APOSTILAparte1 - Prof. Elisson de Andrade

MATERIAL DE APOIO À DISCIPLINA
DE MATEMÁTICA
Prof. Elisson de Andrade
PARTE 1: ÁLGEBRA
1o SEMESTRE
INTRODUÇÃO
O que é álgebra?
O Dicionário Aurélio traz uma definição: “parte da matemática que estuda as leis e
processos formais de operações com entidades abstratas”. Como sempre, as definições
matemáticas fazem de tudo para serem formais, só que complicam os alunos que, na maioria
das vezes, acaba entendendo coisa alguma.
A álgebra surgiu muito antes de Cristo e foi se desenvolvendo ao longo do tempo. De
uma maneira pouco formal, mas bem simples, é a “ciência das equações”. Imaginem que os
povos foram evoluindo, e seus problemas também foram se tornando mais complexos. E a
resolução desses problemas precisava cada vez mais de uma matemática mais refinada, ou seja,
de equações mais complexas que pudessem resolver seus problemas.
E foi assim que a álgebra se desenvolveu. Definindo os símbolos, criando métodos pra
resolver equações (lembram da forma de Báskara?), permitindo assim chegarmos nos dias de
hoje, em que se usam equações extremamente complexas para resolver muitos dos problemas
da nossa sociedade moderna. Imaginem um engenheiro que vá construir uma ponte, o quanto
de equações que ele trabalha!
Então, para nós é importantíssimo sabermos trabalhar com equações, pois elas
acompanharão o estudante de administração por todo o curso. São equações para avaliar o
valor de uma empresa, de uma ação, das prestações de um apartamento, do montante final de
dinheiro ao final de uma aplicação etc. Para conseguir usar essas equações (fórmulas) de
maneira adequada, o domínio de uma álgebra básica é essencial.
A maioria que aprende isso na escola não aprende álgebra. Aprende regras. E isso é
péssimo. A álgebra fica resumida a frases: “quando multiplicando, passa o número pra lá
dividindo”, “quando está somando, passa o número pra lá subtraindo”, “corta o numero de
cima com o debaixo”, “tira o mínimo múltiplo comum”, além de outras frases que decoramos e
que são esquecidas pouco tempo depois.
Nessa disciplina, daremos a chance não só de aprendermos matemática de uma maneira
lógica, sem decorar coisa alguma, como também vamos resolver problemas práticos do dia-adia. Imaginem as situações:
- uma pessoa recebeu um aumento de 10% no seu salário, passando a ganhar atualmente
R$2.000,00. Quanto ela ganhava anteriormente?
- João pesa metade do peso de José. O peso dos dois, somados, chega a 95kg. Quanto pesa
cada um?
- Há 48 anos atrás eu tinha 1/3 da idade do meu pai. E hoje, se ele fosse vivo eu teria 5/7 da sua
idade. Qual seria a idade atual de meu pai?
Se você não é capaz ainda de responder tais perguntas, isso é muito comum. Pois isso
exige muito mais do que decorar regras. Exige raciocínio e conhecimentos matemáticos
básicos.
Para conseguir chegar ao ponto de resolver esses problemas, que além de úteis para o
cotidiano de todos, para o curso de administração e para concursos públicos em geral, teremos
que estudar muito. Nada vem de graça. Mas apesar de precisar de trabalho, vem a melhor
notícia: TODOS PODEM APRENDER.
Como iniciaremos do mais básico possível, é impensável desculpas como: “não consigo
entender matemática”, “tenho trauma de matemática” e outras frases feitas. O meu objetivo é
ajudar e motivá-lo. O resto é com você.
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
2
1. REGRAS BÁSICAS
Nesta seção, estão descritos apenas conhecimentos básicos de matemática, que muitos
devem saber e que o aluno precisa para entender a álgebra a ser desenvolvida ao longo desta
apostila. O restante exigirá somente esforço (ou seja, resolução de MUITOS exercícios)
1) Qualquer número multiplicado ou dividido por 1 dá como resultado ele mesmo (intem a).
Da mesma forma, qualquer número somado (ou subtraído) a zero, dá o próprio número como
resultado (item b). Qualquer número dividido por ele mesmo dá 1 (item c). Qualquer número
subtraído dele mesmo, dá como resultado zero (item d).
a) 2.1 = 2
ou
2/1 = 2
b) 2 + 0 = 2 ou 2 – 0 = 2
5r  q
x
8,5
1 ;
c)
 1;
1
x
8,5
5r  q
d) 2 – 2 = 0 ou
z.w – z.w = 0
2) Em uma fração, quem está sendo dividido (na parte de cima) chama-se NUMERADOR.
Quem está dividindo (na parte de baixo) chama-se DENOMINADOR
Numerador
5
6
Denominador
3) Quando tratamos de multiplicação de frações, a única verdade que temos é: quem está no
numerador multiplica quem está no numerador, quem está no denominador multiplica quem
está no denominador, e quem está no numerador é sempre dividido por quem está no
denominador. Portanto, todas as igualdades abaixo são verdadeiras, basta apenas respeitar o
que está escrito em itálico, logo acima.
1
2
a) 2 .  1.
3
3
d)
1 1
1
. 
4 3 4.3
1 x
b) x . 
3 3
e)
c) x .
2 2x

