Variáveis Aleatórias Contínuas - IME-USP

Variáveis Aleatórias Contínuas
Bacharelado em Economia - FEA - Noturno
1o Semestre 2016
Profs. Fábio P. Machado e Gilberto A. Paula
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
1 / 52
Objetivos da Aula
Sumário
1
Objetivos da Aula
2
Exemplos de Distribuições Contínuas
3
Variáveis Aleatórias Contínuas
4
Esperança
5
Variância
6
Função de Distribuição Acumulada
7
Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
2 / 52
Objetivos da Aula
Objetivos da Aula
Variáveis Contínuas
O objetivo principal desta aula é apresentar alguns formas de
distribuições de variáveis aleatórias contínuas, discutir as principais
propriedades para esse tipo de variável e ilustrar com algumas
aplicações.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
3 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
Sumário
1
Objetivos da Aula
2
Exemplos de Distribuições Contínuas
3
Variáveis Aleatórias Contínuas
4
Esperança
5
Variância
6
Função de Distribuição Acumulada
7
Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
4 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
0.2
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
Distribuição Uniforme
1
2
3
4
5
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
5 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
1.0
0.0
0.5
f(x)
1.5
2.0
Distribuição Triangular
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
6 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
f(x)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Distribuição Normal
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
7 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
0.00
0.05
0.10
f(x)
0.15
0.20
0.25
Distribuição Log-Normal
0
5
10
15
20
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
8 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
1.0
0.0
0.5
f(x)
1.5
2.0
Distribuição Exponencial
0
1
2
3
4
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
9 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
0.00
0.05
0.10
f(x)
0.15
0.20
0.25
Distribuição Qui-Quadrado
0
5
10
15
20
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
10 / 52
Exemplos de Distribuições Contínuas
0.0
0.2
0.4
f(x)
0.6
0.8
Distribuição de Gumbel
−4
−3
−2
−1
0
1
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
11 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Sumário
1
Objetivos da Aula
2
Exemplos de Distribuições Contínuas
3
Variáveis Aleatórias Contínuas
4
Esperança
5
Variância
6
Função de Distribuição Acumulada
7
Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
12 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo
valores num intervalo de números reais, é denominada variável
aleatória contínua.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo
valores num intervalo de números reais, é denominada variável
aleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo
valores num intervalo de números reais, é denominada variável
aleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo
valores num intervalo de números reais, é denominada variável
aleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo
valores num intervalo de números reais, é denominada variável
aleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo
valores num intervalo de números reais, é denominada variável
aleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
ganho de peso após dieta
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
Uma função X definida sobre o espaço amostral Ω e assumindo
valores num intervalo de números reais, é denominada variável
aleatória contínua.
Exemplos
altura de um adulto
custo do sinistro de um carro
temperatura mínima diária
saldo em aplicações financeiras
ganho de peso após dieta
distância percorrida
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
13 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória
X é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual à
unidade.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
14 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória
X é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual à
unidade. Em termos matemáticos
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
14 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Função densidade de probabilidade
A função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória
X é uma função f (x) ≥ 0 cuja área total sob a curva seja igual à
unidade. Em termos matemáticos
Z +∞
f (x)dx = 1.
−∞
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
14 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5], notação
X ∼ U[1, 5], então a função densidade de probabilidade de X é
definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
15 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo [1, 5], notação
X ∼ U[1, 5], então a função densidade de probabilidade de X é
definida por
1
4 1 ≤ x ≤ 5,
f (x) =
0
c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
15 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
0.2
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
Descrição de f (x)
1
2
3
4
5
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
16 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base
∆ = 4 e altura h = 14 .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
17 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base
∆ = 4 e altura h = 14 . Logo, a área total fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
17 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base
∆ = 4 e altura h = 14 . Logo, a área total fica dada por
A=∆×h =4×
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
1
= 1.
4
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
17 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base
∆ = 4 e altura h = 14 . Logo, a área total fica dada por
1
= 1.
4
0.2
f(x)
0.3
0.4
A=∆×h =4×
0.0
0.1
A
1
2
3
4
5
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
17 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela solução
da integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
