética para v/c << 1 : K
m0 v 2
2
24
Procedimento mais usual: usar apenas a massa
de repouso da partícula nas nossas equações,
que é a única massa definida para a partícula.
As equações da dinâmica ficarão:

p
p
E
2
E
Ecin
mv
2 4
p c
2
2
m c
mc
2 2
mc
E mc
2
Ecin
1 mc
2
25
Energia relativística
• A energia de um sistema isolado se mantém constante.
 Portanto, se um sistema libera uma quantidade de energia
∆E = Ef - Ei = - Q , deve apresentar uma redução de massa:
E
( m )c
2
Q
m
mf
mi
Q
c2
Isto vale tanto para reações químicas quanto para reações nucleares,
embora a variação de massa no primeiro caso seja imperceptível.
 Se a energia de um sistema aumenta, (ex.: aumentando a sua
velocidade), sua massa também aumenta:
m
E
c2
26
Relatividade Geral
• Movimento retilíneo uniforme em um referencial inercial parece
acelerado, se visto de um referencial não-inercial.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma força de inércia:
É impossível distinguir a física num campo gravitacional constante
daquela num referencial uniformemente acelerado!
O elevador de
Einstein
27
Relatividade Geral
• Princípio da equivalência de Einstein
Num recinto suficientemente pequeno para que o campo
gravitacional dentro dele possa ser considerado uniforme e em
queda livre dentro deste campo, todas as leis da física são as
mesmas que num referencial inercial, na ausência do campo
gravitacional.

a

a

g
(a)

a

g

a

g
28
Relatividade Geral
• Só precisamos de geometria para descrever trajetórias dos corpos.
• Einstein encarou a força gravitacional como uma
força de inércia
curvatura do espaço-tempo!
“A massa diz ao espaço-tempo como se
curvar; e o espaço-tempo diz à massa
como se mover”!
29
Expressão geral para o efeito Doppler:
f´
f 1-
v
P
S´
S
cos
Note: os casos mencionados
são casos particulares do
caso geral, com = 0° ou
180°. Se a fonte se move,
então f´ = f0 e a frequência
observada a 90° é f = f0/
(1- 2/2) f0 .
30
Prob. 31: Uma espaçonave cujo comprimento próprio é 350 m está se movendo
com uma velocidade de 0,82c em um certo referencial. Um micrometeorito,
também com velocidade de 0,82c neste referencial, cruza com a espaçonave
viajando na direção oposta. Quanto tempo o micrometeorito leva para passar pela
espaçonave, do ponto de vista de um observador a bordo da espaçonave ?
y
L
0
L0 = 350 m
v = 0,82 c
v
Velocidade do meteorito
em relação à nave:
ux
v
v ux
1
c2
ux
t0
L0
v
v
v
S
v v
v ( v)
1
c2
2v
v2
1 2
c
350 m
1,19 s
8
2,94 10 m/s
x
1,64 c
1 ( 0 ,82 ) 2
v
0 ,98 c
2,94 108 m/s
31
Prob. 39: Uma espaçonave está se afastando da Terra a uma velocidade de 0,20c.
Uma fonte luminosa na popa da nave parece azul ( = 450 nm) para os
passageiros. Determine: (a) o comprimento de onda e (b) a cor (azul, verde,
amarela...) da luz emitida pela nave, do ponto de vista de um observador terrestre.
v = 0,20c
• Efeito Doppler da luz (se afastando):
f
1
f
1
c
c 1
1
1/ 2
a)
1
1
1/ 2
1,2
450 nm
0,8
1/ 2
551 nm
b) Luz "verde-amarelada":
32
33
Prob. 47: Qual deve ser o momento linear de uma partícula, de
massa m, para que a energia total da partícula seja 3 vezes maior que
a sua energia de repouso ?
E
mc2
3 (m 0c 2 )
mas:
E2
m 02 c 4
p 2c 2
8 m 02 c 2
p2
9 m 02 c 4
p
m 02 c 4
p 2c 2
2 2 m0c
34
Prob. 51: Uma certa partícula de massa de repouso m0 tem um
momento linear cujo módulo vale m0c. Determine o valor: (a) de ;
(b) de ; (c) da razão sua energia cinética e energia de repouso.
p
m (v) v
m0 v
m0c
2 1/ 2
1
a)
v2
2 2
c
1
1 1/ 2
b)
c)
K
E0
(
v
c2
v
c
1
1) m 0 c 2
m0c 2
m0 c
1
1/ 2
1
2
v2
c2
v2
1 2
c
0 , 707
2
1, 414
1, 414 1 0 , 414
35