3 3
2 5 5 2 2.5 1 2.5 1 2.5




4 3 4 3
4 3
3 4 3. 4
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
3
4) E por falar em igualdade, se duas coisas são IGUAIS, não importa qual membro está à
esquerda ou à direita do sinal de igual.
a) x = y é o mesmo que
b) 20 + 2x = y
y=x
é o mesmo que
c) 4g + 5k = 3r –2
y = 20 + 2x
é o mesmo que 3r –2 = 4g + 5k
5) Em uma soma (ou subtração) não importa a ordem dos números, a soma (ou subtração) dará
o mesmo resultado. O que realmente se precisa é que os números mantenham os seus sinais.
a) 2 + 5 = 7
que é o mesmo que
b) 2 + 5- 4 + 6 - 8 = 1
7=2+5
que é o mesmo que
-8+6+5–4+2=1
COMENTÁRIO: fácil essa primeira parte? Então, para conseguir trabalhar com
equações, com esses conhecimentos e raciocínio lógico, conseguiremos iniciar nosso
estudo de álgebra.
2. OPERAÇÕES QUE MANTÊM A IGUALDADE
- SOMA E SUBTRAÇÃO
Se temos uma igualdade, só podemos somar ou subtrair um número, se o fizermos dos
dois lados da expressão.
Pensemos no caso de uma balança que esteja equilibrada. Se colocarmos mais um peso
em apenas um dos pratos, a balança desequilibra. Logo, para voltar ao equilíbrio, deveríamos
colocar o mesmo peso no outro prato, o que faria com que o equilíbrio inicial, se mantivesse.
Matematicamente isso significa que, se eu somar um número em apenas de um lado da
expressão, acaba-se com a igualdade. Para que se mantenha a igualdade, é necessário somar
dos dois lados da expressão. Isso vale também para a subtração.
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
4
Para dar um exemplo, partiremos da seguinte igualdade:
3+2=5
Ao subtrair o termo da direita do sinal de igual por 2, chega-se o número 3
Mas como dissemos no enunciado em negrito, se subtrairmos o número 2 de um lado da
expressão, temos que fazer também do outro lado, para manter a IGUALDADE. Assim:
–2+3+2=5–2
que dá como resultado
3=3
Caso a operação de subtração não fosse feita em ambos os lados, a igualdade não mais
faria sentido, pois 5  3
Mais um exemplo:
Se temos 3 + 3 + 4 = 10, podemos somar os dois lados por 1,5. Assim teríamos:
1,5 + 3 + 3 + 4 = 10 + 1,5
o que resulta em
11,5 = 11,5
IMPORTANTE: notem que isso não é uma regra a ser decorada, pois, na verdade, é bem
intuitivo.
- MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO
Se temos uma igualdade, só podemos multiplicar (ou dividir) um termo da função, se
multiplicarmos (ou dividirmos) TODOS os outros termos.
Pensemos no caso, novamente, de uma balança que está equilibrada. Em um dos pratos
tem-se um pedaço de queijo que pesa 1kg, e no outro prato temos dois pedaços de queijo,
pesando 0,5kg cada um. Portanto, cada prato possui 1kg e a balança está equilibrada. Porém,
se eu dobrar a quantidade de queijo da balança que possui apenas um pedaço, esse prato
passará a possuir 2 kg. Para que volte ao equilíbrio, basta, que se dobre o tamanho de todos
os pedaços da outra balança (passando de 0,5kg para 1kg cada um dos dois pedaços), e
restabeleceremos a igualdade. Matematicamente se quer dizer que, se eu tenho uma igualdade,
caso eu dobre o tamanho de algum dos termos da expressão, devo dobrar de todos os outros
termos, para manter essa mesma igualdade. Esse raciocínio serve tanto para a divisão como
para a multiplicação.
IMPORTANTE: leia novamente o trecho em itálico do item que trata sobre SOMA E
SUBTRAÇÃO, explicado anteriormente, e busque entender a diferença básica dos dois casos
referentes ao exemplo da balança. Esse entendimento é de suma importância para prosseguir a
leitura.
Voltemos ao exemplo dado anteriormente: 3 + 2 = 5
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
5
a) Se dividirmos o número 5 (termo da direita do sinal de =) pelo número 2, chegamos
ao número 2,5. Mas notem que, se pararmos por aí, a expressão não se torna mais uma
igualdade, já que
3 + 2  2,5
Para que a igualdade continue, temos que fazer como expresso no enunciado em
negrito, que é dividirmos TODOS os outros termos também por 2. Logo:
3 2 5
 
