FIGURE 14.1 Defining those points in a sinusoidal waveform that

FIGURAS
DO
CAPÍTULO
14
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Introductory Circuit Analysis, 8ed.
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RESPOSTA DOS ELEMENTOS BÁSICOS R, L E C A UMA TENSÃO OU CORRENTE
SENOIDAL
RESISTOR
Para v  Vm  sen t
i
v Vm  sen t Vm


sen t  I m  sen t
R
R
R
onde I m 
Vm
R
além disso, para uma dada corrente i
v  iR  ( I m  sen t ) R  I m R  sen t  Vm  sen t
onde Vm  I m R
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FIGURA 14.4
Resposta de um elemento resistivo a uma corrente senoidal.
No caso de um elemento puramente resistivo, a tensão entre seus terminais e a corrente que o atravessa
estão em fase e a relação entre os valores de pico das duas grandezas é dada pelas equações acima.
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FIGURA 14.5
Em um elemento resistivo a tensão e a corrente estão em fase.
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RESPOSTA DOS ELEMENTOS BÁSICOS R, L E C A UMA TENSÃO OU CORRENTE
SENOIDAL
INDUTOR
Para vL  L
onde
Logo,
iL 
 ( I m  sen t )  I m  cos t
t t
vL  L
iL
 L(I m  cos t )  LI m  cos t
t
ou
vL  Vm  sen( t  90º )
onde
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iL
t
Vm  LI m
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FIGURA 14.8
Resposta de um elemento indutivo a uma corrente senoidal.
Para um indutor, vL está adiantada de 90º em relação a iL , ou em outras palavras, a corrente iL está
atrasada de 90º em relação a tensão vL.
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FIGURA 14.9
Para um indutor puro a tensão está adiantada de 90º em relação à corrente.
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REATÂNCIA INDUTIVA
A oposição causada por um indutor em um circuito de corrente alternada senoidal pode ser calculada por
Oposição 
Vm LI m

 L
Im
Im
A grandeza ωL, denominada reatância indutiva, é simbolizada por XL e medida em ohms:
X L  L  2    f  L
Em termos de tensão e corrente, a reatância indutiva é dada por uma equação análoga à definição de
resistência:
XL 
Vm
Im
A reatância indutiva é uma oposição à corrente que resulta em uma troca contínua de energia entre a
fonte e o campo magnético do indutor. Em outras palavras, a reatância indutiva, ao contrário da
resistência (que dissipa energia na forma de calor), não dissipa energia.
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RESPOSTA DOS ELEMENTOS BÁSICOS R, L E C A UMA TENSÃO OU CORRENTE
SENOIDAL
CAPACITOR
Para iC  C
onde
vC

 (Vm  sen t )  Vm  cos t
t
t
Logo, iC  C
ou
vC
 C (Vm  cos t )  CVm  cos t
t
iC  I m  sen(t  90º )
onde
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vC
t
I m  CVm
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FIGURA 14.11
Resposta de um elemento capacitivo a uma corrente senoidal
Para um capacitor, iC está adiantada de 90º em relação a vC , ou em outras palavras, a tensão vC está
atrasada de 90º em relação a corrente iC.
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FIGURA 14.12
A corrente em um elemento puramente capacitivo está adiantada de 90º em relação a tensão.
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REATÂNCIA CAPACITIVA
A oposição causada por um capacitor em um circuito de corrente alternada senoidal pode ser calculada
por:
Oposição 
Vm
Vm
1


I m CVm C
A grandeza 1/ωC, denominada reatância capacitiva, é simbolizada por XC e medida em ohms:
XC 
1
1

C 2    f  C
Em termos de tensão e corrente, a reatância indutiva é dada por uma equação análoga à definição de
resistência:
XC 
Vm
Im
A reatância capacitiva é uma oposição à corrente que resulta em uma troca contínua de energia entre a
fonte e o campo elétrico do capacitor. Do mesmo modo que um indutor, um capacitor não dissipa
energia.
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FIGURA 14.13 Exemplo 14.1(a) Para a tensão aplicada v = 100 sen 377t a um resistor , encontre a expressão para a corrente, sabendo
que a resistência é 10 ohms. Esboce os gráficos de v e i.
Im 
Vm 100 V

 10 A
R
10 
Como v e i estão em fase, temos:
i  10 sen 377t
As curva de v e i aparecem abaixo:
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FIGURA 14.14 Exemplo 14.1(b) Para a tensão aplicada v = 25 sen(377t + 60º) a um resistor , encontre a expressão para a corrente,
sabendo que a resistência é 10 ohms. Esboce os gráficos de v e i.
Im 
Vm 25 V

