Movimento em uma dimensão

MECÂNICA
 Mecânica Clássica
 Cinemática – Movimento em uma dimensão
 Posição e deslocamento
 Velocidade
 Aceleração
1
MECÂNICA
Entender o movimento é um dos objetivos da Física
A Mecânica estuda o movimento e as suas causas
2
Mecânica Clássica
As contribuições mais importantes para a Mecânica Clássica
foram dadas por Isaac Newton (1642-1727)
 formulou as leis fundamentais do movimento
 foi um dos criadores do cálculo diferencial e integral
As leis de Newton não podem ser aplicadas:
• em situações que envolvem velocidades próximas da velocidade
da luz, que é 299 792 458 m/s  300 000 km/s (relatividade)
• na dinâmica de sistemas muito pequenos (física quântica)
3
MECÂNICA CLÁSSICA
(Mecânica Newtoniana)
CINEMÁTICA
estuda os movimentos sem levar em conta as causas do
movimento
DINAMICA
estuda as forças e os movimentos originados por essas forças
Força
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CINEMÁTICA
Movimento em uma dimensão
O movimento representa uma mudança contínua da posição de um corpo
Todo movimento é definido em relação à um referencial
O movimento ao longo do eixo x (orientado)
x
x
Utilizaremos o MODELO DE PARTÍCULA porque o tamanho do corpo real não tem
consequência na análise do seu movimento
5
Posição
Um corpo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado,
relativamente a um ponto de referência (o observador), em geral a
origem (x = 0)
-3
-2
-1
0
1
2
3
x (m)
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Deslocamento
O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo
(tf - ti) é a diferença entre a posição final (xf ) no instante tf e a posição
inicial (xi) no instante ti
Exemplo 1
Corrida de 100 m
deslocamento
 x = xf - xi
intervalo de tempo
 t = tf – t i
7
Exemplo 2. Corrida de 100 metros. O corredor parte de xi= 0 m para xf= 100 m.
O deslocamento do corredor é
x = xf - xi = 100 m - 0 = 100 m
Exemplo 3. Uma pessoa a andar se desloca do ponto xi= 200 m para xf= 100 m.
O deslocamento da pessoa é
x = xf - xi = 100 - 200 = - 100 m
8
Velocidade média
Temos a noção intuitiva de velocidade como sendo o
espaço percorrido por um corpo num certo tempo
ti
xi
t
tf
x
xf
x = xf - xi
num intervalo de tempo t = tf - ti
A velocidade média é a distância
x
vm 
t
ou
percorrida pela partícula
x
v
t
9
Deslocamento :
x = xf - xi
posição x como uma função
do tempo t
x
x2
x1
x
t
t1
Velocidade média:
t2
x
v
t
t
 declive de uma secante
10
x
v 
t
• Se x  0  vm  0  movimento para a direita, ou no
sentido de crescimento de x
• Se x  0  vm  0  movimento à esquerda, ou no
sentido de decréscimo de x)
A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo
m
x  5 m
t  0.20 h

5m
vm 
 25 m/h
0.20 h
11
Exemplo 4. Na corrida de 100 m, o corredor nos primeiros 5.01 s, percorre 40 m e
depois percorre 60 m. O tempo total da corrida é de 10.5 s. Determinar : a) a velocidade
média do corredor até o instante de 5.01 s . b) a velocidade média do corredor após este
instante e até o final da corrida. c) a velocidade média do corredor em todo o intervalo
do tempo de duração da corrida.
a) De 0 a 5.01 s : x = xf - xi= 40 - 0 = 40 m
vm 
e
t = tf – ti= 5.01 s- 0 = 5.01 s
x 40 m

 8.0 m/s
t 5.01 s
b) De 5.01 a 10.5 s:
x = xf - xi= 100 m – 40 m = 60 m
vm 
e
t = tf – ti= 10.5 s - 5.01 s = 5.49 s
x 60 m

 10.9 m/s
t 5.49 s
c) Em todo o intervalo (de 0 a 10.5 s) :
x = xf - xi= 100 m – 0 = 100 m
vm 
e
t = tf – ti= 10.5 s – 0 m = 10.5 s
x 100 m

 9.5 m/s
t 10.5 s
12
Exemplo 5. Uma partícula em movimento ao longo do eixo x está localizada no
ponto xi = 12 m em ti= 1 s e no ponto xf = 4 m em tf = 3 s. Encontre o deslocamento
e a velocidade média da partícula durante esse intervalo de tempo.
x = xf - xi= 4 m – 12 m = - 8 m
vm 
x  8 m