de onde sai que 1,5 + 1 = 2,5 voltando à igualdade.
2 2 2
b) Na multiplicação é a mesma coisa. Se multiplicarmos o número 5 por 2, devemos
multiplicar todos os outros termos também por 2. Logo:
3.2 + 2.2 = 5.2
ou seja
6 + 4 = 10
mantendo a igualdade.
IMPORTANTE: mais uma vez, é crucial que o aluno entenda que isso não é uma regra a ser
decorada, pois é muito lógico e de fácil entendimento. Para exemplificar mais ainda, veja a
igualdade apresentada a seguir:
10kg = 7kg + 3kg
Obviamente a igualdade acima está correta. Mas vamos supor que não queremos mais
representar essas grandezas por quilo (kg) e sim por quilogramas (g). Sabemos que 1kg possui
1.000g. Logo, se multiplicarmos os 10kg da igualdade por 1000, conseguiremos obter o peso
em quilogramas, que seriam 10.000g.
Porém, em números absolutos, não podemos dizer que é possível representar a
igualdade acima por
10.000 = 7 + 3
Isso porque os números não estão na mesma unidade. Portanto, para que a igualdade em
valores absolutos se restabeleça, seria necessário multiplicar todos os termos (10kg, 7kg e
3kg) por 1000. Assim manteríamos a igualdade
10.000 = 7.000 + 3.000
Notem que essa é uma idéia matemática que não vale apenas para medidas de peso. É
um conceito geral. Pode ser aplicado, por exemplo, quando convertemos valores monetários
(reais para dólar), quando mudamos de escala em um mapa etc.
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
6
3. ISOLANDO VARIÁVEIS EM FUNÇÕES DE PRIMEIRO GRAU
NOTA: Muitos alunos já sabem fazer essas operações algébricas. Porém, outros
sentem dificuldades enormes. A origem do problema é que são ensinadas REGRAS, que com o
passar do tempo são esquecidas. As confusões surgem com as famosas frases: “quando está
somando, passa pro outro lado negativo”, “quando está multiplicando, passa pro outro lado
dividindo”. Essas regras são totalmente sem sentido lógico, confundindo a cabeça do aluno,
que depois de um tempo, não sabe “passar pro outro lado” e, quando passa, faz de maneira
errada. A partir de agora, com os conceitos básicos apresentados até aqui, vamos aprender
uma maneira matematicamente lógica de fazer essas operações.
CASO 1 - Vejamos o caso de quando queremos isolar uma variável, e esta possui um
número multiplicando-a. Se, por exemplo, queremos isolar y e ele está sendo multiplicado
pelo número 2, como em:
x = 2y
Então, surge a pergunta: se queremos isolar y, o que se pode fazer para que possamos
desaparecer com o número 2, mantendo a igualdade?
RESP: Teremos que utilizar de CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS e
RACIOCÍNIO LÓGICO, pois não há uma forma padrão ou, como dizem, receita de bolo.
a) uma primeira tentativa poderia ser subtrair o número 2 dos dois lados da expressão
- 2 + x = 2y - 2
Notem que isso não resolve o problema, pois o número 2 que acompanha o y não vai
desaparecer (não se pode fazer a subtração no caso de 2y –2)
b) uma segunda tentativa seria dividir todos os termos pelo número 2 (lembre-se: ao
dividir ou multiplicar um termo da expressão, devemos fazer o mesmo com todos os outros
termos), que resultaria em:
x
x 2y
y
que é o mesmo que

