ciclo trigonométrico

Ciclo
Trigonométrico
Relacionando lados e ângulos
 Até agora trabalhamos com o conceito de arco
geométrico. A medida de um arco geométrico é
restrita ao intervalo [0, 2].
 A partir de agora vamos atribuir um significado a
medidas de arcos fora daquele intervalo. Passarão
a fazer sentido, então, medidas de arcos menores
que 0 e maiores que 2.
 Para chegar a essa generalização, introduziremos
dois conceitos importante: arco trigonométrico e
ciclo trigonométrico.
Ciclo trigonométrico
 No ciclo trigonométrico, o raio é considerado
como unidade de medida.
 Sendo o raio r = 1, o comprimento do ciclo é:
 C = 2r = 2.1 = 2. Isso significa que
O comprimento de um arco qualquer do ciclo é
numericamente igual à sua medida, em radianos.
 Por isso, vamos deixar de usar, a partir de agora, o
símbolo rad, ao expressar a medida de um arco em
radianos.
Associando números a pontos do ciclo
 A cada número real x, vamos associar a um ponto
do ciclo trigonométrico.
b
B
A’
+
A
O
–
B’
1. Ao número real x = 0,
associamos o ponto
A, origem do ciclo.
2. A um número real x
qualquer associamos
um ponto P, final do
a
percurso sobre o
ciclo.
Origem
3. O ponto P é chamado
de imagem de x no
ciclo trigonométrico.
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos
números inteiros 0, 1 ,2, 3, 4, 5 e 6 e dos
irracionais /2, , 3/2 e 2.
/2
2
B
1
 Os números reais
+
3
 A’
A 0
O
4
2
6
B’
3/2
5
que acabamos de
marcar pertencem à
1ª volta positiva do
ciclo. Corresponde ao
intervalo [0, 2[.
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos
números inteiros –1, –2, –3, –4, –5 e –6 e dos
irracionais –/2, –, –3/2 e –2.
–3/2
B
–4
–5
 Os números reais
–6
–
–3
A –2
O
A’
–
–2
B’
–/2
–1
que acabamos de
marcar pertencem à
1ª volta negativa do
ciclo. Corresponde ao
intervalo [–2, 0[.
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o
quadrante a que pertence a imagem do real 4/3.
B
4 rad = 4 .180º = 240º
3
3
+
A’
A
O
P
4/3
B’
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o
quadrante a que pertence a imagem do real –/4.
B
– rad = –1 .180º = –45º
4
4
A’
A
O
P
-/4
B’
–
Exemplos
 Um pentágono regular está inscrito no ciclo
trigonométrico conforme figura. Determine os
números reais que tem como imagem cada vértice
do pentágono.
PB = BQ = QR = RS = SP =
B
P:
Q
A’
P
A
O
R
B’
S
Q:

2

2
–
+
2
5
2
5
2
R: 9 +
10
5
2
S: 13 +
10
5
=
=
=
=

10
9
10
13
10
17
10
2
5
Observação
 Os pontos A, B, A’ e B’ na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 4 partes iguais. Cada parte mede
/2 ou 90º. Veja
/2
B
+
 A’
O
A
B’
3/2
0
Observação
 Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede
/3 ou 60º. Veja
/3
P
2/3
Q
 A’
O
R
4/3
+
A
S
5/3
0
Observação
 Os oito pontos assinalados na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 8 partes iguais. Cada parte mede
/4 ou 45º. Veja
3/4
/2
B
 A’
5/4
P
Q
O
/4
+
A
R
S
B’
3/2
0
7/4
Observação
 Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede
/3 ou 60º. Percorrendo o ciclo no sentido negativo
fica:
–7/3
P
–5/3
Q
– A’
O
R
–2/3
A
0
–
S
–/3