módulo do campo eléctrico em toda a parte da superfície esférica

 E  EA
E  ke
q
r2
 módulo do campo eléctrico em toda a parte da superfície esférica
A  4r 2
 área da superfície esférica
Substituindo na expressão do fluxo teremos


 q
 E  EA   ke 2  4r 2  4ke q
 r 
como
ke 
1
40

4q
 E  4ke q 
40
E 
q
0
É um resultado que não depende de r e diz que
o fluxo resultante através duma superfície esférica é proporcional à carga q no interior da superfície
1
E 
q
0
 é uma representação matemática do fato de que:
• O fluxo resultante é proporcional ao número de linhas do campo
• O número de linhas do campo é proporcional à carga no interior da superfície
• Toda linha do campo a partir da carga tem de atravessar a superfície
Superfícies fechadas de várias formas englobando uma carga q
o número de linhas do campo eléctrico através da
superfície esférica S1 = ao número de linhas do campo
eléctrico através das superfícies não esféricas S2 e S3.
Portanto, é razoável concluir que o fluxo resultante
através de qualquer superfície fechada é independente da
forma dessa superfície
O fluxo resultante através de qualquer superfície
fechada que envolve uma carga pontual q é dado por
q
0
2
Uma carga pontual localizada no exterior duma superfície fechada
O número de linhas entrando na superfície é igual ao
número de linhas saindo da superfície
O fluxo eléctrico resultante através de uma superfície
fechada que não engloba nenhuma carga é nulo
No caso de haver muitas cargas pontuais dentro da
superfície pode-se generalizar:
A Lei de Gauss afirma que o fluxo resultante através de
qualquer superfície fechada é
  qint
 E   E.dA 
0

onde qint representa a carga líquida no interior da superfície e E , o campo eléctrico em qualquer
ponto sobre a superfície.
A LEI DE GAUSS AFIRMA QUE O FLUXO ELÉCTRICO RESULTANTE ATRAVÉS DE QUALQUER
SUPERFÍCIE FECHADA É IGUAL À CARGA LÍQUIDA DENTRO DA SUPERFÍCIE DIVIDIDA POR 0
Esta técnica é adequada para calcular o campo eléctrico nas situações onde o grau de
simetria é elevado
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Exemplo 1: Determinar o fluxo eléctrico através de uma superfície cilíndrica, que está
num campo eléctrico uniforme

E
 
Φ E   E  dA   E cosdA
a
b
c
Φ E   E cos 180 dA    EdA   ER 2
Φ E   E cos 90 dA  0
Φ E   E cos 0 dA   EdA  ER 2
O fluxo através de toda a superfície é
 ER 2  0  ER 2  0
4
Exemplo 2: A partir da lei de Gauss, calcule o campo e1étrico devido a uma carga
pontual isolada q.
O campo eléctrico de uma carga pontual
positiva é radial para fora por simetria e,
portanto, é normal à superfície em todo
ponto.

E

dA
Consequentemente,
é paralelo a
em todo ponto sobre a superfície e, então
 
E  dA  EdA
Pela lei de Gauss
 
q
 E   E dA   EdA 
0
Por simetria, E é constante em toda parte sobre a superfície, então pode ser removido da integral.
Consequentemente
2
E
dA

E
dA

E
4

r



q
0
onde usamos o fato de que a área da superfície de uma esfera é
eléctrico:
q
q
E
 ke 2
2
4 0r
r
4r 2 . Agora, obtemos o campo

que é o campo eléctrico de uma carga pontual que
desenvolvemos a partir da lei de Coulomb .
5
CONDUTORES EM EQUILÍBRIO ELECTROSTÁTICO
Num condutor eléctrico, tal como o cobre, as cargas (electrões) que não estão presas a nenhum
átomo são livres para se mover dentro do material
Quando nenhum movimento de carga ocorre dentro do condutor, este está em equilíbrio
electrostático e tem quatro propriedades que vamos analisar a seguir
•
O CAMPO ELÉCTRICO É NULO EM QUALQUER PONTO DENTRO DO CONDUTOR

Considere uma placa condutora num campo eléctrico E
As cargas induzidas sobre as superfícies
da placa

produzem um campo eléctrico E p que se opõe ao
campo externo, fornecendo um campo resultante nulo
dentro do condutor

E

Ep
Se o campo eléctrico não fosse nulo  cargas
livres no condutor que seriam aceleradas sob
acção da força eléctrica
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• SE O CONDUTOR ISOLADO TIVER UMA CARGA LÍQUIDA, A CARGA EM EXCESSO FICA
INTEIRAMENTE SOBRE SUA SUPERFÍCIE
Utilizaremos a lei de Gauss para verificar a segunda
propriedade do condutor em equilíbrio electrostático
Desenhamos uma superfície gaussiana dentro do condutor
tão próxima da superfície quanto desejarmos
De acordo com a Lei de Gauss
  qint
 E   E.dA 
0
Como em qualquer ponto E = 0

ΦE = 0 portanto qin = 0
 a carga só pode ficar na superfície do condutor
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•O CAMPO ELÉCTRICO IMEDIATAMENTE EXTERIOR AO CONDUTOR CARREGADO É
PERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DO CONDUTOR E TEM UMA MAGNITUDE  / 0, ONDE  É A
CARGA POR UNIDADE DE ÁREA NESSE PONTO
Supomos uma superfície Gaussiana na forma de um cilindro
pequeno
Nenhum fluxo atravessa a face plana do cilindro dentro do
condutor porque E = 0 em qualquer ponto dentro do
condutor.
Logo, o fluxo resultante através da superfície gaussiana é o
fluxo através da face plana fora do condutor onde o campo é
perpendicular à superfície.
Para essa face, o fluxo é EA, onde E é o campo eléctrico na
face externa do condutor e A é a área da face do cilindro

Aplicando a essa superfície Lei de Gauss
Assim
A
EA 
0

E
 E   EdA  EA 
qint
0

A
0

0
• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS
LOCAIS ONDE É MÍNIMO O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE
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A verificação dessa quarta propriedade requer conceitos que só veremos mais adiante
Exemplo : Padrão do campo eléctrico de uma placa condutora carregada
próxima de um cilindro condutor com carga oposta.
Pequenos pedaços de fibra suspensos em óleo se
alinham com as linhas do campo eléctrico.
Observe que
(1) as linhas do campo eléctrico são
perpendiculares aos condutores.
(2) não há linhas dentro do cilindro (E= 0).
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