2
2 2
Conseguimos, dessa forma, isolar y. Mas o que surge é: por que foi dito que precisava
apenas de conhecimentos matemáticos e lógica para solucionar o problema?
A resposta é porque nesse problema (e em todos os outros desse tipo) deve-se pensar
que ao deixarmos o y sozinho de um lado da expressão, é o mesmo que se ele estivesse
multiplicado por 1 (lembrem: qualquer número multiplicado por 1 dá como resultado ele
mesmo). Portanto, se queremos que o número 2 vire 1, é só dividir por ele mesmo.
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
7
IMPORTANTE: notem que não é preciso que a variável que queremos isolar (nesse
caso, o y), fique do lado esquerdo do sinal de igual. Isso porque já vimos que
x
 y é a mesma coisa que
2
y
x
2
CASO 2 - Outro caso é quando queremos isolar uma variável e ela possui um número
dividindo-a. Se, por exemplo, queremos isolar y e ele está sendo dividido pelo número 2,
como em
x
y
2
A primeira pergunta que se faz é: se queremos isolar y, que operação matemática
podemos fazer para que o número 2 desapareça do lado direito da equação? Mais uma vez,
teremos que utilizar apenas de CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS e LÓGICA.
a) uma primeira tentativa poderia ser subtrair o número 1/2 dos dois lados da expressão
-
1
1
+ x = 2y –
2
2
Notem que isso não resolve o problema, pois o número 1/2 que acompanha o y não
1
pode ser anulado (não se pode fazer a subtração no caso de 2y – ).
2
b) uma segunda tentativa seria multiplicar todos os termos pelo número 2, que
resultaria em:
2x 
2y
que é o mesmo que 2 x  y
2
Conseguimos, dessa forma, isolar y. Mas o que surge é: por que foi dito que precisava
apenas de conhecimentos matemáticos e lógica para solucionar o problema?
A resposta é porque nesse caso (e em todos os outros desse tipo) deve-se pensar que ao
deixarmos o y sozinho de um lado da expressão, é o mesmo que se ele estivesse multiplicado
por 1 (lembrem: qualquer número multiplicado por 1 dá como resultado ele mesmo). Portanto,
se queremos que o número 2 que está dividindo o y vire 1, é só multiplicarmos y também por 2.
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
8
IMPORTANTE: notem que não é preciso que a variável que queremos isolar (nesse caso, o y),
fique do lado esquerdo do sinal de igual. Isso porque
x
 y é a mesma coisa que dizer que
2
y
x
2
CASO 3 - Além dos casos da variável estar sendo multiplicada ou dividida, tem-se a
situação de quando queremos isolar essa variável e ela está sendo somada a um número.
Se, por exemplo, queremos isolar y e ele está sendo somado a 2, como em:
x=2+y
A primeira pergunta que se faz é: se queremos isolar y, que operação matemática
podemos fazer para que o número 2 desapareça do lado direito da equação?
a) uma primeira tentativa poderia ser dividir pelo número 2 todos os termos da função
y
x 2 y
x
o que resulta em
 