18 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela solução
da integral
Z
5
1
1
dx
4
=
=
=
=
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Z
1 5
dx
4 1
1 5
x|
4 1
1
(5 − 1)
4
4
= 1.
4
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
18 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva no
intervalo [a, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
19 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva no
intervalo [a, b]. Em termos matemáticos
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
19 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(a ≤ X ≤ b) corresponde à área sob a curva no
intervalo [a, b]. Em termos matemáticos
P(a ≤ X ≤ b) =
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Z
b
f (x)dx.
a
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
19 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)
corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 41 .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
20 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)
corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 41 .
Essa área fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
20 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)
corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 41 .
Essa área fica dada por
B =∆×h =1×
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
1
= 0, 25.
4
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
20 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
Por exemplo, se X ∼ U[1, 5], a probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2)
corresponde à área do retângulo de base ∆ = 1 e altura h = 41 .
Essa área fica dada por
1
= 0, 25.
4
0.2
f(x)
0.3
0.4
B =∆×h =1×
0.0
0.1
B
1
2
3
4
5
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
20 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) pode ser calculada diretamente pela
solução da integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
21 / 52
Variáveis Aleatórias Contínuas
Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Uniforme
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) pode ser calculada diretamente pela
solução da integral
Z
2
1
1
dx
4
=
=
=
=
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Z
1 2
dx
4 1
1 2
x|
4 1
1
(2 − 1)
4
1
= 0, 25.
4
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
21 / 52
Esperança
Sumário
1
Objetivos da Aula
2
Exemplos de Distribuições Contínuas
3
Variáveis Aleatórias Contínuas
4
Esperança
5
Variância
6
Função de Distribuição Acumulada
7
Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
22 / 52
Esperança
Esperança
Definição
A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X fica
dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
23 / 52
Esperança
Esperança
Definição
A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X fica
dada por
Z
+∞
xf (x)dx.
µ = E(X ) =
−∞
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
23 / 52
Variância
Sumário
1
Objetivos da Aula
2
Exemplos de Distribuições Contínuas
3
Variáveis Aleatórias Contínuas
4
Esperança
5
Variância
6
Função de Distribuição Acumulada
7
Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
24 / 52
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
25 / 52
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
Var(X ) = E[X − µ]2
= E(X 2 ) − µ2 ,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
25 / 52
Variância
Variância
Definição
A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por
Var(X ) = E[X − µ]2
= E(X 2 ) − µ2 ,
em que
2
E(X ) =
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Z
+∞
x 2 f (x)dx.
−∞
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
25 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme
1
para
no intervalo [a,b], notação X ∼ U[a, b], então f (x) = (b−a)
a ≤ x ≤ b e f (x) = 0 em caso contrário.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
26 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
f(x)
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme
1
para
no intervalo [a,b], notação X ∼ U[a, b], então f (x) = (b−a)
a ≤ x ≤ b e f (x) = 0 em caso contrário.
a
b
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
26 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ U[a, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
27 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ U[a, b].
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Z
b
a
x
a+b
.
dx =
(b − a)
2
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
27 / 52
Variância
Distribuição Uniforme
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ U[a, b].
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
Z
b
a
x
a+b
.
dx =
(b − a)
2
Variância
A variância de X fica dada por
Var(X ) =
Z
|a
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
b
x2
(b − a)2
dx −[E(X )]2 =
.
(b − a)
12
{z
}
E(X 2 )
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
27 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Sumário
1
Objetivos da Aula
2
Exemplos de Distribuições Contínuas
3
Variáveis Aleatórias Contínuas
4
Esperança
5
Variância
6
Função de Distribuição Acumulada
7
Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
28 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Função de distribuição acumulada
Definição
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T
contínua é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
29 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Função de distribuição acumulada
Definição
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T
contínua é definida por
Z x
f (t)dt.
F (x) = P(T ≤ x) =
−∞
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
29 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Função de Distribuição Acumulada
Distribuição Uniforme
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória
T ∼ U[a, b] é dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
30 / 52
Função de Distribuição Acumulada
Função de Distribuição Acumulada
Distribuição Uniforme
A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória
T ∼ U[a, b] é dada por