 2,5 A
R 10 
Como v e i estão em fase, temos:
i  2,5  sen( 377t  60º )
As curva de v e i aparecem abaixo:
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FIGURA 14.15 Exemple 14.3(a) A corrente em um indutor de 0,1 H é i = 10 sen 377t. Encontre a expressão para a tensão entre os
terminais do indutor. Esboce as curvas de v e i.
X L  L  (377 rad/s)(0,1 H)  37,7 
Vm  I m X L  (10 A)(37,7 )  377 V
Sabemos que no caso de um indutor v está adiantada de 90º em relação a i. Assim:
v  377  sen( 377t  90º )
As curva de v e i aparecem abaixo:
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FIGURA 14.16 Exemplo 14.3(b) A corrente em um indutor de 0,1 H é i = 7 sen(377t – 70º). Encontre a expressão para a tensão entre os
terminais do indutor. Esboce as curvas de v e i.
X L  L  (377 rad/s)(0,1 H)  37,7 
Vm  I m X L  (7 A)(37,7 )  263,9 V
Sabemos que no caso de um indutor v está adiantada de 90º em relação a i. Assim:
v  263,9  sen( 377t  70º 90º )
Portanto,
v  263,9  sen( 377t  20º )
As curva de v e i aparecem abaixo:
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FIGURA 14.17 Exemplo 14.5 A expressão para a tensão entre os terminais de um capacitor de 1 μF é v = 30 sen 400t. Qual a expressão
para a corrente? Faça um esboço das curvas de v e i.
1
1
106
XC 


 2500 
-6
C (400 rad/s)(1 10 F) 400
Im 
Vm
30 V

 0,0120 A  12 mA
X C 2500 
Sabemos que no caso de um capacitor i está adiantada de 90º em relação a v. Assim:
i  12 103  sen( 400t  90º )
As curva de v e i aparecem abaixo:
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IMPEDÂNCIA (Z)
Elemento “genérico” que reuni resistências, capacitores e indutores de um circuito em um só e de forma
fasorial.
V
Z
I
Z  R  jX
NOTAÇÕES
•
•
Retangular ou cartesiana
Fasorial ou polar
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FIGURA 14.35
Eixos real e imaginário do plano complexo.
Existem duas representações usuais para um número complexo: a retangular e a polar. Cada uma delas
pode representar um ponto no plano ou um raio vetor da origem até este ponto.
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FIGURA 14.36
Forma retangular de um número complexo.
A representação retangular de um número complexo C é
C  A  jB
como ilustra a figura acima.
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FIGURAS 14.37 , 14.38 e 14.39
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FIGURa 14.40
Forma polar de um número complexo.
Uma representação possível da forma polar é
C  C
onde C indica o módulo e θ é sempre medido no sentido anti-horário a partir do eixo real positivo,
conforme figura acima.
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FIGURAS 14.42 e 14.43
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FIGURE 14.45
Conversão entre as formas.
RETANGULAR PARA POLAR
POLAR PARA RETANGULAR
A  C cos
C  A2  B 2
B
 A
B
 A
B  C sen 
  tan 1    atan  
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OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS
ADIÇÃO
C1   A1  jB1
e C2   A2  jB2
então C1  C2  ( A1  A2 )  j( B1  B2 )
SUBTRAÇÃO
C1   A1  jB1 e C2   A2  jB2 então C1  C2  [ A1  ( A2 )]  j[ B1  ( B2 )]
MULTIPLICAÇÃO
C1  C11
e C2  C22
então C1  C2  C1C21  2
DIVISÃO
C1  C11
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e C2  C22
então
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C1 C1

1   2
C 2 C2
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FASORES
Utilização de um raio vetor, de módulo (comprimento) constante e com um ponto fixo na origem, é
denominado fasor quando utilizado na análise de circuitos elétricos.
v  Vm  sen(t   )  Vm  
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FASORES
Como utilizamos quase que exclusivamente os valores eficazes, e não os valores de pico, na análise de
circuito ac, vamos agora redefinir, por razões práticas e de uniformidade, o módulo de um fase como
representando o valor eficaz da função senoidal que representa. Isto não terá, é claro, nenhum efeito
sobre o ângulo de fase.
No caso geral, em todas as análises que se seguem, a forma fasorial de uma tensão ou de uma corrente
senoidais será
V  Vef 
I  I ef 
onde Vef e Ief são valores eficazes e θ é o ângulo de fase. É importante chamar a atenção para o fato de
que o uso da notação de fasores significa implicitamente que as tensões e correntes envolvidas são
senoidais; a frequência não é representada.
A álgebra dos fasores só pode ser aplicada a forma de onda senoidais de mesma frequência.
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EXEMPLO 14.30 Converta as expressões a seguir do domínio do tempo para o domínio dos fasores:
2 (50) sen t
500º
69,6 sen( t  72º )
(0,707)(69,6)72º  49,2172º
45 cos t
(0,707)( 45)90º  31,8290º
EXEMPLO 14.31 Escreva a expressão senoidal para os fasores a seguir se a frequência for 60 Hz:
i  2 (10)  sen( 2 60t  30º )
I  1030º
i  14,14  sen( 377t  30º )
V  115  70º
v  2 (115)  sen( 377t  70º )
v  162,6  sen( 377t  70º )
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