Estatística Básica II

ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS
No item anterior vimos uma forma de organizar e
representar uma massa de dados. No entanto, muitas
vezes deseja-se resumir ainda mais os dados,
apresentando um ou mais valores da série toda. Estas
medidas podem ser divididas em: medidas de
posição e de dispersão.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
•
•
•
•
MÉDIA
MEDIANA
MODA
QUARTIS, DESCIS,
PERCENTIS.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
• VARIÂNCIA
• DESVIO PADRÃO
• COEFICIENTE DE
VARIAÇÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Não Agrupados
A média aritmética, conceito familiar ao leitor, é a soma das observações
dividida pelo número delas.
_
_
x   xi
1
x  1 wi xi
n
n
n
w
A média aritmética é representada através de dois símbolos:  para
população e Y para a amostra. É importante esta distinção pois a média
da população () possui valor fixo, não sujeito à variação, enquanto que a
média da amostra (Y) é uma variável dependente de quantas diferentes
amostras foram retiradas da população. Cada amostragem tende a ter
diferentes valores de média. A média tem a mesma unidade dos dados
avaliados. Medidas como a média, mediana e moda são denominadas
parâmetros quando estas caracterizam populações e estatísticas no caso
de amostras.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Agrupados
Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência
usa-se a média aritmética dos valores ponderados pelas respectivas
freqüências absolutas.
_
fi
x  1 x i
n
n
Onde: Χi é o centro da classe
n número total de dados
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIA GERAL
_
_
_
Sejam x 1, x2, x3, as médias aritméticas de k
séries de dados e n1, n2, n3 os números de
termos das k series, respectivamente. A média
aritmética da série será:
_
 xi

n
x
n
_
i
i
MÉDIA GEOMÉTRICA
Usada principalmente para variáveis que crescem em
progressão geométrica como por exemplo, o número
de bactérias em um colônia.
Sejam x1, x2, x3, valores de Xi, associados às
freqüências absolutas F1, F2, F3, respectivamente. A
Média Geométrica (Mg) é definida por:
Mg 
n

x
Fi
i
MÉDIA HARMÔNICA
Sejam x1, x2, x3, valores de Xi, associados às
freqüências
absolutas
F1,
F2,
F3,
respectivamente. A média harmônica (Mh)
será:
n
Mh = n Fi
 xi
i 1
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MEDIANA
Uma alternativa como medida de tendência central é a
mediana. A mediana é a realização que ocupa a posição
central da série de observações quando estas estão ordenadas
segundo suas grandezas (crescente ou decrescente).
Geometricamente, a mediana é o valor de X (abscissa)
correspondente à vertical que divide o histograma em duas
partes de áreas iguais.
É mais usada quando os dados apresentam distribuição
assimétrica
MEDIANA
A mediana é denominada resistente de posição de uma
distribuição. Para ilustrar esta resistência, observemos os
dados a seguir:
5, 7, 8, 10, 12, 15
Dos quais obtemos média 9,5 e mediana 9,0. Suponha, agora,
que modifiquemos o valor 15, que passa a ser 150. Obtemos,
então, média 32 enquanto a mediana não se altera.
Mediana para variáveis discretas
Assim, se as cinco observações de uma variável discreta
forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana é o valor 7, correspondente à
terceira observação.
n 1
Md 
2
Quando o número de observações é par, usa-se como mediana
a média aritmética das duas observações centrais. Assim, se
as observações de uma variável são 3, 4, 7, 8, 8 e 9, a
mediana é:
n
n
Média
Md= 7,5
aritimética entre 
2
e
2
1
Mediana variável discreta
Exemplo somatório de dados impar
Xi
1
2
3
4

Fi
1
3
5
2
11
Fac
1
4
9
11
-
N=11, logo: a mediana será o
valor 11+1/2 = 6 elemento.
Contêm o sexto elemento
Valor 3
Mediana variável discreta
• Exemplo somatório de dados par
Xi
82
85
87
89
90

Fi
5
10
15
8
4
42
Fac
5
15
30
38
42
-
N=42, logo: a mediana será o valor
entre 42/2 e (42/2)+1 = valor médio
entre as ocorrências 21 e 22
Contem os elementos 21
e 22
Valor médio é 87
Mediana variável contínua
• 1 passo – calcula-se a ordem n/2 (independe se n é par ou
impar);
• 2 passo- Pela freqüência acumulada identifica-se a classe
que contém a mediana (classe Md);
• 3 passo – utiliza-se a fórmula
Mediana = L inf . 
Onde:
n

  f 
2
 h
Fmd
L inf . - limite inferior da classe da mediana;
n - tamanho da amostra;
 f - soma das freqüências;
h – amplitude da classe da mediana;
Fmd - freqüência da classe mediana
Mediana variável contínua
Classe
35-45
45-55
55-65
65-75
75-85
85-95

Fi
5
12
18
14
6
3
58
Fac
5
17
35
49
55
58
-
Passo 1 – 58/2 = 29
Passo 2 – Identifica-se a classe da Mediana ( 55-65)
Passo 3 – aplicação da formula
Classe do 29 elemento
Mediana = 55 
 58


17


 2
 10  61,67
18
QUARTIS, DESCIS E
PERCENTIS
Quartis, descis e percentis são uma extensão do conceito de mediana.
•QUARTIS: são os valores que dividem o conjunto em quatro partes
iguais. Estes valores, representados por Q1, Q2 e Q3 denominam-se
primeiro, segundo e terceiro quartis, respectivamente, sendo o valor Q2
igual a mediana.
•DESCIS: são os valores que dividem os dados em dez partes iguais e são
representados por D1, D2,.......D9. O quinto decil equivale à mediana.
•PERCENTIS: são os valores que dividem os dados em 100 partes iguais
e são representados por P1, P2, ......P99. O qüinquagésimo percentil
corresponde à mediana.
EXEMPLO DE UM HISTOGRAMA
COM QUARTIS
MODA
A Moda é definida como a realização mais freqüente do
conjunto de valores observados, isto é, o valor mais comum.
A moda pode não existir, e mesmo que exista, pode não ser
única (bimodal, trimodal, multimodal), de acordo com os
exemplos a seguir:
2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18
 moda 9
3, 5, 8, 10, 12, 15, 16
Não tem moda
2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9
Tem duas modas, 4 e 7 (bimodal)
Cálculo da moda para dados
agrupados
• Passo 1: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir
maior freqüência)
• Passo 2: Aplica-se a fórmula
1
Moda = L inf 
h
1   2
Onde: L inf - Limite inferior da classe modal;
1
- diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente
anterior;
 2 - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente
posterior;
h – amplitude da classe
Cálculo da moda
(dados agrupados)
Classes 0-1
Fi
3
1-2
10
2-3 3-4 4-5 
17 8
5 43
Passo 1: identificação da classe modal. No caso, trata-se da classe (2-3).
Passo 2: aplicação da formula.
Moda =
7
2
1  2,44
79
EXERCÍCIOS
De acordo com os dados da tabela, pede-se:
33
35
35
39
41
41
42
45
47
48
50
52
53
54
55
55
57
59
60
60
61
64
65
65
65
66
66
66
67
68
69
71
73
73
74
74
76
77
77
78
80
81
84
85
85
88
89
91
94
97
Média
Mediana
Moda