Grandezas inversamente proporcionais ao quadrado

Física
Aula 03 - Mecânica
Prof.: Célio Normando
Relações entre as grandezas
- Grandezas diretamente
proporcionais ao quadrado
- Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
- Grandezas Independentes
Grandezas diretamente
proporcionais ao quadrado
Analise a maneira como Y está variando com X .
Y
1
4
9
16
25
X
1
2
3
4
5
Qual a relação entre as
grandezas X e Y?
25
Verifique a razão entre Y e X2 .
X2
1
4
9
16
Y é diretamente proporcional ao quadrado de X, visto que
a razão entre Y e X2 é constante.
Y / X2 = K (constante) => Y=K . X2
Função do 2º grau incompleta.
Grandezas diretamente
proporcionais ao quadrado
Y
1
4
9
16 25
X
1
2
3
4
Y
25
5
Se a grandeza Y é diretamente
proporcional ao quadrado da
grandeza
X,
observe
a
construção do gráfico.
16
9
4
1
0
1 2 3 4 5
X
O gráfico obtido é uma parábola com o
vértice na origem.
Grandezas diretamente
proporcionais ao quadrado
A energia cinética (Ec) de um corpo de massa m é
diretamente proporcional ao quadrado da velocidade (v)
Ec =
m . v2
2
Observe que a razão entre a energia cinética (Ec) e a
velocidade ao quadrado (v2) é constante.
Ec
v2 =
m
2
(constante)
Grandezas diretamente
proporcionais ao quadrado
Suponha a massa(m) do corpo igual a 4kg (m = 4kg)
Se a velocidade (v) for igual a 6m/s (v = 6m/s) então:
mv2
A energia cinética seria Ec = 2
Ec = 72J
4 x 36
Ec =
2
Grandezas diretamente
proporcionais ao quadrado
Na tabela seguinte, você ao pressionar a tecla “ENTER”, terá um
novo valor de v e conseqüentemente um novo valor para a energia
cinética.
m = 4 kg
v2
(m2/s2)
v (m/s)
Ec (J)
6
72
36
8
128
64
9
162
81
10
200
100
12
288
144
20
800
400
Ec
Verifique que 2 = 2 (constante)
v
Assim, a energia cinética (Ec) é
diretamente proporcional ao
quadrado da velocidade (v).
Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
Observe como Y está variando com o X neste novo quadro.
2,25 1,44
Y
36
9
4
X
2
4
6
8
X2
4
16
36
64 100
10
Como a grandeza Y se
relaciona com a grandeza X?
Compare o Y com o X2.
Y é inversamente proporcional ao quadrado de X, visto que o
produto entre Y e X2 é constante.
Y . X2 = K (constante) => Y=K / X2
Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
Y
36
9
4
X
2
4
6
2,25 1,44
8
10
Construindo o gráfico desta
tabela obtém-se:
Y
36
A curva obtida denomina-se
hipérbole cúbica e
representa o comportamento
de Y quando é inversamente
proporcional ao quadrado de
X.
9
4
2,25
1,44
0
2 4 6 8 10
X
Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
Que curva é esta?
Y
É uma hipérbole cúbica
ou eqüilátera?
0
X
Sem valores não há elementos para julgar.
Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
Colocando valores, examine dois pontos desta curva.
Se Y1 . X1 = Y2 . X2 , então
a curva é uma hipérbole
eqüilátera.
Y
Y1
Se Y1 . X12= Y2 . X22 , então
Y2
a curva é uma hipérbole
cúbica.
0
X1
X2
X
Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
E agora temos uma hipérbole cúbica ou eqüilátera?
Y
Verifique que o produto Y1
. X1 é igual ao produto Y2 .
X2, logo a hipérbole é
eqüilátera.
6
3
0
2
4
X
Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
E esta nova curva o que será?
Y1 . X12
Y
= Y2 . X22
2 = 25 x (1) 2
100
Conclusão:
A curva é uma hipérbole
cúbica.
25
100 x (0,5)
0
0,5
1
X
Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
A força elétrica (F) é inversamente proporcional ao
quadrado da distância (d) entre as cargas.
Deste modo o gráfico da força elétrica x distância é
uma hipérbole cúbica.
(N)
F
40
Observe que o produto
F. d2 = constante
10
2,5
0
2
4
8
d (m)
Grandezas inversamente
proporcionais ao quadrado
A lei Física que relaciona a força elétrica (F) e a
distância (d) é a lei de Coulomb.
q1 . q2
F = K d2
F . d2 = Kq1 . q2 (constante)
Função do 2º Grau
Analise a tabela abaixo e responda a pergunta.
Y
10
12
16
22 30
X
0
1
2
3
4
Como a grandeza Y varia
com a grandeza X.
Y é função do 2o Grau de X cuja expressão matemática é:
Y=aX2+bX+c
(Função do 2o Grau Completa)
Para esta tabela a expressão será: Y = X2+ X + 10
.Confira
Função do 2º Grau
O gráfico de uma função do 2º grau (função quadrática) é uma
parábola.
A concavidade da parábola é para cima se a > 0 e
para baixo se a < 0.
Y
Y
a>0
0
X
a<0
0
X
Função do 2º Grau
No movimento uniformemente variado (M.U.V) a posição
(S) é uma função do 2º grau do tempo (t).
1 2
S = So + Vot + at
2
2
Uma função do 2º grau completa.
Grandezas Independentes
Verifique o tipo de relação entre Y e X nesta tabela.
Y
5
5
5
5
5
X
0
3
6
9
12
Como se relacionam Y e X?
Y Independe de X quando, ao se variar X, o Y permanecer
constante.
Y = K (Constante)
Função Constante
Grandezas Independentes
Quando as grandezas são independentes tem-se uma
função constante.
Y
O gráfico será:
5
Reta paralela ao eixo das
abscissas
0
3
6
9 12
X
Grandezas Independentes
No movimento uniformemente variado a aceleração (a)
independe do tempo (t).
Isto é, neste movimento a aceleração é constante.
a (m/s2)
t (s)
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
Um corpo em queda livre (M.U.V) tem aceleração
constante.
Agora procure resolver as
Atividades para Sala e
Atividades Propostas.
As soluções estão
disponíveis no Click Professor.