Equação do movimento em coordenadas cilíndricas

Em notação vectorial, as equações anteriores
convertem-se em:
(7)
Substituindo a Eq. da continuidade na Eq. (4)
obtém-se
(8)
Em que D /Dt = d /dt + vx d/dx + yy d/dy + vz d/dx
Do mesmo modo a Eq. (7) pode ser re-escrita como:
(9)
A equação geral do movimento obtém-se a partir
da equação anterior por substituição da lei da
viscosidade de Newton, generalizada para as 3
dimensões:
(10-a)
(10-b)
(10-c)
(10-d)
(10-e)
(10-f)
A dedução desta equação é relativamente complexa
e demorou, segundo Bird et al. (Transport Phenomena,
2002), cerca de século e meio a ser desenvolvida
pelos físicos e matemáticos!
A substituição da lei da viscosidade
de Newton na Eq. (9) conduz a:
(11-a)
(11-b)
(11-c)
Para fluido com m e r constantes as
equações anteriores transformam-se
na famosa Equação de Navier-Stokes:
(12)
Para um fluido invíscido obtém-se a
Eq. de Euler (1755):
(13)
Equação da Energia Mecânica
Efectuando o produto interno da velocidade
local com a equação do movimento (9),
obtém-se:
Esta equação é escalar e descreve a taxa de
variação da energia cinética por unidade de
volume (1/2 v2) de um elemento de fluido.
Esta equação pode ainda ser re-escrita por:
Equação da continuidade em:
Coordenadas cartesianas
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
Equação do movimento em coordenadas
rectangulares ( x, y, z )
Em termos de 
Em termos de gradiente de velocidade para um fluido
Newtoniano com r e m constantes
Equação do movimento em coordenadas
cilíndricas ( r,, z )
Em termos de 
Em termos de gradiente de velocidade para um fluido
Newtoniano com r e m constantes
Equação do movimento em coordenadas
esféricas ( r,,  )
Em termos de 
Em termos de
gradiente de
velocidade para
um fluido
Newtoniano
com r e m
constantes
Componentes do tensor de corte para fluidos
Newtonianos.
Coordenadas rectangulares
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
Análise de Escoamentos com as Equações
da Continuidade do Movimento
Escoamento axial de um fluido
incompressível num tubo circular
Hipótese simplificativas:
v  0, vr  0,
vz  vz ( )
r , m  Constantes
Equação da Continuidade:
Equação do Movimento (componente-z):
com P  P  gz
Então temos:
Integrando duas vezes em relação a r com as condições de
fronteira, vz  0 em z  R e vz  valor finito em z  0 obtém-se:
Escoamento anular de um fluido Newtoniano
Hipótese simplificativas:
vr  0, vz  0,
v  v (r ), p /   0
r , m  Constantes
Equações do Movimento (r, , z):
(Modelo de Viscosímetro
Couette-Hatschek)
,
,
Com as condições de fronteira:
v  0 em r  R e v  0 R em r  R
Obtém-se por dupla integração:
Uma vez conhecendo v(r) obtém-se r(r) através seguinte
Tabela com as componentes do tensor de corte em
coordenadas cilíndricas ( lei da viscosidade de Newton):
Substituindo v(r) na componente assinalada na Tabela
obtém-se a seguinte expressão para r(z):
O momento da força necessário para manter o cilindro
exterior a rodar à velocidade angular 0 é dado por:
Estes sistema são frequentemente usados para medir a
viscosidade de fluidos a partir da observação do momento
da força e da velocidade angular.