 1
2 2 2
2
2
Notem que isso não resolve o problema. Na verdade, apesar de termos feito uma
operação matematicamente válida (o que mantém a igualdade), a expressão obtida não
conseguiu isolar o y.
b) uma segunda tentativa seria subtrair os dois lados da expressão pelo número 2, o que
ficaria:
-2 + x = 2 + y - 2 que é o mesmo que -2 + x = y
Conseguimos, dessa forma, isolar y. Mas o que surge é: por que foi dito que precisava
apenas de conhecimentos matemáticos e lógica para solucionar o problema?
A resposta é porque nesse problema (e em todos os outros desse tipo) deve-se pensar
que ao deixarmos o y sozinho de um lado da expressão, é o mesmo que se ele estivesse sendo
somado a zero (lembrem: qualquer número somado a zero dá como resultado ele mesmo).
Portanto, se quisermos que y esteja somado a zero (para ficar isolado), é só subtrair o número
ao qual ele está sendo somado (no caso, se y está somado a 2, é só subtrair por 2).
IMPORTANTE: notem que não é preciso que a variável que queremos isolar (nesse caso, o y),
fique do lado esquerdo do sinal de igual. Isso porque se
-2 + x = y é a mesma coisa que dizer que y = -2 + x
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
9
Outra observação é que não é preciso estranhar o número negativo vindo na frente do
número positivo. Tanto faz colocarmos –2 + x ou escrevermos x – 2. Apesar de muitos alunos
gostarem mais dessa segunda forma, tanto fazer uma como outra.
CASO 4 - Um outro caso é quando queremos isolar uma variável e ela está sendo
subtraída por um número. Se, por exemplo, queremos isolar y e ele está sendo subtraído
por 2, como:
x = -2 + y
A primeira pergunta que se faz é: se queremos isolar y, que operação matemática
podemos fazer para que o número -2 desapareça?
a) uma primeira tentativa poderia ser multiplicar o número -2 pelo número 0, para
sumir com ele. Mas percebam: se multiplicamos um termo da expressão por zero, temos que
multiplicar todos os outros termos também por zero. Isso não resolveria de forma alguma o
problema, mesmo sendo uma operação matemática válida, que daria como resposta que 0 = 0.
b) uma segunda tentativa seria somar os dois lados da expressão pelo número 2, o que
ficaria:
2 + x = -2 + y + 2 que é o mesmo que 2 + x = y
Conseguimos, dessa forma, isolar y.
Mas o que surge é: por que foi dito que precisava apenas de conhecimentos
matemáticos e lógica para solucionar o problema?
A resposta é porque nesse caso (e em todos os outros desse tipo) deve-se pensar que ao
deixarmos o y sozinho de um lado da expressão, é o mesmo que se ele estivesse sendo somado
a zero (lembrem: qualquer número somado a zero dá como resultado ele mesmo). Portanto, se
quisermos que y esteja somado a zero (para ficar isolado), é só somar ao y o mesmo número
pelo qual ele está sendo subtraído (no caso, se y está subtraído por 2, é só somar mais 2).
IMPORTANTE: notem que não é preciso que a variável que queremos isolar (nesse caso, o y),
fique do lado esquerdo do sinal de igual. Isso porque
2 + x = y é a mesma coisa que dizer que y = 2 + x
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
10
CASO 5 - Vamos agora juntar os quatro CASOS anteriormente apresentado, em apenas
uma equação. Continuamos no caso em que queremos isolar a variável y, porém, na
seguinte expressão.
x  6
4y 1

7 2
Aqui temos o y sendo somado, subtraído, multiplicado e dividido por um número.
A primeira coisa a compreender é que podemos fazer QUALQUER UM dos quatro
passos exemplificados acima, pois NÃO EXISTE uma ordem de operações matemáticas a
serem aplicadas.
Vamos começar por qualquer um deles. Escolhemos, por acaso, começar eliminando o
–1/2.
Para isso, como já visto, podemos somar os dois lados da expressão por 1/2, o que
resultaria em:
4y 1 1
1
 x  6
  que é o mesmo que
2
7 2 2
4y
1
 x  6
2
7
Um primeiro passo já foi dado. Vamos agora eliminar, de uma só vez (notem que
poderíamos fazer em passos separados) os números que estão multiplicando e dividindo a
variável y. Para eliminar o número que está multiplicando, no caso 4, é só dividir o y também
por 4 para que o y fique multiplicado por 1, mas teremos que multiplicar todos os termos da
expressão por 4. Para eliminar o número que está dividindo, no caso 7, é só multiplicar y
também por 7 para que o y fique multiplicado por 1, mas teremos que dividir todos os termos
da expressão por 7. Todas essas operações resultariam em:
71 7
7
7 4y
 x  6
42 4
4
4 7
fazendo APENAS as divisões em que um número é dividido por ele mesmo – muitos chamam
isso de “cancelar o número que está em cima (numerador) com o número que está embaixo
(denominador)” – teríamos:
7 1 7x 7 . 6