  4 m/s
t
2s
e
 t = t f – t i= 3 s – 1 s = 2 s
A partícula se moveu para a esquerda com essa
velocidade
Exemplo 5. É apresentado na
Figura 1 o gráfico do deslocamento
versus tempo para uma certa
partícula em movimento ao longo
do eixo x. Encontre a velocidade
média nos intervalos de tempo (a) 0
a 2 s, (b) 0 a 4s, (c) 2 s a 4 s, (d) 4 s
a 7 s, (e) 0 a 8 s.
Figura 1
13
(a) 0 a 2 s
x = xf - xi= 10 m - 0 = 10 m
 t = tf – ti= 2 s - 0 s = 2 s
vm 
x 10 m

 5 m/s
t
2s
(b) 0 a 4 s
 x = x f - xi = 5 m - 0 = 5 m
 t = t f – t i= 4 s - 0 s = 4 s
vm 
x 5 m

 1.2 m/s
t
4s
(c) 2 s a 4 s
x = xf - xi= 5 m – 10 m = - 5 m
 t = t f – t i= 4 s - 2 s = 2 s
vm 
x  5 m

  2.5 m/s
t
2s
14
(d) 4 s a 7 s
x = xf – xi = - 5 m - 5 m = - 10 m
 t = tf – ti = 7 s - 4 s = 3 s
vm 
x
10 m

  3.3 m/s
t
3s
(e) 0 a 8 s
x = xf – xi = 0 - 0 = 0
 t = tf – ti = 8 s - 0 = 3 s
vm 
x
0

0
t 8 s
15
Velocidade instantânea
É a velocidade que a partícula tem a cada instante
x
dx
v  lim

t 0 t
dt
A velocidade instantânea é a derivada da posição (x) em relação ao tempo (t)
Velocidade na direção x:


v  vex

ex
t
x
16
Velocidade instantânea é a média sobre um intervalo de tempo
infinitesimal :
x
dx
tf  ti , t  0 and

v
t
dt
x
dx
v  lim

t 0 t
dt
x
t
t
v é o declive da tangente para o gráfico x versus t
Fisicamente , v é a taxa de variação de x, dx/dt.
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ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES
df (t )
dt
f (t )
a f (t )  b g (t )
a  constante
a
df (t )
dg (t )
b
dt
dt
0
sin t
nt n 1
 cos t
cos t
  sin t
t
e
n
t
ln t
et
t
1
18
Velocidade escalar média
A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a
rapidez com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a
distância percorrida, independentemente da direção e sentido:
vem
Em algumas situações
distância total

t

vem  vm
Exemplo: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P:

O
P

Entretanto, elas podem ser bastante diferentes !
19
Exemplo 6: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O,
depois de decorrido um tempo total t1 e ter percorrido uma distância total L


P
O
Neste caso:
vm  0
e
L
vem 
t1
x
L
2
t1
2
t1
t
20
Velocidade escalar
A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de
qualquer indicação de direção e sentido
Exemplo 7: O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar
instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a
direção e o sentido
21
Movimento retilíneo uniforme
Chama-se movimento retilíneo uniforme ao movimento em que a
velocidade é constante
xt   x0
v 
t  t0
x0
é a posição da partícula no instante inicial t = t0
v
é a velocidade com que a partícula se desloca
v
é constante
Para t0 = 0 temos a equação do movimento retilíneo uniforme
xt   x0  v t
Para t0  0 temos
a equação
Equação horária
xt   x0  v (t  t0 )
22
Diagrama do movimento de um carro com velocidade constante
A seta vermelha indica o vetor velocidade
23
Movimento retilíneo uniforme  MRU
Graficamente temos
Espaço variável
Velocidade constante
v
x
vc
x0
0
t
Equação da Recta
xt   x0  v t
0
t
Recta paralela ao eixo do tempo
vc  constante
24
Exemplo 8
25
Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRU
Este é o problema inverso.
xt   x0  v (t  t0 )
v(t–t0)  é a área sob a curva da velocidade em
função do tempo (v = constante )
v (t )
v
x  v (t ) t
t0
t
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
26
Exemplo 9. O treinador de uma corredora determina sua velocidade enquanto ela corre
a uma taxa constante. O treinador inicia o cronómetro no momento em que ela passa
por ele e pára o cronómetro depois da corredora passar por outro ponto a 20 m de
distância. O intervalo de tempo indicado no cronómetro é de 4.4 s. a) Qual é a
velocidade da corredora? b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo
treinador?
a) Qual é a velocidade da corredora?
x  x0  v t
v
x0  0
t0=0
t = 4.4 s
x  x0 20 m - 0

 4.5 m/s
t
4.4 s
b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?
x  x0  v t  0  (4.5 m/s)(10 s)  45 m
27
Exemplo 10. Encontre a velocidade instantânea da partícula descrita na Figura 1 nos
seguintes instantes: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t= 4.5 s, e (d) t= 7.5 s.
(a) t = 1.0 s
x  x0  v t
Sabemos que entre 0 e 2 s a velocidade é
constante
x0 = 0
t0 = 0
x = 10 m
t=2s
v
x  x0 10 m - 0

