Variáveis Aleatórias Contínuas

Variáveis Aleatórias Contínuas
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INTRODUÇÃO
O nosso objectivo continua a ser o estudo de fenómenos (experiências) aleatórios e medidas
associadas a esses fenómenos, que representamos por variáveis aleatórias (v.a.’s). Estudámos no
capítulo anterior as v.a.’s discretas que assumiam apenas um número finito (ou infinito
numerável) de valores. No entanto, há algumas medidas físicas em que se torna razoável tomar
para valores das v.a.’s intervalos de valores reais (infinitos ou finitos). Por exemplo, sejam
X a corrente eléctrica que passa num fio de cobre;
Y o tempo de vida de uma lâmpada.
Para estes exemplos, o número de valores possíveis das v.a.’s em estudo, digamos que não é
“contável”, ou muito dificilmente são caracterizadas por um número finito de valores. Nestes
casos, é razoável considerar que as v.a.’s associadas, X e Y, tomam um número indeterminado
de valores, por exemplo, nos intervalos [x1, x2] e [y1, y2], respectivamente.
Deste modo, para este tipo de variáveis, que podem tomar todos os valores num determinado
intervalo de reais, vamos ter de considerar distribuições de probabilidades diferentes das dadas
nas v.a.’s discretas. Mais concretamente, iremos descrever a probabilidade de uma v.a. X
assumir um valor no intervalo [a, b] através de uma função f, convenientemente escolhida, como
sendo a área limitada pelo eixo [a, b] e pelo gráfico da função f (figura em baixo).
P(a≤X≤b)
f(x)
a
Ou seja, P(a≤X≤b) =
b
b
x
∫a f ( x)dx . Esta função f desempenha nestas v.a.’s o papel que a função de
probabilidade desempenha nas v.a.’s discretas.
Variáveis Aleatórias Contínuas
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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS
Definamos então v.a. (absolutamente) contínua.
Uma v.a. X diz-se (absolutamente) contínua se existir uma função f não negativa (f(x)≥0 para
todo x ∈ IR) e integrável com
+∞
∫−∞ f (x)dx = 1
(∗)
.
A f chamamos função de densidade de probabilidade (f.d.p.).
Note-se que a expressão (∗) traduz que, graficamente, a área limitada inferiormente pelo eixo dos
xx e superiormente pela curva f(x) é igual a 1.
A função de distribuição (f.d.) F de X, é dada por,
F(x) = P(X≤x) = ∫
x
−∞
f (u )du , para todo x ∈ IR.
Da definição anterior tem-se que F’(x) = f(x), para todo o real x onde f é contínua (ou para todo o
real x onde F é diferenciável).
Observações:
Note-se que P(a<X≤b) = P(X≤b)-P(X≤a) =F(b)-F(a) = ∫
b
−∞
f ( x )dx - ∫
a
−∞
b
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx .
a
a
Além disso, para todo o real a, P(X=a)= ∫ f ( x )dx =0, e assim, têm-se as seguintes igualdades
a
P(a≤X≤b)= P(a<X≤b)= P(a≤X<b)= P(a<X<b).
Exemplo: Seja X uma v.a. contínua com f.d.p. dada por,
⎧1
⎪ x se 0 ≤ x ≤ 2
f(x)= ⎨ 2
.
⎪⎩0
se c.c.
Verifica-se que f é, efectivamente, uma f.d.p. pois é não negativa, e além disso,
Em relação à função de distribuição de X, tem-se que
⎧0
2
⎪⎪ x
F(x) = ⎨
⎪4
⎪⎩1
se x < 0
se 0 ≤ x ≤ 2 .
se x > 2
+∞
∫−∞ f (x)dx = 1 .
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Aproveitamos este exemplo para recordar que as propriedades das funções de distribuição dadas
no estudo das v.a.’s discretas se mantêm no caso das contínuas. Há a acrescentar que no caso
das v.a.’s contínuas as funções de distribuição são sempre funções contínuas (como acontece
no exemplo).
3 ESPERANÇA E VARIÂNCIA DE UMA V.A. CONTÍNUA
Seja X uma v.a. contínua com f.d.p. f. Definimos esperança (ou valor médio) de X como sendo,
E(X) = µX =
+∞
∫−∞ xf (x)dx .
Definimos variância de X como sendo,
2
V(X)= σX
=E(X-µX)2 = ∫
+∞
−∞
( x − µ X ) 2 f ( x )dx .
Caso os integrais anteriores não convirjam dizemos que a esperança (variância) dessa v.a. não
existe(m).
As interpretações e propriedades dadas anteriormente, para a esperança e variância de uma v.a.
discreta, mantêm-se no caso das v.a.’s contínuas. Nomeadamente que V(X) = E(X2) – E2(X),
+∞ 2
x f ( x )dx .
−∞
onde E(X2) = ∫
Do mesmo modo se define desvio padrão de X como sendo
σ= V (X ) .
Para o exemplo dado, tem-se
2
⎡ x3 ⎤
2 x
+∞
x
E(X)= ∫ xf ( x )dx = ∫ x 0dx + ∫ x dx + ∫ x 0dx = ∫ x dx = ⎢ ⎥ =4/3,
−∞
2
−∞
0 2
0 2
⎢⎣ 6 ⎥⎦
+∞
2
0
0
e V(X) =
+∞ 2
⎛4⎞
x f ( x )dx - ⎜ ⎟
−∞
⎝3⎠
∫
2
2
=
2 2
x
0
∫
16 ⎡ x 4 ⎤ 16
16
2
x
=⎢ ⎥ = 2= .
dx 9 ⎢⎣ 8 ⎥⎦ 9
9
9
2
0