y
42 4
4
Fazendo as multiplicações das frações, resultaria em
7 7 x 42


y
8 4
4
Só resta uma fração (42/4) que está sendo somada ao y para terminarmos nossa tarefa.
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
11
Sem maiores problemas, é só subtrairmos essa mesma fração dos dois lados da
expressão e chegaremos ao nosso objetivo. Assim

42 7 7 x 42
42
 

 y
4 8 4
4
4
Sabendo que na expressão da direita temos uma fração sendo subtraída por ela mesma,
e que o resultado disso é zero, chegamos ao nosso y isolado:

42 7 7 x
 
y
4 8 4
Exercício: simplifique a mesma expressão original, porém, começando por eliminar outros
números que não o –1/2. Comece eliminando, por exemplo, o número 6 ou o número 4.
IMPORTANTE: percebam que não foi feita nenhuma simplificação ou cancelamento nas
frações, muito menos foi tirado o mínimo para juntar as frações. Isso porque o objetivo, até
esse ponto, era apenas isolar o y e isso foi feito. Se podemos "melhorar" a expressão acima,
tornando-a mais simples, é um outro assunto.
O mais importante desses exemplos é que conseguimos uma maneira de isolar uma
variável utilizando-se apenas de bom senso e operações matemáticas conhecidas, em vez de
técnicas de "passar um número" pra cá ou acolá. Essa história de passar número dividindo ou
multiplicando, positivo ou negativo, não é compreender a matemática. Apesar de serem
técnicas que facilitam a vida de QUEM SABE E DOMINA A MATEMÁTICA, muitas vezes
os menos atentos erram suas contas. E o pior, muitas vezes um aluno não consegue chegar ao
resultado final de um problema porque "não lembra qual é a regrinha". Mas o que se pode
compreender a partir de agora é que não há regrinha alguma a ser decorada, o que existe é
aprender e entender matemática.
EXERCÍCIO 1
Nas equações abaixo, isole o y, seguindo a lógica apresentada
a) x  6 ,7 y
f) x  9 
1
y
5
1
6
3y 7
g) x 

4 5
b) x  y
c) x  5  y
h) x 
8 9 y

5 42
d) x  y  62
i) x 
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
e) x  5 y  4
43 9
 y
72 2
5 6y
j) x   
4 8
12
ÚLTIMA OBSERVAÇÃO
Uma situação comum ao se trabalhar com equações é quando se quer isolar uma variável e ela
está acompanhada de um sinal de subtração. Isso não é um grande problema, mas, geralmente,
se quer deixar essa variável com um sinal positivo. Veja o caso a seguir
- y = 5 + 3x
A solução matemática mais simples para esses casos é multiplicar a variável y por –1.
Isso porque quando se multiplicam dois números negativos, o resultado é um número positivo,
e o número 1 é adequado porque faz com que o y continue isolado.
Mas como já vimos anteriormente, se multiplicarmos um dos termos da expressão,
devemos multiplicar todos. Logo, teríamos como resultado
(-1) . - y = (-1) . 5 + (-1) . 3x que resulta em
y = -5 - 3x
Portanto, quando a variável que se quer isolar está acompanhada de um sinal negativo
não há porque se preocupar, pois é só multiplicá-la por –1, e também todos os outros membros
da expressão.
Agora, surge a pergunta. Deve-se multiplicar por -1 a variável que se quer isolar logo
de começo, ou se deve isolar a variável e só no final fazer essa multiplicação?
Na verdade, tanto faz. Vai depender de como o aluno acha mais fácil, ou seja, depende
do bom senso.
EXERCÍCIO 2
Nas equações abaixo, isole o y, seguindo a lógica apresentada
9
5
7 3y
a) x  5  y b) x    8 y
c) x  6  y
d) x  
8
4
3 4
EXERCÍCIOS EXTRAS
Isole o y
a) x 
6
2
y
5
3
b) x 
4
1
y
3
2
3 5
c)   y  x
2 2
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
d)
2 x y
  0
7 4 3
e)
6
11
y  x
11
6
13
GABARITO DOS EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO 1
a) y 
x
6,7
g) y 
4 x 28