x < a,
 0
x−a
a
≤
x < b,
F (x) =
 b−a
1
x ≥ b.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
30 / 52
Função de Distribuição Acumulada
0.0
0.2
0.4
F(x)
0.6
0.8
1.0
Descrição de F (x)
a
b
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
31 / 52
Outras Distribuições
Sumário
1
Objetivos da Aula
2
Exemplos de Distribuições Contínuas
3
Variáveis Aleatórias Contínuas
4
Esperança
5
Variância
6
Função de Distribuição Acumulada
7
Outras Distribuições
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
32 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Se X é uma variável aleatória triangular no intervalo [0, 1/2, 1],
notação X ∼ T [0, 1/2, 1]), então a função densidade de probabilidade
de X é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
33 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Se X é uma variável aleatória triangular no intervalo [0, 1/2, 1],
notação X ∼ T [0, 1/2, 1]), então a função densidade de probabilidade
de X é definida por

4x
0 ≤ x ≤ 1/2,

4(1 − x) 1/2 < x ≤ 1,
f (x) =

0
c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
33 / 52
Outras Distribuições
1.0
0.0
0.5
f(x)
1.5
2.0
Descrição de f (x)
0.0
0.5
1.0
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
34 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Área total
A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base
∆ = 1 e altura h = 2.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
35 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Área total
A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base
∆ = 1 e altura h = 2. Logo, a área total fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
35 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Área total
A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base
∆ = 1 e altura h = 2. Logo, a área total fica dada por
A=
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
1×2
∆×h
=
= 1.
2
2
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
35 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Área total
A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base
∆ = 1 e altura h = 2. Logo, a área total fica dada por
1×2
∆×h
=
= 1.
2
2
1.0
A
0.0
0.5
f(x)
1.5
2.0
A=
0.0
0.5
1.0
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
35 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1/4 ≤ X ≤ 1/2) corresponde à diferença entre 1/2
e a área do triângulo A de base ∆ = 1/4 e altura h = 1, isto é
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
36 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1/4 ≤ X ≤ 1/2) corresponde à diferença entre 1/2
e a área do triângulo A de base ∆ = 1/4 e altura h = 1, isto é
B =
=
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
1 1/4 × 1
−
2
2
1 1
3
− = .
2 8
8
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
36 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1/4 ≤ X ≤ 1/2) corresponde à diferença entre 1/2
e a área do triângulo A de base ∆ = 1/4 e altura h = 1, isto é
1 1/4 × 1
−
2
2
1 1
3
− = .
2 8
8
B =
1.0
B
0.5
f(x)
1.5
2.0
=
0.0
A
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
36 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição
triangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
37 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição
triangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b]. Então
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
37 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição
triangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b]. Então
 2(x−a)

 (b−a)(c−a) a ≤ x ≤ c,
2(b−x)
f (x) =
c < x ≤ b,

 (b−a)(b−c)
0
c.c.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
37 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Distribuição Triangular
f(x)
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição
triangular no intervalo [a,c,b], notação X ∼ T [a, c, b]. Então
 2(x−a)

