CONTABILOMETRIA EAC-303 Professor Antonio Carlos Coelho Modelo de inferência estatística Passos na Construção de um Modelo Estatístico Especificar um modelo estatístico: fórmula e premissas Estimar os parâmetros do modelo a partir dos dados amostrais Examinar os resíduos e testar a adequação do modelo Se o modelo não for aprovado Usar o modelo para seu propósito pretendido 3 Modelo de Regressão tipos e técnicas Regressão TIPOS LINEAR Simples Uma variável independente Múltipla Duas ou mais variáveis NÃO-LINEAR Curvilínea 5 Regressão Linear Objetivos Encontrar uma equação matemática que permita Descrever e compreender a relação entre 2 ou mais variáveis aleatórias Projetar ou estimar uma nova observação Ajustar uma reta a partir dos dados amostrais 6 Regressão Linear Utilidades • • • • Busca de relações de Causa e Efeito Predição de valores Economia em custos de projeção Estabelecer explanação sobre uma população a partir de uma amostra 7 Regressão Linear Simples Na análise de regressão linear simples buscase encontrar a equação de uma reta que permita Descrever e compreender a relação entre duas variáveis Projetar e estimar uma das variáveis em função da outra. 8 Regressão Linear Simples Supondo uma variável X denominada de independente e uma variável Y, a qual chamada de dependente (de X), diremos que Y = f(X) 9 Regressão Linear Simples Dado um conjunto de valores observados de x e y, construímos um modelo de regressão linear de y sobre x, baseado numa equação de uma reta do tipo: ýi = a + bxi 10 Função Linear • f(x) se modifica a uma taxa constante em relação à sua variável independente • Gráfico da função linear: reta y • Em termos algébricos: – f(x) = b.x + a – a e b são constantes – b: coeficiente angular – a: coeficiente linear x 11 Coeficiente Angular (b) e Linear (a) y (x2,y2) b = tg y2-y1 = ∆ y (x1,y1) x2-x1 = ∆ x x variação de y b = variação de x a → intersecção da reta com o eixo y 12 Exercício Determine o coeficiente angular e a interseção da reta 3y + 2x = 6 com o eixo dos y. Construa o respectivo gráfico. 13 Formas de Equação da Reta • Forma Inclinação-Intersecção: • y = b.x + a – Inclinação: m (coeficiente angular) – Intersecção com o eixo dos y é (0,b) • Forma Ponto-Inclinação: • y – y0 = b (x – x0) – Passa pelo ponto (x0,y0) – Inclinação: b (coeficiente angular) 14 Equação da Reta ýi = a + bxi 15 A Reta de Regressão • Equação: ý = a + bx • b = declividade da reta: define o aumento ou diminuição da variável y por unidade de variação de x • a = intercepto em y: define o valor médio de y com x=0, isto é, sem a interferência de x • Nesse modelo se verifica que: – – – – para um valor xi podem existir um ou mais valores de yi amostrados para esse mesmo valor xi haverá um valor projetado ý para cada valor xi existirá um dado desvio di dos valores de ý sempre haverá observações que não são pontos da reta. 16 Método dos Mínimos Quadrados Cálculo de a (coeficiente linear) e b (coeficiente angular). Considera as seguintes condições: 1. Somatória de todos os desvios verticais dos pontos em relação a reta é zero. 2. A soma do quadrado destes desvios é mínima. 17 Desvio do valor projetado yi di = yi - ýc ý = a + bx ýc xi 18 Onde: Di = (Yi – Yc) Di = 0 (Di)2 é mínimo 19 Diferenciação – O que é? • É uma técnica matemática de excepcional força e versatilidade; • Derivada de uma função: exprime o coeficiente angular da tangente à curva f(x) em função de um ponto x de tangência • Possui grande variedade de aplicações: – Traçado de curvas – Otimização de Funções – Análise de Taxas de Variação 20 Taxa de Variação • Função Linear: • Função Não Linear: f(x) f(x) Taxa constante Taxa variável x x 21 Problemas de Otimização • Exemplo: Lucro em função do Preço • P(x) = 400(15-x)(x-2) P(x)(lucro) Coeficiente angular = zero Coeficiente angular positivo Coeficiente angular negativo x (preço) 2 15 22 Técnicas de Diferenciação Função Derivada da Função constante (c) 0 [c.f] c.f' xn n . xn-1 x 1 [f±g] f' + g' [f.g] f'.g + f.g' [f/g] f'.g - f.g' g2 23 Regra da Cadeia - Potências • Seja y em função de u: f(u) = un • Seja u em função de x: u(x) dy dy du n 1 du n f (u ) . dx du dx dx 24 Regra da Cadeia – Exemplo • Calcule f(x) , sendo: f ( x) (2 x3 3) 2 • Nesse caso, a função f(x) pode ser derivada de três modos distintos: – Desenvolver a fatoração e aplicar a regra da soma – Aplicar a regra do produto – Aplicar a regra da cadeia para potências: f '( x) 2(2 x 3)(6 x ) 12 x (2 x 3) • Terceira opção: possibilita uma derivação mais simples e um resultado fatorado! 3 2 2 25 Regressão Linear Simples • Calculando os coeficientes a e b a= y b x n b= ( x).( y ) xy n 2 ( x ) 2 x n 26 Regressão Linear Simples • Calculando a e b por medidas estatísticas a = y - bx Cov (x,y) b= Var (x) 27 Regressão Linear Simples • Calculando a e b por medidas estatísticas b Cov x, y Var x rxy X Y Y r xy 2 X X 28 Regressão Linear Simples a e b servem como estimativas dos dois parâmetros populacionais correspondentes a A e B, sendo a equação ýc = a + bx uma estimativa da relação populacional y = A + Bx + e onde e representa a dispersão na população. 29 Regressão Linear Simples Distribuição Condicional A análise de regressão supõe que, para cada valor de x, há uma distribuição de y’s potenciais que segue a lei normal. 30 Regressão Linear Simples 31 Regressão Linear Simples Hipóteses * Existem dados de mensurações tanto para x quanto para y. * A variável independente é aleatória. * Para cada valor de x há uma distribuição condicional de y’s que é normal. * Os desvios padrões de todas as distribuições condicionais são iguais. 32