3 15
b) y = 6x
h) y 
c) y = x+5
d) y = x – 62
8 x 64

9 45
i) y 
e) y 
2 x 24

9 126
x4
5
j) y 
f) y = 5x – 45
8 x 40

6 24
EXERCÍCIO 2
a) y  5  x
b) y  
9 x

64 8
c) y 
24 4 x

5
5
d) y  
4 x 28

3
9
EXERCÍCIOS EXTRAS
a) y 
18 3
 x
10 2
b) y 
3
3
x
4
8
c) y  
6 2
 x
10 5
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
d) y 
3
6
x
4
7
e) y 
11
121
x
6
36
14
LISTA DE EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
PROF. ELISSON DE ANDRADE
1) Isole o y
a) x  5  3 y
e) x  
y 4

2 3
i) 5 x  y 
c) x 
b) x  2 y  50
4
3
f) x 
j) 
5 7
 y
7 3
2
y  41
3
d) x  4 y 
2 4
g) x    y
3 7
4
5
y  x
7
8
l) 2 x 
h) x 
5
8
6 4
 y
7 9
6
y 9  0
7
RESPOSTAS:
a) y 
5 x

3 3
e) y  2 x 
i) y  5 x 
4
3
b) y  
8
3
f) y 
x
 25
2
3
15
x
7
49
j) y  
7
35
x
4
32
c) y 
3
123
x
2
2
g) y  
7
14
x
4
12
l) y 
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
d) y 
x 5

4 32
h) y 
54 9
 x
28 4
63 14
 x
6
6
15
Revisão da Prova 1 - Matemática
Prof. Elisson de Andrade
1) Isole o y nas seguintes funções, dando a resposta da maneira mais simplificada possível:
a) x 
5
15
y
4
7
b) x 
40 18

y
360 24
c) x 
2 25

y
5 50
d) x 
5 5
 y e)
8 6
4 2
x  y
3 5
2) Calcule os valores de y, na forma de fração (e da maneira mais simplificada possível).
9 18
2 3 2
4 8
a) y  
b) y  
c) y   
5 36
8 5 3
3 12
3) Some as frações abaixo e dê as respostas da maneira mais simplificada possível
a)
1 1

2 6
b)
7 24

49 6
4) Divida as frações a seguir e dê a resposta da maneira mais simplificada possível
a)
15 5

18 9
b)
12 16

21 7
5) Se o preço de um produto aumenta em 25%, duas vezes consecutivas, qual foi o ganho total?
6) Um produto custava R$450,00. Primeiro foi dado um aumento em seu preço de 5%, e em
seguida foi dado um desconto de 10%. Em porcentagem, qual foi o desconto dado, considerando o
preço inicial?
7) Uma aplicação de X reais rendeu: no primeiro mês +1,2%; no segundo mês -2,3%; no
terceiro mês; +3%; e no quarto mês rendeu -2,6%. Expresse, em porcentagem, o ganho ou perda.
8) Joãozinho possuía R$130,00. Deu certa quantia para Mariazinha, sobrando para ele 80% do
total. Mariazinha, por sua vez, pegou o que João lhe dera e comprou um presente. Tal presente custou
40% do que menina possuía. Pergunta-se: quantos Reais custou o presente?
9) Um funcionário teve uma redução salarial de 12%, passando a ganhar apenas R$540,00.
Pergunta-se: quanto ele ganhava antes da redução?
10) Se dou dois aumentos consecutivos de 1/3, em porcentagem, expresse o aumento total.
11) Se tivesse R$200,00, considere três situações distintas. Primeira: se eu ganhasse 32% a
mais desse valor, com quantos Reais eu ficaria? Segunda: se eu perdesse 17,5% do dinheiro inicial, qual
teria sido o valor da minha perda? Terceira: se eu perdesse 13% do dinheiro inicial, quanto me sobraria?
Matemática
Prof. Elisson de Andrade
16