LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições

Ciência da Computação
Lógica Matemática
Álgebra das Proposições
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LÓGICA MATEMÁTICA - CONTEÚDO
 Álgebra das Proposições
 Propriedades da Conjunção
 Propriedades da Disjunção
 Propriedades da Conjunção e Disjunção
 Negação da Condicional
 Negação da Bicondicional
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.
Propriedade IDEMPOTENTE:
p^pp
Assim, temos:
X<0 ^ X<0 X<0
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.
Propriedade COMUTATIVA:
p^qq^p
Assim, temos:
X<0 ^ X1X1^X<0
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.
Propriedade ASSOCIATIVA:
(p ^ q) ^ r  p ^ (q ^ r)
Assim, temos:
(a>=b ^ bc) ^ (c<d)  (a>=b)^ (b  c ^ c < d)
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.
Propriedade IDENTIDADE:
p^t  p
e
p^c  c
Assim, temos:
(x 1)^|x|>=0  (x 1) e (x1)^|x|<0  |x|<0
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA CONJUNÇÃO
Propriedade IDENTIDADE:
p^t  p
p
V
F
e
p^c  c
t c p ^ t p ^ c p^t <-> c p^c <-> c
V F
V
F
V
V
V F
F
F
V
V
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.
Propriedade IDEMPOTENTE:
pvpp
Assim, temos:
X<0 v X<0 X<0
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.
Propriedade COMUTATIVA:
pvqqvp
Assim, temos:
X<0 v X1X1vX<0
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.
Propriedade ASSOCIATIVA:
(p v q) v r  p v (q v r)
Assim, temos:
(a>=b v bc) v (c<d)  (a>=b) v (b  c v c < d)
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Sejam t, c proposições simples e
V(t) = V e V(c) = F.
Propriedade IDENTIDADE:
pvt  t
e
pvc  p
Assim, temos:
(x 1)v|x|>=0  (x 1) e (x1)v|x|<0  |x|<0
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA DISJUNÇÃO
Propriedade IDENTIDADE:
pvt  t
p
V
F
e
pvc  p
t c p v t p v c pvt <-> t pvc <-> p
V F
V
V
V
V
V F
V
F
V
V
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Propriedade DISTRIBUTIVA:
p ^ (q v r)  (p ^ q) v (p ^ r)
p v (q ^ r)  (p v q) ^ (p v r)
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Propriedade DISTRIBUTIVA:
p ^ (q v r)  (p ^ q) v (p ^ r)
p q r
VV V
VV F
VF V
VF F
FV V
FV F
FF V
FF F
qvr
V
V
V
F
V
V
V
F
p^(q v r)
V
V
V
F
F
F
F
F
p ^ q p ^ r (p^q)v(p^r)
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Propriedade DISTRIBUTIVA:
Por exemplo: “Carlos estuda e Jorge
ouve música ou lê”.
É EQUIVALENTE A:
“Carlos estuda e Jorge ouve música
ou Carlos estuda e Jorge lê”.
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Propriedade ABSORÇÃO:
p ^ (p v q)  p
p v (p ^ q)  p
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Propriedade ABSORÇÃO:
p ^ (p v q)  p
p q
VV
VF
FV
FF
p v q p^(p v q) p^ (p v q) <-> p
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Sejam p, q, r proposições simples.
Propriedade REGRAS DE MORGAN:
~ (p ^ q)  ~ p v ~ q
~ (p v q)  ~ p ^ ~q
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP. DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Propriedade REGRAS DE MORGAN:
~ (p ^ q)  ~ p v ~ q
p q
VV
VF
FV
FF
p^q
V
F
F
F
~ (p^q)
F
V
V
V
~p ~q
F F
F V
V
F
V V
~p v ~q
F
V
V
V
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
Exemplo REGRAS DE MORGAN :
“É inteligente e estuda”, por Morgan:
“Não é inteligente ou não estuda”.
“É médico ou professor”, por Morgan:
“Não é médico e não é professor”.
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP.DA CONJUNÇÃO E DA DISJUNÇÃO
As REGRAS DE MORGAN:
Mostram como é possível definir a
disjunção a partir da conjunção e
da negação,ou a conjunção a partir
da disjunção e da negação:
p v q  ~ (~p ^ ~ q)
p ^ q  ~(~ p v ~q)
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP.DA NEGAÇÃO DA CONDICIONAL
Como p -> q  ~ p v q, temos:
~ (p -> q)  ~ (~p v q)  ~~p ^ ~q
Ou seja: ~ (p -> q)  p ^ ~q
p q
VV
VF
FV
FF
p -> q ~ (p->q)
V
F
F
V
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p^ ~q
F
V
F
F
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA CONDICIONAL
A condicional p -> q NÃO tem as
propriedades IDEMPOTENTE,
COMUTATIVA E ASSOCIATIVA.
As tabelas-verdade das proposições:
p -> p e p, p -> q e q->p, (p -> q) -> r
e p-> (q -> r) não são idênticas.
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROP.DA NEGAÇÃO DA BICONDICIONAL
Como p <-> q  (p->q) ^(q->p), temos:
p <-> q  (~p v q) ^ (~q v p)
Portanto, ~(p <-> q)  ~(~p v q) v ~(~q v p)
Daí: ~(p <-> q)(~~p ^ ~q) v (~~q ^ ~p)
Por fim: ~(p <-> q)  (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
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LÓGICA MATEMÁTICA – Álgebra das Proposições
PROPRIEDADES DA BICONDICIONAL
A bicondicional p <-> q NÃO tem a
propriedade IDEMPOTENTE.
As tabelas-verdade das proposições:
p -> p e p.
A bicondicional tem as propriedades
COMUTATIVA e ASSOCIATIVA.
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