caminho - UFERSA

CONCEITOS BÁSICOS DE
GRAFOS
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Agosto - 2009
Caminho, Percurso
Um caminho de um vértice vi0 para o vértice vik
é uma seqüência de arestas
< vi0, vi1 >, < vi1 , vi2 > , . . . , < vi,k–1 , vik >.
Um caminho é dito elementar se passa
exatamente uma vez por cada vértice e é
simples se passa exatamente uma vez por cada
aresta. Quando o grafo é não orientado o
conceito de caminho é substituído por cadeia
que pode ser representada pela seqüência de
arestas que a forma ou dos vértices nela
contidos. Alguns autores usam o termo
percurso para denominar genericamente um
caminho.
Caminho e Distância
Outra forma de representação encontrada na
literatura:

Para grafos simples um caminho pode ser
abreviado por uma seqüência de vértices:
W = <v0, v1, v2, ..., vn>

Em um grafo geral, pode-se abreviar como
uma seqüência de arestas:
W = <v0, e1, e2, ..., en, vn>
Caminho, Percurso


Um caminho trivial é um caminho de
comprimento zero: um vértice e nenhuma
aresta
Um caminho fechado é um caminho não
trivial que começa e termina no mesmo
vértice.
Ciclo, Circuito
Se os vértices inicial e final são coincidentes
( vi0 = vik ), dizemos que o caminho é
fechado e forma um ciclo que é chamado de
circuito se o grafo for orientado.
Comprimento
O comprimento de um percurso num grafo
valorado é a soma dos custos de percorrer
cada aresta e num grafo não valorado é igual
ao número de arestas que o compõe.
Ou seja

O comprimento de um caminho é o número
de arestas da seqüência
Caminho e Distância


Muitas aplicações precisam de grafos para
representar percurso e distância.
Exemplos:
O número de nós de rede percorridos por uma
mensagem de e-mail
 O número de links entre duas páginas web
 A distância entre duas pessoas numa rede de
relacionamentos da internet

Caminho e Distância



A distância d(s,t) de um vértice s para um
vértice t em um grafo G é o comprimento do
menor caminho entre s e t
Se não existir um caminho entre s e t então a
distância é infinita
Um problema interessante é o de achar
sistematicamente o caminho mais curto
entre dois vértices quaisquer
Excentricidade

A excentricidade de um vértice v em um
grafo G=(V,E), denotado por ecc(v), é a
distância de v ao vértice mais afastado de v.
ecc(v)  max{d (v, x)}
xVG
Diâmetro

O diâmetro de um grafo G=(V,E), denotado
por diam(G), é a maior excentricidade dos
vértices de G
diam(G)  max{ecc( x)}
xVG

O diâmetro é a maior distância entre dois
vértices de G
diam(G)  max {d ( x, y)}
x , yVG
Raio

O raio de um grafo G=(V,E), denotado
rad(G), é o mínimo das excentricidades dos
vértices
rad (G)  min {ecc( x)}
xVG
Vértice Central

O vértice central de um grafo G=(V,E) é o
vértice com a menor excentricidade
Se v é o vértice central, ecc(v) = rad(G)

Exemplo: O grafo abaixo tem diâmetro 4,
raio 2 e os vértices centrais são x e y
x
u
y
u
u
Ciclo Euleriano e Circuito Hamiltoniano
Um Ciclo que passa por todas arestas de um
grafo é dito Euleriano e um circuito
elementar que passa por todos os vértices é
chamado de Hamiltoniano.
O problema do Caixeiro Viajante consiste em
analisar
todos
circuitos
Hamiltonianos
existentes para (n+1) pontos, e o número
máximo destes caminhos é n! .
Caminhos, Ciclos e Árvores

Um ciclo euleriano no grafo abaixo é
‹u,v,t,u,w,t,z,w,x,y,z,u›
u
t
v
z
w
y
x
Grafo Acíclico

Um grafo acíclico é um grafo que não tem
ciclos
Exercício
No quadro a seguir assinale com X a classificação
que atribui a cada um dos caminhos indicados:
Exercício
Descrição
1,2,3,4,5
1,2,1,4,5
1,2,3,1,2
1,2,2,3,4
2,2
2,3,1,2,1,2
3,1,4,5
4,5,1,2,2,3,4
Elementar Simples Caminho Circuito
Exercícios
2- Determine qual das seguintes seqüências de
vértices são caminhos do grafo abaixo.
a)
b)
c)
d)
<u,v>
<v>
<u,z,v>
<u,v,w,x,z>
u
v
z
x
w
y
Exercícios
3- Ache todos os caminhos de comprimento 4
ou 5 do vértice w ao vértice r no grafo
abaixo.
w
u
s
v
z
x
r
y
Exercícios
4- Ache a distância entre os vértices x e y do
grafo abaixo
x
y
Gabarito
Gabarito:
2- a) sim b) sim (trivial)

c) não
d) não