 (b−a)(c−a) a ≤ x ≤ c,
2(b−x)
f (x) =
c < x ≤ b,

 (b−a)(b−c)
0
c.c.
a
c
b
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
37 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ T [a, c, b].
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
38 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ T [a, c, b].
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
a+b+c
.
3
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
38 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Triangular
Vamos supor que X é uma variável aleatória tal que X ∼ T [a, c, b].
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
a+b+c
.
3
Variância
A variância de X fica dada por
Var(X ) =
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
a2 + b2 + c 2 − ab − ac − bc
.
18
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
38 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de
parâmetro λ > 0 (X ∼ Exp(λ)), a função densidade de probabilidade
de X é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
39 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de
parâmetro λ > 0 (X ∼ Exp(λ)), a função densidade de probabilidade
de X é definida por
f (x) = λe−λx ,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
39 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de
parâmetro λ > 0 (X ∼ Exp(λ)), a função densidade de probabilidade
de X é definida por
f (x) = λe−λx ,
em que x > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
39 / 52
Outras Distribuições
1.0
0.0
0.5
f(x)
1.5
2.0
Descrição de f (x) para λ = 3
0
1
2
3
4
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
40 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Área total
A área total sob a curva é calculada através da integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
41 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Área total
A área total sob a curva é calculada através da integral
Z +∞
Z +∞
−λx
e−λx dx = 1.
λe
dx = λ
0
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
0
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
41 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) corresponde à área na figura abaixo e
pode ser calculada pela integral
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
42 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) corresponde à área na figura abaixo e
pode ser calculada pela integral
A =
Z
2
λe−λx dx
1
= e−λ − e−2λ .
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
42 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Probabilidade de eventos
A probabilidade P(1 ≤ X ≤ 2) corresponde à área na figura abaixo e
pode ser calculada pela integral
Z
A =
2
λe−λx dx
1
1.0
0.5
f(x)
1.5
2.0
= e−λ − e−2λ .
0.0
A
0
1
2
3
4
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
42 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição
exponencial de parâmetro λ > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
43 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição
exponencial de parâmetro λ > 0.
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
1
.
λ
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
43 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição
exponencial de parâmetro λ > 0.
Esperança
A esperança de X fica dada por
E(X ) =
1
.
λ
Variância
A variância de X fica dada por
Var(X ) =
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
1
.
λ2
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
43 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Função de distribuição acumulada
A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatória
T ∼ Exp(λ) fica dada por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
44 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Exponencial
Função de distribuição acumulada
A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatória
T ∼ Exp(λ) fica dada por
0
x ≤ 0,
F (x) =
−λx
1−e
x > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
44 / 52
Outras Distribuições
0.0
0.2
0.4
F(x)
0.6
0.8
1.0
Descrição de F (x) para λ = 1
0
1
2
3
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
45 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ e
variância σ 2 , a função densidade de probabilidade de X é definida por
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
46 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ e
variância σ 2 , a função densidade de probabilidade de X é definida por
1
− 1 (x−µ)2
f (x) = √ e σ2
,
σ 2π
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
46 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ e
variância σ 2 , a função densidade de probabilidade de X é definida por
1
− 1 (x−µ)2
f (x) = √ e σ2
,
σ 2π
para −∞ < x, µ < +∞ e σ > 0.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
46 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Distribuição Normal
Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ e
variância σ 2 , a função densidade de probabilidade de X é definida por
1
− 1 (x−µ)2
f (x) = √ e σ2
,
σ 2π
para −∞ < x, µ < +∞ e σ > 0. Notação: X ∼ N(µ, σ 2 ).
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
46 / 52
Outras Distribuições
f(x)
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Descrição de f (x) de uma N(0,1).
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
47 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Padronização
Se X ∼ N(µ, σ 2 ) e Z ∼ N(0, 1) (normal padrão), então
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
48 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Padronização
Se X ∼ N(µ, σ 2 ) e Z ∼ N(0, 1) (normal padrão), então
x −µ
P(X ≤ x) = P Z ≤
,
σ
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
48 / 52
Outras Distribuições
Distribuição Normal
Padronização
Se X ∼ N(µ, σ 2 ) e Z ∼ N(0, 1) (normal padrão), então
x −µ
P(X ≤ x) = P Z ≤
,
σ
ou seja, todos os cálculos podem ser feitos pela normal padrão.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
48 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Por exemplo, a probabilidade A = P(0 ≤ X ≤ 1) pode ser calculada
pela diferença
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
49 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Por exemplo, a probabilidade A = P(0 ≤ X ≤ 1) pode ser calculada
pela diferença
P(X ≤ 1) − P(X ≤ 0) = 0, 841 − 0, 5 = 0, 341.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
49 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Por exemplo, a probabilidade A = P(0 ≤ X ≤ 1) pode ser calculada
pela diferença
0.2
A
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
P(X ≤ 1) − P(X ≤ 0) = 0, 841 − 0, 5 = 0, 341.
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
49 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar o
fato da distribuição ser simétrica na média.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
50 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar o
fato da distribuição ser simétrica na média. Assim,
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
50 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar o
fato da distribuição ser simétrica na média. Assim,
P(−1 ≤ X ≤ 1) = 2 × P(0 ≤ X ≤ 1) = 2 × 0, 341 = 0, 682.
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
50 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de probabilidades
Para calcular a probabilidade A = P(−1 ≤ X ≤ 1) podemos usar o
fato da distribuição ser simétrica na média. Assim,
0.2
A
0.0
0.1
f(x)
0.3
0.4
P(−1 ≤ X ≤ 1) = 2 × P(0 ≤ X ≤ 1) = 2 × 0, 341 = 0, 682.
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
50 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de percentil
Como encontrar a tal que A = P(X ≥ a), em que A = 0, 02(2%)? Pelo
R podemos encontrar a = 2, 054 usando o comando qnorm(0.98).
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
51 / 52
Outras Distribuições
Distribuição N(0,1)
Cálculo de percentil
f(x)
0.1
0.2
0.3
0.4
Como encontrar a tal que A = P(X ≥ a), em que A = 0, 02(2%)? Pelo
R podemos encontrar a = 2, 054 usando o comando qnorm(0.98).
0.0
A
0
a
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
51 / 52
Outras Distribuições
0.0
0.2
0.4
F(x)
0.6
0.8
1.0
Descrição de F (x) para N(0,1)
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
MAE0219 (Economia-FEA-Noturno)
Variáveis Aleatórias Contínuas
1o Semestre 2016
52 / 52