Número primo - Departamento de Matemática

DIVISIBILIDADE
No Reino dos
Números Primos
Carlos Tenreiro
Departamento de Matemática
Universidade de Coimbra
18 de Março de 2006
Divisores de um número

Divisores de um número são os
números que dividem o número
exactamente com resto zero:
3 é divisor de 15
15 é divisível por 3
15 é múltiplo de 3
Divisores de um número

Quais são os divisores de 3? 1 e 3

Quais são os divisores de 5? 1 e 5

Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6

Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...
Número primo
Um número é primo se
só tem dois divisores:
a unidade e ele próprio
Caso contrário, o número é composto
Primo
ou Indecomponível
•15 é composto. Pode decompor-se:
15 = 3 x 5
• 7 é primo. Não se pode decompor:
7=7
Alguns números primos
Alguns números primos
Mais números primos
Primo = Importante
= Primeiro

Os números primos são muito
importantes. Qualquer número inteiro
pode ser escrito como produto de
números primos:
220 = 2 x 110
= 2 x 2 x 55
= 2 x 2 x 5 x 11
Decomposição em
factores primos
220 2
110 2
55 5
11 11
1
220 = 2 x 2 x 5 x 11
Decomposição em
factores primos
220 = 2 x 2 x 5 x 11
Quais são os divisores de 220?
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220
Divisores de um número

Quais são os divisores de 3? 1 e 3

Quais são os divisores de 5? 1 e 5

Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6

Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7,...
Número perfeito
Um número é perfeito se
só é igual à soma dos seus
divisores próprios
Divisores de 6 : 1, 2, 3, 6
1+2+3=6
Decomposição em
factores primos de 28
28
14
7
1
2
2
7
28 = 2 x 2 x 7
1+2+4+7+14=28
Divisores de 28:
1, 2, 4, 7, 14, 28
Desde quando se conhecem e
estudam os números primos?
O osso de Ishango
O osso de Ishango
O osso de Ishango
Babilónios, Egípcios
e Gregos
20000
Babilónios
Egípcios
Conheciam o
Teorema de Pitágoras
6000
A.C. D.C.
Gregos
Pitágoras (569 – 475)
Platão (427– 347)
Aristóteles (384 – 322)
Euclides (325 – 265)
2006
Euclides de Alexandria
• Mais importante
matemático da
antiguidade.
• Escreveu
“Os Elementos”, mais
importante obra
matemática da
antiguidade.
(325 A.C. – 265 A.C.)
Os Elementos
Uma página de
“Os Elementos”
numa
tradução latina
publicada
em1482.
Os Elementos
O que diz Euclides:
Um número é primo se
só pode ser medido pela unidade
e por ele próprio
Caso contrário, o número é composto
Os Elementos
O número 15 pode ser medido
pelo 5 mas não pelo 4:
15 =
5=
4=
Os Elementos
O número 15 pode ser medido
pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15):
15 =
5=
3=
Os Elementos
Euclides dizia:
3 e 5 medem 15
Nós dizemos:
3 e 5 dividem 15
Os Elementos
Existe um número infinito de números
primos, ou seja,
há sempre novos números primos.
Há sempre novos primos
2 3 5 ...
Há sempre novos primos
2, 3, 5, 7, 11, 13
2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031
Como nenhum dos primos anteriores divide
30031 terá de existir um novo primo
Crivo de Eratóstenes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Primos enormes
Primo com 39 algarismos obtido em 1876 e que
até 1951 foi o maior primo conhecido:
2127-1 = 17014118346046923173168730
3715884105727
Primo com 44 algarismos obtido em 1951 com
a ajuda de uma calculadora mecânica:
(2148+1)/17 = 209889366574405864861512
64256610222593863921
Primos enormes
909 526
algarismos
Primo de
Mersenne
(1588-1648).
Números de Mersenne
Primo
Número de Mersenne
2
22 – 1 = 2 x 2 – 1 = 3
5
25 – 1 = 31
11
211 – 1 = 2047
2047 = 89 x 23
Primos de Mersenne
Os primeiros
primos de
Mersenne eram
conhecidos
desde a
antiguidade:
Nº
p
1
2
3
4
5
6
7
2
3
5
7
13
17
19
Mp
ano
3
7
31
127
8191 1461
131071 1588
524287 1588
Primos de Mersenne
Em 1644 Mersenne afirma que
são primos os números gerados a partir de:
p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,127, 257
Faltavam:
p = 61, 89, 107
Primos de Mersenne
Nº
p
Algarismos de
Mp
Ano
37
38
39
40?
...
43?
3021377
6972593
13466917
20996011
...
30402457
909526
2098960
4053946
6320430
...
9152052
Jan. 1998
Jun. 1999
Nov. 2001
Nov. 2003
...
Dez. 2005
Primos de Mersenne e
números perfeitos
Euclides sabia como obter números
perfeitos a partir dos primos de Mersenne:
p
Mp
2
3
5
7
22-1= 3
23-1= 7
25-1= 31
27-1= 127
Número perfeito
21x3= 6
22x7= 28
24x31= 496
26x127= 8128
Primos de Mersenne e
números perfeitos
Mais alguns números perfeitos:
p
Número perfeito
13
17
19
31
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
Queres ficar famoso?
“Basta” saber responder a uma destas
questões:
• Haverá um número infinito de primos
de Mersenne?
• Haverá um número infinito de números
compostos de Mersenne?
• Haverá números perfeitos ímpares?
Um problema perfeito
Números perfeitos
6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
Mostra que um
número perfeito
par termina em
6 ou 8.
BOM TRABALHO
DIVIRTAM-SE