Aula 4 - Lei de Gauss

LICENCIATURA EM PILOTAGEM – EAD
ELECTRICIDADE: Fluxo e Lei de Gauss
Aula – 4
Docente: Moisés João Chambule
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FLUXO E LEI DE GAUSS
Conceito de fluxo
Lei de Gauss.
Aplicações da Lei de Gauss.
Forma diferencial da Lei de Gauss.
As equaçao de Maxwell da
electrostática.
Lei de Gauss
O campo eléctrico pode ser descrito qualitativamente
através das linhas de campo.
Esta descrição esta relacionada a uma equação
matemática conhecida como Lei de Gauss, que
estabelece a ligação entre o campo eléctrico sobre uma
superfície fechada e a carga no interior da superfície.
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A lei de Gauss permite calcular campos eléctricos
de distribuições simétricas de carga.
Para a formulação da lei de Gauss joga um papel
fundamental o conceito de “fluxo eléctrico”.
Consideremos uma superfície plana de área A num
campo eléctrico E.
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Definiremos o fluxo eléctrico como sendo o produto da
intensidade
  do campo E pela área A.
  E  An... Fluxo eléctrico para uma superfície plana
perpendicular ao campo, onde n e’ um vector unitário da
superfície.
Tratando-se de um produto escalar em θ = 0, então  E  A
N
Unidades do Fluxo eléctrico:    1  m 2
C
Quando o campo E forma com a normal n um Ângulo θ, o
fluxo será dado pela expressão:
  E  A cos
Se a superfície for curva, independentemente de o campo
ser uniforme ou não, a superfície é dividida em
pequenos elementos superficiais dA1, dA2, dA3,... Para
cada elemento e’ traçado o vector unitário n dirigido
perpendicularmente para fora da superfície.
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Acha-se para cada superfície elementar o respectivo fluxo


eléctrico
d i  E  dAi n
Integrando para toda a superfície resulta


   d   E  dAn   E cos   dA
S
S
S
Num ponto onde as linhas de campo eléctrico saem da
superfície, E esta’ dirigido para fora e F é positivo. Num
ponto onde as linhas do campo eléctrico entram na
superfície E esta dirigido para dentro e F e’ negativo.
O Fluxo total Φt, também denominado fluxo liquido,
através de uma superfície fechada será positivo ou
negativo conforme E na superfície é predominantemente
dirigido para fora ou para dentro da superfície.
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O fluxo de qualquer parte da superfície é
proporcional ao número de linhas de campo
que passam através da sua superfície.
O fluxo líquido é proporcional ao número líquido
das linhas de campo que saem da superfície,
isto é, o número de linhas que saem menos o
número das linhas que entram através da
superfície.
Assim o fluxo líquido através de uma superfície
qualquer fechada será
 liq


  E  dAn   En  dA
A
A
Seja a superfície fechada de forma esférica:
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O campo eléctrico em qualquer ponto desta superfície é
KQ
perpendicular a superfície e tem o módulo E n  2
R
O fluxo líquido através desta superfície é  liq  En  dA ,
A
onde En saiu fora do integral por esta componente ser
constante em qualquer ponto da superfície.
O integral de dA sobre a superfície é igual a área total da
superfície, ou seja, 4πR2. Então
 liq
KoQ
 2 4R 2  4K o Q
R
Conclusão: O fluxo eléctrico liquido que passa por uma
superfície esférica que envolve uma carga eléctrica Q
puntiforme, é 4πKo vezes o valor da carga puntiforme. 8
Lei de Gauss: O fluxo líquido através de qualquer
superfície é igual a 4πKo vezes a carga líquida no
interior da superfície.  liq   En  dA  4K o Qliq
A
Em termos de εo teremos:  liq   E n  dA  1 Qliq
A
o
A lei de Gauss é válida para todas as superfícies e
todas as distribuições de carga.
Para N cargas pontuais distribuídas discretamente
teremos por exemplo:
 liq 
1
o
Qliq 
1
o
Q1  Q2  Q3  ...  Qn 
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1.1.7.1. Campo eléctrico E nas vizinhanças
de uma carga puntiforme
Quando a distribuição de carga é muito simétrica, como o
caso de uma esfera uniformemente carregada, ou de uma
recta infinita com carga eléctrica uniforme, é possível
encontrar uma superfície matemática na qual se sabe, por
simetria, que o campo eléctrico é constante e
perpendicular à superfície.
Podemos então calcular com facilidade o fluxo eléctrico
através da superfície e usar a lei de Gauss para relacionar o
campo, a carga e a superfície.
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Consideremos uma carga pontual q localizada no centro de
uma superfície esférica para a qual, por simetria, o vector
campo eléctrico E é radial e o seu módulo depende só da
distância à carga.
Neste caso a componente normal En coincide com E. Então
En =E.n=Er, e tem o mesmo valor em qualquer ponto da
superfície esférica.
O fluxo líquido através desta superfície será
 liq


  E  dAn   Er  dA  Er  dA donde
A
A
A
Então  liq  Er  4R . Considerando
 liq 
2
E r  4R 
2
1
o
q
e
1
o
2
dA

