A irracionalidade das raízes inexatas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
Curso de Licenciatura em Matemática à Distância
A irracionalidade das raízes
inexatas
Analisando um caso particular...
√2 é irracional?
Suponhamos que √2 fosse racional, então teríamos p, q Є Z
com mdc (p,q) = 1 tais que √2 = p/q (definição de número
racional).
Daí:
√2= p/q ↔ 2 = p2 / q2 ↔ 2q2 =p2
Isso mostra que p2 é par. Então p é par.
Digamos p = 2k, com K Є Z .
Substituindo na equação anterior (p2 =2q2) temos:
(2k)2 = 2q2 ↔ 4k2 = 2q2 ↔ q2= 2k2
Isso mostra que q2 é par, então q é par.
Mas então p e q são ambos divisíveis por 2.
Absurdo!!! Pois mdc (p,q) = 1.
Portanto √2 não é racional. Logo é irracional.
Será que qualquer raiz inexata é
um número irracional?
Analisando √p onde p é número primo e p>1...
Esta demonstração é similar à anterior.
Se √p fosse racional, teríamos √p = m/n, com m e n
primos entre si.
Então:
√p= m/n ↔ p = m2 / n2 ↔ pn2 =m2
Isso mostra que m2 é divisível por p.
Logo, m também é divisível por p, ou seja, m=rp. (r Є Z)
Daí:
p2r2 = pn2 ↔ pr2 = n2
Significando que n também é divisível por p.
O que é absurdo, pois m e n seriam ambos divisíveis
por p e desta forma, m/n não seria fração irredutível.
Portanto, √p não é racional. Logo, é irracional.
Como todo número inteiro tem sua fatoração em números primos
concluímos que toda raiz quadrada inexata é um número irracional.
Podemos continuar o raciocínio para provar que toda raiz inexata é
irracional.
Exemplos:
a)
√18 = √32.2 = √32 .√2 = 3√2
b)
√50 = √52 .2 = √52 . √2 = 5 √2
c)
√21 = √7.3 = √7 . √3
d)
Raiz cúbica de 2
e)
Raiz quinta de 7