 5.0 m/s
t
2s
Figura 1
(b) t = 3.0 s
x  x0  v (t  t 0 )
x0 = 10 m
x= 5 m
t0 = 2 s
t=4s
x  x0 5 m - 10 m
v

 2.5 m/s
t  t0
4s-2s
28
(c) t = 4.5 s
v= 0
(d) t = 7.5 s
x  x0  v (t  t 0 )
x0 = - 5 m
x =0m
t0 = 7s
t=8s
x  x0 0 - (-5 m)
v

 5 m/s
t  t0
8s -7s
29
Aceleração média
Quando a velocidade da partícula se altera,
diz-se que a partícula está acelerada
A aceleração média é a variação da velocidade
am 
v f  vi
t f  ti
ou a notação
ou
v x num intervalo de tempo t
v x
am 
t
vx
a
t
30
Exemplo 11. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados
na Figura 2, calcule a aceleração média do carro.

a
Figura 2
am 
v f  vi
t f  ti

15 m/s  30 m/s
 7.5 m/s 2
2.0 s  0
A velocidade escalar diminui com o tempo
O carro está desacelerando

v

a
31
Aceleração instantânea
Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes
portanto é útil definir a aceleração instantânea
v dv
a  lim

t 0 t
dt
dv d  dx  d 2 x
a
   2
dt dt  dt  dt
Aceleração na direção x


a  aex

ex
x
32
ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES
(Uma constante arbitrária deve ser adicionada a cada uma dessas integrais)
f (t )
a f (t )  b g (t )
aconstante
t , n  1
sin t
cos t
n
e
t
t
1
F (t ) 
 f t dt
a F (t )  b G(t )
at
t n1 / n  1
 cos t / 
sin t / 
t
e /
ln t
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Movimento retilíneo uniformemente variado
Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante
vt   v0
a
t  t0
v0
 para t0 = 0 temos
vt   v0  at
é a velocidade da partícula em t = 0
a
é a aceleração da partícula
a
é constante
• se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o
movimento é uniformemente acelerado
• se a velocidade da partícula diminui com o tempo o
movimento é uniformemente retardado
Para t0  0 temos
a equação
vt   v0  a (t  t0 )
34
Substituindo
obtemos
Integrando:
dx
vt  
dt
em
vt   v0  at
dx
 v0  at  dx  v0 dt  at dt
dt
 dx  v  dt  a  tdt
0
Obtemos:
1 2
xt   x0  v0t  at
2
35
Exemplo 12
36
Diagrama de movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção de
sua velocidade
 a seta superior indica o vetor velocidade e a seta inferior, o vetor aceleração constante
Diagrama do movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção
oposta à velocidade em cada instante
37
Movimento retilíneo uniformemente variado  MRUV
Graficamente temos
Velocidade variável
Aceleração constante
x
a
v
Espaço variável
a
v0
x0
t
0
t
0
t
Parábola
Equação da recta
vt   v0  a t
0
a  constante
1 2
xt   x0  v0t  at
2
38
Exemplo 13: Aceleração positiva
39
Exemplo 14: Aceleração negativa
40
Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRUV
x  v (t ) t
Dividimos o intervalo (t-t0) num número
grande N de pequenos intervalos t
xi  v (ti ) t
Área dum retângulo i 
v (t )
t
v(ti)
Somando a área de todos os retângulos:
x(t )  x(t0 )  x1  x2  x3  ...xN   xi
No limite N  e t0:
 x
i
ti
t
v (t )
t
  dx   vt 'dt '
t0
e
t0
Área
t
x(t )  x(t0 )   vt 'dt '
t0
que corresponde a área sob a curva.
t0
t
41
Assim
• A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo
(a velocidade é a derivada em ordem ao tempo da posição)
dx(t )
v(t ) 
dt
 geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à
curva da posição versus tempo no instante considerado.
• O deslocamento é obtido pela integração da velocidade
t
x(t )  x0   v(t ) dt 
t0
 geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da função
velocidade versus tempo.
42
Exemplo 15. Um avião parte do repouso e acelera em linha reta no chão antes de levantar
voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do
avião ao fim de 12 s?
a) Qual é a aceleração do avião?
x0  0
1 2
x  x0  v0t  at
2
Substituindo os valores
1 2
x  at
2
x0  0
v0  0
v0  0
(parte do repouso)
na equação
2 x 2  600 m 1200 m
2


8
.
3
m/s
 a 2 
t
144 s 2
12 s 2
b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?
v0  0
v  v0  at


(parte do repouso)
v  at  8.3 m/s 2 12 s   100 m/s
43