4

R

Qint
1
q
q
Er 
 Ko 2
2
4o R
R
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Conclusão: As duas leis são equivalentes no que respeita a
cargas em repouso.
1.1.7.2. Campo eléctrico E nas vizinhanças
de um Plano Infinito de Cargas
Seja σ a densidade superficial de carga de um plano infinito
xy. Por simetria, sabe-se que o campo eléctrico deve ser
perpendicular ao plano e só depende da distância z ao
plano.
Além disso o campo eléctrico tem o mesmo módulo nas
duas faces do plano, mas sentidos opostos, nos pontos
igualmente distantes do plano, numa e na outra face.
A superfície gaussiana será um cilindro, com eixo
perpendicular ao plano e com o centro sobre o plano.
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Cada base do cilindro é paralela ao plano e tem a área A.
Neste caso E é paralelo a superfície cilíndrica, de modo que
não há fluxo do campo eléctrico através desta
superfície curva.
O fluxo através de cada base do cilindro é EnA, de modo que
o fluxo total é 2EnA.
A carga no interior da superfície é σA. A lei de Gauss dá-nos
1
1


E

dA

Q
A
donde liq  n
int ou 2 E n  A 
o
o

En 
 2K o
2 o
Este resultado é idêntico ao obtido anteriormente com
ajuda da lei de Colombo, para o campo de um plano
infinito de cargas.
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1.1.7.3. Campo eléctrico E nas vizinhanças
de uma Recta Infinita de Cargas
Seja dada uma recta de grande comprimento, com uma
densidade linear de carga uniforme λ. Pretende-se
determinar o seu campo eléctrico a uma dada distancia r.
Vamos escolher como superfície gaussiana uma superfície
cilíndrica de comprimento L e raio r, com o eixo sobre a
recta. Por simetria, nos pontos afastados das extremidades
da recta, as linhas do campo eléctrico partem radial e
uniformemente da recta carregada.
O campo eléctrico é então perpendicular a superfície
cilíndrica e tem o mesmo valor em todos os pontos desta
superfície.
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O fluxo eléctrico será dado pelo produto do campo
eléctrico com a área da superfície cilíndrica.
Não há fluxo através das bases do cilindro.
A carga no interior da superfície é igual a λL.
Segundo a lei de Gauss  liq   E n  dA  1 Qint
Teremos  Er  dA  E r  dA 
o
L
o
A área lateral total do cilindro é 2πrL. Substituindo resulta
L
E r 2rL 
o
Er 
1

2o r
 2K o

r
Conclusão: Este resultado coincide com o obtido pela
integração directa sobre a recta de cargas eléctricas.
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1.1.7.4. Campo eléctrico E no interior e no exterior de
uma casca cilíndrica electricamente carregada
Para calcular o campo no interior de uma casca cilíndrica de
raio R e densidade superficial de carga uniformes,
construímos uma superfície gaussiana cilíndrica de
comprimento L e raio r<R, co-axial a casca cilíndrica.
Por simetria o campo é normal a esta superfície gaussiana
e tem o modulo Er, constante em todos os pontos da
superfície.
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O fluxo do campo E através desta superfície gaussiana é
então  liq  E n dA  E r dA  E r 2rL


Onde 2πrL é a área da superfície gaussiana.
Uma vez que a carga total no interior desta superfície é
nula, da lei de Gauss resulta que  liq  E r 2rL  0
Portanto Er  0 para r<R
Conclusão: O campo eléctrico no interior de uma casca
uniformemente carregada é nulo em todos os pontos.
Para acharmos o campo eléctrico no exterior da casca
cilíndrica, construímos uma superfície gaussiana cilíndrica
de raio r>R.
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Por simetria, E é perpendicular a superfície gaussiana e o
seu modulo Er é constante em todos os pontos da
superfície.
O fluxo é Er2πrL, mas agora a carga no interior da superfície
é Q= σA= σ2πRL.
 2RL
A lei de Gauss dá-nos então  liq  E r 2rL 
o
Portanto
R
Er 
 or
Considerando que o comprimento L da casca cilíndrica tem
uma carga Q= σ2πRL, a carga por unidade de comprimento
da casca cilíndrica será λ= σ2πR, donde
σ= λ /2πR.
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Substituindo na equação de Er teremos r>R
R
1 
Er 

 o r 2o r
Conclusão: Este resultado coincide com o do campo E a
uma distância r de uma recta infinita uniformemente
carregada. Assim, o campo eléctrico no exterior de uma
casca cilíndrica de cargas eléctricas coincide com o
campo eléctrico que se teria se toda a carga estivesse
concentrada no eixo do cilindro.
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Lei de Gauss na forma diferencial
Dos conceitos sobre campos e operadores vectoriais,
pode ser deduzida a divergência do campo eléctrico e
a Lei de Gauss pode ser expressa de modo bastante
resumido na sua forma diferencial:
E x E y E z 



x
y
z
o


divE 
o
ou
Significado físico
A divergência do campo eléctrico, não nula, indica a
presença duma densidade de carga eléctrica no
ponto considerado, ou seja, cargas eléctricas são
fontes de linhas de força.
As equações de Maxwell da
electrostática
1ª equação de Maxwell
Lei de Gauss na forma Lei de Gauss na forma
integral
diferencial
E
A
n
 dA 
Q
o
O MEU MUITO
OBRIGADO
5/31/2017
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